VI I Hình chóp cụt 1 Định nghĩa
A trên SB SC SD, ,.
4.1.5 Quy trình V: Xác định góc giữa hai mặt phẳng
Đây là một trong những dạng toán hay gặp nhất trong chuyên mục các bài toán về “quan hệ vuông góc” và có xuất hiện khá nhiều trong các bài toán gặp phải phần hình học không gian trong các đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng các năm gần đây.
Để giải các bài toán về xác định góc giữa hai mặt phẳng trong không gian, ta cần nhớ lại khái niệm và các tính chất về góc giữa hai mặt phẳng trong không gian.
a) Khái niệm về góc giữa hai mặt phẳng
Nhị diện là hình hợp bởi hai nửa mặt phẳng phân biệt cùng xuất từ một
đường thẳng. Hai nửa mặt phẳng gọi là hai mặt của nhị diện. Đường thẳng chung của hai mặt gọi là cạnh của nhị diện.
Nhị diện có cạnh là đường thẳng c và hai mặt là và được kí hiệu là ( , , ) c . Nếu không sợ nhầm lẫn người ta có thể gọi tắt là nhị diện ( , ) hay nhị diện ( )c .
Góc phẳng của nhị diện là góc có đỉnh nằm trên cạnh của nhị diện còn hai
cạnh nằm trong hai mặt và đều vuông góc với cạnh của nhị diện.
Số đo của nhị diên là số đo của của góc phẳng của nó + Nhị diện vuông là nhị diện có góc phẳng là góc vuông.
+ Hai nhị diện gọi là bằng nhau nếu các góc phẳng của chúng bằng nhau
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng thẳng lần lượt vuông
góc với hai mặt phẳng đó (hay góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là một trong bốn góc nhị diện mà chúng tạo nên)
Góc không tù giữa hai mặt phẳng và kí hiệu là ( , ) .
b) Các tính chất
Khi hai mặt phẳng ( )P và ( )Q cắt nhau theo giao tuyến , để tính góc giữa chúng, ta chỉ cần việc xét một mặt phẳng ( )R vuông góc với , lần lượt cắt ( )P và ( )Q theo các giao tuyến p và q. Lúc đó góc giữa ( )P và ( )Q bằng góc giữa hai đường thẳng p q, .
SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 84 Lớp: SP Toán học K36
QP P
a
x O y
chiếu lên là (H') có diện tích là S' thì S'S.cos hay ' cos
S S
.
Chú ý: Góc giữa hai mặt phẳng đều có số đo từ 00 đến 900.
Có khi ta không cần xác định cụ thể góc của hai mặt phẳng là góc của hai đường thẳng, nếu biết được diện tích S và diện tích chiếu S' thì góc xác định bởi
'cos S cos S
S
.
Từ khái niệm và các tính chất về góc giữa hai mặt phẳng, ta có thể nêu lên các quy trình có tính chất thuật toán (quy trình tựa thuật toán) để giải các bài toán về xác định góc giữa hai mặt phẳng ( )P và ( )Q trong không gian như sau:
Quy trình 1:
Bước 1: Chọn O a ( )P ( )Q
Bước 2: Trong ( )P dựng đường thẳng Oxa, trong ( )Q dựng đường thẳng Oya Bước 3: Tính số đo của góc xOy
Bước 4: Khi đó: + ( ), ( )P Q xOy , nếu 0 90 xOy . + ( ), ( )P Q 1800xOy, nếu 0 90 xOy .
Bên cạnh quy trình 1 ta còn có quy trình sau để xác định góc giữa hai mặt phẳng trong không gian
Quy trình 2:
Bước 1: Tìm đường thẳng a( )P . Bước 2: Tìm đường thẳng b( )Q
Bước 3: khi đó ( ), ( )P Q ( , )a b .
Quy trình 3:
Bước 1: Tìm giao tuyến a( )P ( )Q Bước 2: Tìm mặt phẳng Ra tại O sao cho ( ) ( )
( ) ( )R P p R P p R Q q Bước 3: Kết luận ( ), ( )P Q ( , )p q . (hình 4.12) Hình 4.11
SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 85 Lớp: SP Toán học K36
Ngoài các quy trình trên ta cũng có thể vận dụng công thức S'S.cos
Với S: diện tích của đa giác nằm trong mặt phẳng ( )P .
S': diện tích của hình chiếu của đa giác lên mặt phẳng ( )Q . : là góc giữa hai mặt phẳng chứa đa giác và mặt phẳng chiếu.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD. , có đáy ABCD là hình chữ nhật. SAmp ABCD( ),
,
ABa SAa.Tính góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD).
Giải:
Nếu áp dụng quy trình 3 ta có lời giải như sau: Ta thấy: (SBC)(ABCD)BC Mà BC SA BC (SAB) BC AB Ta lại có: ( ) ( ) ( ) ( ) SAB ABCD AB SAB SBC SB
Suy ra (SAB), (ABCD)SB AB, SBA450 (do tam giác SAB vuông cân tại A) Nếu ta áp dụng quy trình 1 ta phải chọn điểm O thuộc BC, rồi trong mặt phẳng
R Q Q P p q a Hình 4.12 D A B C S Hình 4.13
SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 86 Lớp: SP Toán học K36
(SBC) ta kẻ OxBC, trong mặt phẳng (ABCD) kẻ OyBC. Để xác định được số đo góc xOy phải thông qua SBA và tính số đo góc SBA.
Đối với quy trình 2 ta phải tìm một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (SBC), một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) rồi tính góc giữa hai đường thẳng đó. Dựa vào giả thiết của bài toán đã cho thì việc này trở nên khó khăn hơn các cách làm khác.
Nếu ta áp dụng công thức S'S.cos thì ta thấy hình chiếu của tam giác SBC lên mặt phẳng (ABCD) là tam giác ABC. Để tìm góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng (ABCD) ta phải tính diện tích tam giác SBC và tam giác ABC. Dựa vào giả thiết của bài toán đã cho ta không thể tính ngay được diện tích hai tam giác nói trên. Như vậy để giải bài toán này rõ ràng ta chọn quy trình 3 là ngắn gọn và hợp lí hơn cả.
Ví dụ 2: Cho tứ diện S ABC. có SA(ABC BA), AC BK, SC. Biết AB3 ,a
4 , 4 , 6
AC a BK a SC a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).
Giải:
Nếu áp dụng quy trình 1 hoặc quy trình 3 ta có: (SBC)(ABC)BC
Kẻ AH BCSH BC (định lí ba đường vuông góc) . Vậy (SBC), (ABC)SH AH, SHA.
Xét tam giác vuông SAH ta có: cos SA SHA
SH
Để tính được góc SHA ta lại phải tính SA và SH. Trong khi đó áp dụng công thức
SA A B C H K Hình 4.14
SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 87 Lớp: SP Toán học K36
' .cos
S S ta lại có cách giải rất ngắn ngọn.
Ta có tam giác ABC là hình chiếu của tam giác SBC lên mặt phẳng (ABC). Gọi S
là diện tích tam giác SBC S, ' là diện tích tam giác ABC ta có: ' .cos
S S (với là góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)).
Ta có: 2 2 2 2 1 1 ' . .3 .4 6 2 2 1 1 . . .4 .6 12 2 2 ' 6 1 cos 12 2 S AB AC a a a S BK SC a a a S a S a
Vậy góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 600.
Như vậy đối với bài toán này ta chọn cách giải áp dụng công thức S'S.cos là tối ưu hơn cả.
Bài tập tự giải
Bài 1: Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân với ABBCa;
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SAa. Gọi E và F lần lượt là trung điểm các cạnh AB và AC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC) [9,tr.111].
Bài 2: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính AB2a, SAa 3.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) [9,tr.114].
Bài 3: Cho lăng trụ ABC A B C. ' ' ' có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Biết góc tạo thành bởi cạnh bên và mặt đáy là 600 và hình chiếu H của đỉnh A lên mp A B C( ' ' ') trùng với trung điểm của cạnh B C' '.
a) Tính tan của góc giữa hai đường thẳng BC và AC'. b) Tính tan của góc giữa (ABB A' ') và đáy [10,tr.259].
Bài 4: Cho hình lập phương ABCD A B C D. ' ' ' ' có cạnh là a. Gọi E F M, , làn lượt là trung điểm của AD AB CC, , ' . Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và
SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 88 Lớp: SP Toán học K36
Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ' ' ' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, '
SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 89 Lớp: SP Toán học K36