VI I Hình chóp cụt 1 Định nghĩa
S n a na d
4.1.2 Quy trình II: Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng
Đây là một trong những dạng toán hay gặp nhất trong chuyên mục các bài toán về “quan hệ vuông góc”( và có tần suất khá cao trong các bài toán gặp phải phần hình học không gian trong các đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng các năm gần đây).
Để giải các bài toán về chứng minh hai đường vuông góc trong không gian, ta cần nhớ lại khái niệm và các tính chất về hai đường thẳng vuông góc với nhau trong không gian.
a) Khái niệm về hai đường thẳng vuông góc với nhau
+ Vectơ a
khác vectơ 0
được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ a
song song hoặc trùng với đường thẳng d.
+ Góc giữa hai đường thẳng 1và 2là góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với 1và 2.
+ Nếu u1
và u2
lần lượt là vectơ chỉ phương của 1và 2 và ( ,u u 1 2)
= thì góc giữa hai đường thẳng 1và 2 bằng nếu 0
90 và bằng 1800 nếu 0 90
+ Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900.
b) Các tính chất
+ Nếu vectơ u
và v
lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì . 0
abu v
+ Nếu một đường thẳng c vuông góc với một trong hai đường thẳng a //b thì vuông góc với đường thẳng kia.
Từ khái niệm và các tính chất về hai đường thẳng vuông góc, ta có thể nêu lên các quy trình có tính chất thuật toán (quy trình tựa thuật toán) để giải các bài toán về chứng minh hai đường thẳng a và b vuông góc trong không gian như sau:
Bước 0: (Khởi tạo): Xét sự vuông góc của hai đường thẳng.
Hai khả năng có thể xảy ra:
(1) a và b cắt và vuông góc với nhau (2) a và b chéo và vuông góc với nhau.
SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 66 Lớp: SP Toán học K36
trong hình học phẳng.
Nếu (2) xảy ra ta thực hiện một trong các quy trình sau đây:
Quy trình 1:
Bước 1: Xác định một mặt phẳng chứa một trong hai đường thẳng a hoặc b. Giả sử ( )
a P .
Bước 2: Ta chứng minh đường thẳng còn lại vuông góc với mặt phẳng chứa đường
thẳng kia. Tức là ta chứng minh b( )P .
Bước 3: Kết luận ab.
Bên cạnh quy trình 1 ta còn có quy trình sau để chứng minh hai đường thẳng vuông góc.
Quy trình 2
Bước 1: Tương tự như quy trình 1 ta cũng cần xác định một mặt phẳng chứa một trong hai đường thẳng a hoặc b. Giả sử a( )P .
Bước 2: Ta chứng minh đường thẳng a vuông góc với hình chiếu của b lên mp( )P .
Bước 3: Kết luận ab.
Ngoài ra ta cũng có có thể sử dụng kết quả về liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của hai đương thẳng để chứng minh chúng vuông góc.
Quy trình 3
Bước 1: Xác định đường thẳng c sao cho c//a (hoặc c//b).
Bước 2: Chứng minh cb (hoặc ca).
Bước 3: Kết luận ab.
Bên cạnh các quy trình trên ta cũng có thể dùng định nghĩa hai đường thẳng vuông góc trong không gian hoặc áp dụng các tính chất hình học phẳng để chứng minh.
Ta biết rằng một quy trình tựa thuật toán chỉ là những gợi ý giải quyết vần đề chứ không phải là thuật toán bảo đảm chắc chắn dẫn đến thành công. Vì vậy khi vận dụng hai quy trình đã nêu cần linh hoạt và mềm dẻo, biết điều chỉnh phương hướng, thay đổi phương pháp khi cần thiết. Sau đây là các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: (Khối B-2002) Cho hình lập phương ABCD A B C D. ' ' ' '.Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của BB CD A D', , ' '. Chứng minh: MPC N' .
SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 67 Lớp: SP Toán học K36
Giải:
Gọi E là trung điểm của CC', QED'C N' . Ta có: ME //A D' ', MP(MED A' ') (1) Hai tam giác vuông C CN' và D C E' ' bằng nhau Suy ra CNC'C ED' ' Mà 0 0 ' ' 90 ' ' ' 90 CNC CC N C ED CC N Suy ra ED'NC' (2) Ta có: ( DD ' ') ( DD ' ') ' (3) ' ( DD ' ') BC C C ME C C ME C N C N C C
Từ (2) và (3) suy ra C N' (MED A' ') mà MP(MED A' ') Suy ra C N' MP (đpcm).
Lời bình bài giải ví dụ 1.
Ví dụ 1 quan sát kĩ ta thấy quy trình 1 đã vận dụng một cách triệt để.
Bước 0: Khởi tạo. Khi gặp câu này nếu ta nghĩ đến việc xét sự vuông góc của hai
đường thẳng MP và C N' thì có thể nhận ra ngay hai đường thẳng MP và C N' là hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc vì hai đường thẳng này không cùng thuộc một mặt phẳng, đường thẳng MP chứa trong mặt phẳng (MED A' '), như vậy bước 1 đã được thực hiện.
Bước 2: Chứng minh C N' (MED A' ')
Bước 3: kết luận C N' MP. Rõ ràng quy trình 1 đã được vận dụng một cách triệt để khi tìm lời giải câu này.
Ví dụ 2: (Khối B-2007) Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD. cạnh đáy bằng a. Gọi
E là điểm đối xứng của điểm D qua trung điểm của SA. Gọi M N, lần lượt là
QE E N P M A' D' C' C B A D B' Hình 4.2 ME // BC
SVTH: Nguyễn Thị Hương 1100027 68 Lớp: SP Toán học K36 B C D H A
trung điểm của AE BC, . Chứng minh MNBD.
Giải:
Vì S ABCD. là hình chóp tứ giác đều nên gọi H ACBD thì SH (ABCD). Theo giả thiết E là điểm đối xứng của điểm D qua trung điểm của SA nên ta có
SEAD là hình bình hành SE/ /DA và SEAD SEBC cũng là hình bình hành SC/ /EB
Gọi P là trung điểm của AB. Khi đó trong các tam giác EAB và ABC ta có MP //