Trong mối liên hệ logic của Toán học ứng dụng, khi học Lí thuyết xác suất học sinh buộc phải làm việc với cả suy luận diễn dịch lẫn suy luận hợp lí; thêm vào đó cũng tại thời điểm này, các em đã và đang phải rèn luyện sử dụng các suy luận diễn dịch. Do đó làm thế nào để học sinh nhận thức được các suy luận hợp lí trong sự phân biệt với các suy luận diễn dịch? Đồng thời làm thế nào để giúp các em sử dụng kết hợp hai suy luận này trong q trình học Xác suất?
Suy luận hợp lí: “là suy luận có bao hàm những khái niệm hoặc những khẳng định khơng được xác định một cách thật chính xác và đơn trị (những khái niệm hợp lí hoặc những khẳng định hợp lí), nhưng nếu áp dụng nó với độ chính xác thích hợp (trong hồn cảnh mà nó được áp dụng vào), thì vẫn có khả năng dẫn đến kết quả chấp nhận được” [22, tr. 22].
Suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn hay suy luận chứng minh) là suy luận theo những quy tắc (quy tắc suy diễn) xác định rằng, nếu tiên đề (các tiên đề) là đúng thì kết luận ra cũng đúng. Các quy tắc suy diễn nói đến ở đây là quy tắc suy diễn của Logic hình thức. “Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy, không chối cãi được và dứt khoát” [44, tr. 5]
Nhà sư phạm Xôviết V. V. Firsov đã chỉ rõ rằng: “Việc dạy học một số yếu tố của lí thuyết xác suất ở tường phổ thông (của Liên Xô trước đây) gặp phải những khó khăn ngầm, mà trong cuộc thử người ta không chú ý giải quyết chúng” và “Bản chất của những khó khăn này ít liên quan đến trình độ giáo trình . . . Do đó, những thay đổi về khối lượng và nội dung của tài liệu học tập (thuộc phần lí thuyết) sẽ khơng khắc phục được những khó khăn này. Những khó khăn này có đặc tính phương pháp luận và bản chất của chúng liên quan đến vấn đề định hướng ứng dụng của giáo trình Lí thuyết xác suất ở trường phổ thơng ở trường phổ thông, điều kiện chủ yếu và cần thiết để đạt được mục đích dạy học” [22, tr. 43].
Ngay trong khi học định nghĩa thống kê của xác suất học sinh đã phải tiếp thu “sự hợp lí”: Người ta chứng minh được rằng khi số lần thử N càng lớn thì tần suất của A càng gần với một số xác định, số đó được gọi là xác suất của A theo nghĩa thống kê. Như vậy tần suất được xem là giá trị gần đúng của xác suất.
Ví dụ 10: Chính vì chưa nắm được sự suy luận hợp lí trong suy luận
diễn dịch nên có học sinh giải thích như sau: Khi biết rằng “Xác suất để bạn H bắn trúng bia (khi bạn đó bắn vào bia một viên đạn) bằng 0,8” có nghĩa là cứ 10 lần cho bạn H bắn vào bia một viên đạn trong những điều kiện cơ bản khơng đổi của trường bắn thì có đúng 8 lần bạn H bắn trúng bia.
Cách giải thích trên là hồn tồn sai, để khắc phục sự sai lầm đó chúng tơi sẽ giải quyết ở chương 2 của Luận văn.
Khi giải các bài tốn Xác suất có nội dung thực tiễn, học sinh buộc phải sử dụng kết hợp các suy luận hợp lí và các suy luận diễn dịch trong trình bày và chứng minh các kết quả đã thu được. Như đã nói kĩ năng này là hồn tồn mới đối với học sinh, vì thế học sinh khơng tránh khỏi những khó khăn nhất định. ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 11: Một con xúc xắc cân đối đồng chất được gieo 2 lần. Tính xác
suất sao cho tổng số chấm trong hai lần gieo không nhỏ hơn 10, nếu số 5 xuất hiện trong lần gieo thứ nhất.
Giải bài toán này ta phải làm theo các bước sau: Bước 1: Không gian mẫu là: Ω ={( )i j; /1 ,≤i j≤6}
Ký hiệu A : “Số 5 xuất hiện trong lần gieo thứ nhất”
B : “Tổng số chấm trong hai lần gieo khơng nhỏ hơn 10” Bước 2: Ta tính A={( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5;1 , 5;2 , 5;3 , 5;4 , 5;5 , 5;6 }
Bước 3: Ta áp dụng công thức: P B A( / )=P B(P A( )∩A) Bước 4: Tính: ( ) 2 36 P A B∩ = ; ( ) 6 36 P A = Bước 5: Khi đó ( / ) 2 6: 1 0,3 36 36 3 P B A = = ≈ Bước 6: Kết luận ( / ) 0,3P B A =
Trong lời giải trên có sự kết hợp cả của suy luận diễn dịch và suy luận có lí, ta khơng bắt học sinh phải chỉ ra rõ ràng bước nào là bước suy luận diễn dịch, bước nào là bước suy luận có lí. Nhưng trong q trình giải tốn Xác suất học sinh phải hiểu được các bước cần làm, rèn luyện cho học sinh làm được những bước như vậy là góp phần rèn luyện kĩ năng làm tốn Xác suất đồng thời góp phần phát triển tư duy cho học sinh.
Một sai lầm liên quan đến suy luận trong tốn Tổ hợp qua ví dụ sau:
Ví dụ 12: Cho hai người Việt Nam, bốn người Pháp và năm người Nhật xếp thành một hàng. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho mỗi người đứng cạnh có ít nhất một người cùng quốc tịch.
Một học sinh giải như sau: Do cứ mỗi người thì đứng cạnh phải có ít nhất một người cùng quốc tịch nên:
Bốn người Pháp tách thành hai nhóm (mỗi nhóm hai người đứng cạnh nhau, kí hiệu là B, C ).
Năm người Nhật tách thành hai nhóm (một nhóm hai và một nhóm ba người đứng cạnh nhau, kí hiệu lần lượt là D, E).
Hai người Việt Nam ln đứng cạnh nhau (kí hiệu là A).
Mỗi cách sắp xếp A, B, C, D, E thành một dãy là một hốn vị của 5 vị trí suy ra có 5! cách sắp xếp A, B, C, D, E thành một dãy.
Mặt khác: Đưa hai người Việt Nam vào nhóm A có 2! cách Đưa hai người Pháp vào B có 2
4
Đưa hai người Pháp vào C có 2! cách; Đưa hai người Nhật vào D có 2
5
A cách; Đưa ba người Nhật vào E có 3! cách;
Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn bài ra là 5! . 2! . 2 5
A . 3! . 24 4
A . 2! = 691200 cách. 691200 cách.
Do cịn yếu về năng lực suy luận hợp lí mà lời giải bài tốn mắc phải sai lầm: Số cách sắp xếp trên tăng lên nhiều so với thực tế bởi lẽ: Nếu gọi bốn người Pháp là P , P , P , P1 2 3 4. Xét hai cách sắp xếp sau: A, P , P , P , P1 2 3 4, D, E (1) và A, P , P , P , P3 4 1 2, D, E (2) cả hai cách này đều được tính trong 5! (vì hai
hốn vị của 5 phần tử A, B, C, D, E), mà cách (2) cũng là một hoán vị của 4 người Pháp trong cách 1.
Do đó bài tốn được giải đúng như sau: Để tránh "bẫy" của bài toán, ta nhận xét thấy: nếu có B và C hoặc D và E đổi chỗ cho nhau khi đứng cạnh nhau sẽ tạo ra cách sắp xếp lại. Vậy khơng để lặp lại ta tìm cách xếp A, B, C, D, E thành một dãy mà B luôn đứng trước C; D luôn đứng trước E khi đứng cạnh nhau.
Trước hết ta xếp B, C, D, E thành một dãy theo quy tắc trên: Có 9 cách sắp xếp BCDE (1); BDCE (2); BECE (3); BDEC (4); DBCE (5); DBEC (6); DEBC (7); EBCD (8); EBDC (9).
Ứng với cách xếp (1) có 5 vị trí đưa A vào, trong trường hợp BCDAE cịn có thêm một cách nữa BCEAD, như vậy ứng với cách xếp (1) cho ta 6 cách xếp A, B, C, D, E. Tương tự như vậy với cách (4) và (7). Ứng mỗi cách cịn lại ta có 5 cách đưa A vào tạo thành một dãy. Vậy tổng số cách xếp A, B, C, D, E thành một dãy là 3. 6 + 6. 5 = 48.
Do đó ứng với mỗi cách ta có: 2! cách đưa hai người Việt Nam vào A 2
4
2! cách đưa hai người Pháp vào C 2
5
A cách đưa hai người Nhật vào D 3! cách đưa hai người Nhật vào E Vậy có: 48. 2!. 2
4
A . 2!. 25 5
A 3! = 276480 (cách).