VI I Hình chóp cụt 1 Định nghĩa
4.1.6Quy trình VI: Chứng minh mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
A trên SB SC SD, ,.
4.1.6Quy trình VI: Chứng minh mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
Mặc dù các bài toán này trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng những năm 2002- 2012 là ít hơn nhiều so với các bài toán có trong loại chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng nhưng nó vẫn là một bài toán cơ bản và không được xem nhẹ.
Để giải các bài toán về chứng minh hai mặt phẳng vuông góc trong không gian, ta cần nhớ lại khái niệm và các tính chất về hai mặt phẳng vuông góc với nhau trong không gian.
a) Khái niệm về hai mặt phẳng vuông góc với nhau
Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 0
90 .
Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu một trong hai mặt phẳng đó chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.
Như vậy: a :a b) Các tính chất
Nếu hai mặt ( )P và ( )Q vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong ( )P , vuông góc với giao tyến của ( )P và ( )Q đều vuông góc với mặt phẳng
( )Q .
Nếu hai mặt phẳng ( )P và ( )Q vuông góc với nhau và A là một điểm nằm trong ( )P thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với ( )Q sẽ nằm trong ( )P .
Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.
Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng ( )P có duy nhất một mặt phẳng ( )Q vuông góc với mặt phẳng ( )P .
Từ khái niệm và các tính chất về hai mặt phẳng vuông góc, ta có thể nêu lên các quy trình có tính chất thuật toán (quy trình tựa thuật toán) để giải các bài toán về chứng minh hai mặt phẳng ( )P và ( )Q vuông góc trong không gian như sau:
Quy trình 1:
Bước 1: Xác định một đường thẳng a sao cho đường thẳng a chứa trong mặt phẳng ( )P (hoặc đường thẳng a chứa trong mặt phẳng ( )Q ).
SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 90 Lớp: SP Toán học K36 Bước 2: Ta sẽ chứng minh đường thẳng a( )Q (hoặc a( )P ).
Bước 3: Kết luận ( )P ( )Q .
Bên cạnh quy trình 1 ta còn có quy trình sau để chứng minh mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng.
Quy trình 2:
Bước 1: Xác định một đường thẳng a sao cho đường thẳng a song song với mặt phẳng ( )P (hoặc đường thẳng a song song với mặt phẳng ( )Q ).
Bước 2: Ta sẽ chứng minh đường thẳng a( )Q (hoặc a( )P ).
Bước 3: Kết luận ( )P ( )Q .
Chú ý:
Từ bước 2 của quy trình 1 và quy trình 2 ta thấy rằng bài toán chứng minh mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đưa về việc chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Đối với bài toán chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta đã giới thiệu ở Quy trình II ở bên trên.
Quy trình 3:
Bước 1: Xác định một mặt phẳng ( )R sao cho mặt phẳng ( )R song song với mặt phẳng ( )P .
Bước 2: Ta sẽ chứng minh mặt phẳng ( )R ( )Q
Bước 3: Kết luận ( )P ( )Q .
Ngoài các quy trình trên ta cũng có thể sử dụng định nghĩa để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau.
Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho
62 2 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a
SD . Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau [9,tr.127]
SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 91 Lớp: SP Toán học K36 I A D C B H
Gọi I là trung điểm của BC, dễ thấy AI BC và I cũng là trung điểm của AD. Ta có: ( ) (do ( )) ( ) BC AD BC SAD BC SA BC SD SD ABC SA SAD
Dựng IH SA tại H, khi đó mặt phẳng (BHC)SA. Từ đó suy ra BHC là góc
giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAC).
Hai tam giác vuông AHI và ADS có góc nhọn A chung nên đồng dạng với nhau. Suy ra : IH SD IH AI SD. 1 AI SA SA Mà 3, 2 3 2 a AI AD AIa , 2 2 2 2 6 3 2 ( 3) 2 2 a a SA AD SD a
Thay các giá trị của AI, SD, SA vào (1) ta được:
3 6. . 2 2 2 2 3 2 2 a a a BC IH a
Tam giác BHC có trung tuyến là HI ứng với BC bằng 2
BC
nên BHC900.
Vậy mp SAB( )mp SAC( ).
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD và tam giác cân SAB nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau.