Luận văn đề cập đến một số quan điểm về cấu trúc năng lực Toán học của các nhà khoa học để thấy rằng trong nội dung và phương pháp dạy học Tốn học nói chung và dạy học nội dung Tổ hợp và Xác suất nói riêng ln ln phải chú ý rèn luyện cho học sinh những năng lực Toán học cần thiết.
Theo V.A.Cruchetxki: “Những năng lực Toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động Toán học, và trong những điều kiện vững chắc như nhau thì là ngun nhân của sự thành cơng trong cơng việc nắm vững một cách sáng tạo Toán học với tư cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực Toán học” (dẫn theo [54], tr. 16]).
Theo quan điểm này những năng lực Tốn học có liên quan đến những đặc điểm tâm lí cá nhân. Trước hết là nhưng đặc điểm hoạt động trí tuệ. Những
điều kiện tâm lí chung, cần thiết để đảm bảo thực hiện thắng lợi những hoạt động chẳng hạn như: khuynh hướng hứng thú; các tình trạng tâm lí; kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực Toán học. Việc rèn luyện cho học sinh ứng dụng Tốn học vào thực tiễn có tác dụng tích cực, góp phần phát triển năng lực Tốn học cho học sinh.
Một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về cấu trúc năng lực Toán học là cơng trình “Tâm lí năng lực Tốn học của học sinh” của V.A.Cruchetxki. Theo ông, sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực Toán học ở lứa tuổi học sinh là như sau:
1) Về mặt thu nhận thông tin Tốn học: Năng lực tri giác hình thức hố tài liệu tốn học, năng lực nắm được cấu trúc hình thức của bài tốn.
2) Về mặt chế biến thơng tin Tốn học:
- Năng lực tư duy logic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và các quan hệ không gian, các kí hiệu dấu và các kí hiệu số; năng lực suy nghĩ với các kí hiệu Tốn học;
- Năng lực khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng, quan hệ, các phép toán của Toán học;
- Năng lực rút ngắn q trình suy luận Tốn học và hệ thống các phép toán tương ứng, năng lực suy nghĩ với những cấu trúc được rút gọn;
- Tính mềm dẻo của các quá trình tư duy trong hoạt động Toán học; - Khuynh hướng vươn tới sự rõ ràng, sự đơn giản, tính tiết kiệm, và hợp lí của lời giải;
- Năng lực thay đổi nhanh chóng và dễ dàng hướng suy nghĩ, dạng tư duy thuận sang tư duy ngược.
3) Về mặt lưu giữ thơng tin Tốn học: Trí nhớ Tốn học (tức trí nhớ khái quát về các quan hệ Tốn học, về các đặc điểm điển hình, về sơ đồ suy luận và chứng minh);
4) Về thành phần tổng hợp khái quát: Khuynh hướng Toán học của trí tuệ. Cịn theo viện sĩ A.N.Kolmơgơrov, trong thành phần năng lực Tốn học có: 1) Năng lực biến đổi khéo léo những tri thức chữ phức tạp, năng lực tìm con đường giải các phương trình khơng theo quy tắc chuẩn, hoặc như các nhà toán học quen gọi là năng lực tính tốn hay năng lực “angơritmic”;
2) Trí tưởng tượng hình học hay “trực giác hình học”;
3) Nghệ thuật suy luận logic theo các bước được phân chia một cách đúng đắn. Đặc biệt có kĩ năng vận dụng đúng đắn nguyên lí quy nạp tốn học.
Khi nghiên cứu về năng lực Toán học của học sinh, E.L.Thorndike lại đi sâu hơn vào lĩnh vực Đại số. Theo E.L.Thorndike Những thành tố của năng lực Đại số gồm:
1) Năng lực hiểu và thiết lập công thức;
2) Năng lực biểu diễn các tương quan số lượng thành công thức; 3) Năng lực biến đổi các công thức;
4) Năng lực thiết lập các phương trình biểu diễn các quan hệ số lượng đã cho;
5) Năng lực giải các phương trình;
6) Năng lực thực hiện các phép biến đổi đại số đồng nhất;
7) Năng lực biểu diễn bằng đồ thị sự phụ thuộc hàm của hai đối tượng. Trong cấu trúc năng lực của V.A.Cruchetxki, các thành phần năng lực có tác dụng tương hỗ nhau, đan xen nhau; chính vì vậy trong việc phát triển năng lực Toán học ở học sinh, việc rèn luyện, phát triển năng lực này thường liên quan đến kĩ năng, năng lực khác; chẳng hạn năng lực nắm được cấu trúc hình thức của bài tốn là cơ sở góp phần quan trọng cho năng lực tư duy logic trong lĩnh vực quan hệ số lượng và các quan hệ không gian (nếu không nắm được cấu trúc hình thức của bài tốn thì năng lực tư duy trong lĩnh vực các
quan hệ số lượng và các quan hệ không gian của học sinh bị hạn chế đi rất nhiều).
Theo các quan điểm, rõ ràng việc phát triển năng lực Toán học cho học sinh là một nhiệm vụ đặc biệt quan trọng của thầy, cơ giáo thể hiện rõ ở hai lí do sau:
Thứ nhất: Tốn học có vai trị to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa học, kĩ thuật và sự nghiệp cách mạng, cần thiết có một đội ngũ những người có năng lực Tốn học.
Thứ hai: Như nghị quyết Đại hội Đảng cộng sản Việt Nam lần thứ IV đã ghi rõ: “Trên cơ sở những đòi hỏi tất yếu của cuộc sống cộng đồng, của quyền làm chủ tập thể” phải “Bảo đảm sự phát triển phong phú của nhân cách, bồi dưỡng và phát huy sở trường và năng khiếu của cá nhân”. Nhà trường là nơi cung cấp cho học sinh những cơ sở đầu tiên của Tốn học, khơng ai khác chính thầy giáo, cơ giáo là những người hoặc chăm sóc vun sới cho những mầm mống năng khiếu Toán học ở học sinh, hoặc làm thui chột chúng. Rất nhiều nhà Tốn học có tên tuổi khi nói về việc học Tốn của mình trong những năm tháng ngồi trên ghế nhà trường, khơng qn nói tới những ảnh hưởng sâu sắc của các thầy giáo, của các cuốn sách hay, tấm gương của một chiến sĩ trên mặt trận khoa học tác động đến lịng ham thích mơn Tốn, đến việc hình thành những phẩm chất trí tuệ nào đó của mình.
Ngày nay, nhiệm vụ phát triển một cách toàn diện cân đối của người xã hội Cộng sản làm cho việc nghiên cứu vấn đề năng lực một cách khoa học, sâu sắc là hết sức cần thiết. “người giáo viên cần nghiên cứu những mặt năng lực cịn yếu của học sinh để tìm cách giúp các em phát triển các mặt năng lực” (V.A.Cruchetxki 1978, tr. 11).
Do đó dạy học Tốn học nói chung và dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác suất nói riêng cần chú ý đến nhiệm vụ góp phần phát triển năng lực Toán học
cho học sinh. Điều này được thực hiện thông qua hệ thống các bài tập và qua các Bài đọc thêm trong chương này.
Hệ thống bài tập được phân làm 3 loại như sau:
Loại 1: là các bài tập để củng cố và bổ xung cho lí thuyết;
Loại 2: là các bài tập dùng để dạy cho học sinh vận dụng những điều đã học vào giải các bài tốn có nội dung thực tiễn. Vì:
Trong các thành phần của cấu trúc năng lực toán học, theo quan điểm này ta thấy, để phát triển năng lực toán học, cần thiết phải rèn luyện cho học sinh ứng dụng kiến thức Toán học và đặc biệt là ứng dụng kiến thức Toán học vào giải quyết các bài toán thực tiễn. Chẳng hạn, đối với năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài tốn thì, việc nắm được cấu trúc hình thức của bài tốn thuần túy tốn học khơng khó khăn bằng việc nắm cấu trúc hình thức của bài tốn thực tiễn tương ứng (kiến thức Toán học bản chất của hai bài toán là như nhau)- do bài toán thực tiễn liên quan nhiều đến số liệu, dữ liệu, đối tượng khác nhau của thực tiễn, tạo nên cái vỏ hình thức phong phú, đa dạng hơn. Do đó, việc rèn luyện cho học sinh khả năng vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn góp phần phát triển năng lực tốn học này.
Loại 3: là một số bài tập thuộc loại 2 nhưng được soạn ở mức độ cao hơn để góp phần phát triển năng lực Tốn học của học sinh, mà năng lực đó thể hiện ở mặt trí tuệ và mặt định hướng của năng lực học Tốn là: Có tư duy khái qt hố, phân tích, tổng hợp, tư duy logic; tư duy có tính linh hoạt, sáng tạo; sử dụng thành thạo các kí hiệu tốn học thơng thường; biết ghi nhớ chọn lọc các kiến thức toán học cơ bản; biết tự kiểm tra và vận dụng được kiến thức toán học vào giải quyết các bài tốn được đặt ra (mặt trí tuệ). Say mê giải tốn, thích phát hiện các quy luật tốn học, kiên nhẫn quyết tâm giải các bài tốn khó (mặt định hướng).
Ví dụ 40: Từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể tạo thành bao nhiêu số có 5
chữ số sao cho các chữ số đôi một khác nhau đồng thời và a) Hai chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau
b) Hai chữ số 2 và 3 không đứng cạnh nhau c) Giữa hai chữ số 2 và 3 có hai chữ số
Để giải bài tốn này học sinh phải biết phân tích kĩ u cầu của đề: Với câu a) hai số 2 và 3 đứng cạnh nhau thì có hai khả năng xảy ra: Hoặc số 3 đứng bên phải số 2 thì có 4 vị trí xếp cặp 32; hoặc số 3 đứng bên trái số 2 thì có 4 vị trí xếp cặp 23. Vậy có 2.4 cách chọn cặp (2; 3) đứng cạnh nhau.Ứng với mỗi đoạn chọn đó có 3! cách xếp 3 phần tử còn lại vào 3 vị trí cịn lại. Do đó có 2.4.3! = 48 số có 5 chữ số sao cho các chữ số đôi một khác nhau và hai chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau.
Với câu b) ta chỉ cần lấy phần bù của kết quả tính được ở câu a)
Với câu c) ta lập một bộ 4 gồm hai phần tử gồn 2 và 3 và 2 phần tử trong các phần tử còn lại. Ứng với mỗi cặp (2; 3) có 4 bộ trong đó có hai phần tử trong các phần tử còn lại nằm ở giữa 2 và 3. Như vậy có 4. 2C3 = 12 bộ.
Mỗi bộ 4 đó cộng với phần tử cịn lại tạo thành một tập hợp gồm hai phần tử mà số hốn vị là 2!. Vậy số chữ số có thể lập được là 12.2! = 24 số.
Từ bài toán này có thể gợi ý cho học sinh nêu bài tốn tổng quát:
Ở trên là ta tính số hốn vị của 5 phần tử với những điều kiện nhất định,
vậy hãy tổng quát với n phần tử ?Hai số 2 và 3 là hai số bất kì trong n phần tử đó? Và bài tốn tổng qt hi vọng học sinh có thể nêu được là:
Cho tập hợp A có n phần tử trong đó có hai phần tử a1 và a2. Hãy tính số hốn vị của n phần tử đó trong các trường hợp sau:
a) a1 và a2 đứng cạnh nhau
c) Giữa a1và a2 có hai phần tử
Đối với bài tốn tổng qt này có khó khăn hơn nhờ đó học sinh phải nỗ lực hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự hố để đưa ra cách giải tổng quát:
a) Ta cũng phải xét: Với a2 đứng bên phải a1 thì a1 có n – 1 vị trí. Với a2 đứng bên trái a1 thì a1có n – 1 vị trí. Như thế có bao nhiêu cách chọn cặp a1,
a2 đứng cạnh nhau? (có 2(n-2) cách). Ứng với mỗi đoạn đó có bao nhiêu cách xếp n – 2 phần tử cịn lại? (vì cịn n – 2 vị trí nên có (n – 2)! cách xếp ). Có
thể đưa ra đáp số có 2(n -1)(n – 2)! hốn vị trong đó a1 và a2 đứng cạnh nhau. b) Số hốn vị của n phần tử trong đó a1 và a2 không đứng cạnh nhau là n! – 2(n -1)(n – 2)! ( yêu cầu học sinh giải thích điều này).
c) Tương tự như bài toán cụ thể ta lập một bộ 4 gồm hai phần tử a1, a2 và hai phần tử ai, aj trong các phần tử còn lại. Và cũng tương tự ứng với mỗi cặp a1, a2 có 4 bộ trong đó ai, aj nằm giữa a1, a2 là (a1, ai, aj, a2), (a1, aj, ai, a2), (a2, ai, aj, a1), (a2, aj, ai, a1). Có bao nhiêu cách chọn 2 phần tử ai, aj trong n -2
phần tử cịn lại?(có 2 2Cn− cách ). Như vậy có 4. 2 2Cn− = 2(n – 2)(n – 3) bộ 4.
Mỗi bộ 4 đó cùng với cùng với n - 4 phần tử còn lại tạo thành tập hợp gồm n – 3 phần tử, hãy tính số hốn vị tử n – 3 phần tử này? ( là (n -3)! ). Từ đó tính được số hốn vị cần tìm là: 2(n – 2)(n – 3)(n – 3)! Ví dụ 41: Cho biểu thức 15 14 45 45 13 45 A A P A + = a) Tính giá trị của P b) Tổng quát hoá bài toán
Với bài toán này học sinh có thể làm câu a một cách dễ dàng bằng cách áp dụng cơng thức tính số chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần tử và cho kết quả cụ thể. Tuy nhiên, để học sinh làm được câu b, học sinh phải đưa ra những nhận xét thích hợp, chính q trình suy nghĩ để đưa ra những nhận xét
đó học sinh phát huy được năng lực phân tích, tổng hợp, khái qt hố. Giáo viên có thể đưa ra những câu hỏi thích hợp nhằm gợi ý cho học sinh tìm ra bài toán tổng quát: Em có nhận xét gì về các số hạn trong biểu thức P?
15 14 13; ;45 45 45 45 45 45
A A A có đặc điểm gì chung? Từ đó học sinh đưa ra được bài tốn
khái qt dự kiến như sau: Tính giá trị của biểu thức
2 1 k k An An P k An + + + = , với k, n ∈N* và k +2 ≤ n.
Ví dụ 42: Xét tất cả các số có 4 chữ số, sao cho số đó chia hết cho 9 và
các chữ số của nó đơi một khác nhau. Có bao nhiêu số như thế.
Đối với bài toán này học sinh phải xem xét một cách kĩ lưỡng, thấu đáo và hợp lí các trường hợp có thể xảy ra:
Trước hết hãy nhận biết dấu hiệu của một số chia hết cho 9? (Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 9 là tổng các chữ số của nó chia hết cho 9).
Ta xét số có 4 chữ số cần tìm, gọi a là chữ số lớn nhất của nó và b là tổng của 3 chữ số còn lại; Hãy nhận xét về 3 chữ số còn lại này? (chúng bé hơn a và đơi một khác nhau do đó b < (a-1) + (a-2) + (a-3) = 3a – 6 (*)).
Bây giờ cần xét tất cả các khả năng có thể của 3 chữ số còn lại này:
Hãy xét các giá trị của a =9, 8, 7, ... và xét các giá trị của b tương ứng với diều kiện (*)? Nhờ trả lời gợi ý này học sinh phân tích các trường hợp có
thể và đưa ra kết quả:
- Với a = 9 thì b < 21 nên có thể bằng 18 hoặc 9 ( b bằng 0 bị loại trừ vì phải có 3 chữ số 0)
Nếu b = 18 thì có 3 bộ là: (8; 7; 3), (8; 6; 4), (7; 6; 5)
Nếu b = 9 thì có 7 bộ là: (8; 1; 0), (7; 2; 0), (6; 3; 0), (6; 2; 1), (5; 4; 0), (5; 3; 1), (4; 3; 2).
- Với a = 8 thì b = 10 (vì b < 18 và b = 1 bị loại trừ vì phải có hai chữ số 0), khi đó có 6 bộ là: (7; 3; 0), (7; 3; 1), (6; 4; 0), (6; 3; 1), (5; 4; 1), (5; 3; 2)
- Với a = 7 thì b = 11 (b = 2 bị loại trừ vì phải có hai chữ số 0 hoặc hai chữ số 1), khi đó có 4 bộ là: (6; 5; 0), (6; 4 ;1), (6; 3; 2), (5; 4; 2)
- Với a = 6 thì b bằng 12 hoặc bằng 3 Nếu b = 12 thì có một bộ là (5; 4; 3) Nếu b = 3 thì có một bộ là (2; 1; 0)
- Với a = 5 thì b = 4 (b = 13 bị loại vì ba chữ số đang tìm lớn nhất là 4, 3, 2 với tổng là 9 < 13), chỉ có một bộ là (3; 1; 0)
- Với a = 4 thì b = 5, có một bộ là (3; 2; 0) - Với a < 4 thì khơng có bộ nào
Sau khi đã xét như trên học sinh cần phải xem xét lại yêu cầu của đề
Hãy đếm tất cả các bộ đã tìm được, ứng với mỗi bộ thì thành lập được bao nhiêu số thỗ mãn?
Vậy có cả thảy 24 bộ trong đó có 10 bộ có chữ số 0. Với mỗi bộ ba chữ số khơng có chữ số 0 thì mỗi hốn vị của 4 phần tử gồm bởi 3 chữ số của bộ 3