VI I Hình chóp cụt 1 Định nghĩa
6 0 a) Tính MN và SO
4.1.4 Quy trình IV: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Để giải các bài toán về chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng trong không gian, ta cần nhớ lại khái niệm và các tính chất về đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau trong không gian.
a) Khái niệm về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
+ Một đường thẳng gọi là vuông góc với một mặt phẳng khi nó vuông góc với mọi đường thẳng chứa trong mặt phẳng đó.
Khi đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng , ta còn nói vuông góc với a và kí hiệu là a hay a
+ Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng là đường thẳng ấy vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau chứa trong mặt phẳng.
b) Các tính chất
+ Có duy nhất một mặt phẳng ( )P đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một đường thẳng a cho trước.
+ Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm O cho trước và vuông góc với một mặt phẳng ( )P cho trước.
+ Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó (là mặt phẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm). + Trục của một tam giác là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tam giác tại tâm đường tròn ngoại tiếp (là tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác).
+ Mặt phẳng nào vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
+ Đường thẳng nào vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì cũng vuông góc với mặt phẳng còn lại.
+ Cho đường thẳng a và mặt phẳng ( )P song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với ( )P thì cũng vuông góc với a.
Từ khái niệm và các tính chất về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, ta có thể nêu lên các quy trình có tính chất thuật toán (quy trình tựa thuật toán) để giải các bài toán về chứng minh đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng ( )P trong không
SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 75 Lớp: SP Toán học K36
gian như sau:
Quy trình 1:
Bước 1: Xác định hai đường thẳng cắt nhau b c, ( )P .
Bước 2: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau , ( )
b c P (ab a, c).
Bước 3: Kết luận a( )P .
Bên cạnh quy trình 1 ta còn có các quy trình khác để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Quy trình 2:
Bước 1: Xác định hai đường thẳng song song với nhau, giả sử b//a.
Bước 2: Chứng minh một trong hai đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, giả
sử b( )P .
Bước 3: Kết luận a( )P .
Quy trình 3:
Bước 1: Xác định mặt phẳng (Q) sao cho ( )Q ( )P và ( )Q a
Bước 2: Chứng minh đường thẳng a vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng
trên, giả sử ad ( )P ( )Q .
Bước 3: Kết luận a( )P .
Quy trình 4:
Bước 1: Xác định hai mặt phẳng ( )R và ( )Q sao cho a( )Q ( )R .
Bước 2: Chứng minh ( )Q ( )P và ( )R ( )P .
Bước 3: Kết luận a( )P .
Quy trình 5:
Bước 1: Xác định một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho, giả sử ( )Q //( )P
Bước 2: Chứng minh đường thẳng a( )Q .
Bước 3: Kết luận a( )P .
Ta biết rằng một quy trình tựa thuật toán chỉ là những gợi ý giải quyết vần đề chứ không phải là thuật toán bảo đảm chắc chắn dẫn đến thành công. Vì vậy khi vận
SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 76 Lớp: SP Toán học K36
dụng các quy trình đã nêu cần linh hoạt và mềm dẻo, biết điều chỉnh phương hướng, thay đổi phương pháp khi cần thiết. Sau đây là các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H I K, , lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm