các kí hiệu, phân biệt các khái niệm; rèn luyện kĩ năng, phương pháp bộ môn ở mức độ phổ thông, cơ bản, theo yêu cầu sát với thực tiễn.
Nguyễn Bá Kim đã khẳng định: “Trong mơn Tốn, việc dạy học các khái niệm Tốn học có một vị trí quan trọng hàng đầu. Việc hình thành một hệ thống các khái niệm là nền tảng của tồn bộ kiến thức Tốn học của học sinh, là tiền đề để hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, đồng thời có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ và thế giới quan duy vật biện chứng cho người học” [32, tr. 179].
Trong nội dung Tổ hợp và xác suất thì: Tổ hợp lâu nay vẫn được xem là dạng tốn khó, bởi những khái niệm khó nhớ, khó phân biệt; Xác suất thì đây là lần đầu tiên được đưa vào dạy đại trà cho học sinh phổ thơng, do đó các khái niệm và các công thức ở chương này là hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh.
Xuất phát từ mục tiêu đổi mới chương trình giáo dục phổ thơng: coi trọng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tế, nội dung của chương trình tinh giản, giảm tính hàn lâm, tập trung vào các kiến thức, kĩ năng cơ bản và thiết thực, tích hợp được nhiều mặt giáo dục. Do vậy, hệ thống kiến thức và kĩ năng tương ứng cần truyền thụ cho học sinh trong chương này như sau:
Về Tổ hợp: Học sinh được học về quy tắc nhân, quy tắc cộng; các khái niệm hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp; cơng thức nhị thức Niu-tơn và tam giác Pascal. Các kĩ năng tương ứng với nội dung kiến thức trên cần đạt được là:
- Biết vận dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân, các cơng thức tính số hốn vị, số tổ hợp, số chỉnh hợp để giải các bài toán tổ hợp
- Biết tính các hệ số của xktrong khai triển nhị thức Niu-tơn của
(ax b+ )n; các hệ số của x yk ltrong khai triển nhị thức Niu–tơn của (ax by+ )n
và giải các bài tốn có liên quan.
- Trình bày rõ ràng mạch lạc các lập luận khi giải một bài toán tổ hợp. Về Xác suất: Học sinh được làm quen với phép thử, không gian mẫu, các biến cố liên quan với phép thử; các phép toán trên biến cố; định nghĩa cổ điển và định nghĩa thống kê của xác suất; các quy tắc cộng và nhân xác suất trong trường hợp các biến cố độc lập; khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc và bảng phân phối của chúng; các cơng thức tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc và ý nghĩa của chúng. Kĩ năng tương ứng cần rèn luyện cho học sinh là:
- Biết vận dụng kiến thức tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển của xác suất.
- Biết vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất để giải một số bài toán xác suất đơn giản.
- Biết lập bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc.
- Biết tính các xác suất liên quan tới biến ngẫu nhiên rời rạc từ bảng phân bố của nó.
- Biết tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc.
Các kiến thức và kĩ năng trên nói chung là phổ thơng và cơ bản, vì rằng:
- Trong khoa học cũng như trong đời sống chúng ta thường gặp bài toán xác định số lượng các đối tượng có một tính chất nào đó. Ta gọi đó là bài tốn đếm. Tổ hợp là một ngành toán học nghiên cứu các bài tốn mang cấu trúc rời
rạc trong đó có bài tốn đếm. Kĩ năng và kiến thức của toán tổ hợp rất cần thiết cho nhiều ngành khoa học từ Kinh tế tới Sinh vật, Hoá học, Quản trị kinh doanh.
- Nhờ có các kiến thức trong phần Tổ hợp mà chúng ta có thể xác định được số lượng các phần tử của một tập hợp một cách nhanh chóng và chính xác mà khơng cần (và nhiều khi cũng khơng thể) liệt kê được vì nó rất lớn.
- Các kiến thức về Lí thuyết xác suất là những viên gạch đầu tiên, quan trọng của cả q trình xây dựng và ứng dụng Lí thuyết xác suất, và do sự xâm nhập của Lí thuyết xác suất vào hầu hết các ngành khoa học, kĩ thuật, vào hầu hết các hoạt động thực tiễn của loài người, nên chúng đã thuộc vào những tri thức tối thiểu mà bất kì người nào cũng cần phải có để trực tiếp đi vào sản xuất và các công tác khác, để có cuộc sống văn hố và để đi vào các loại trường chuyên nghiệp và dạy nghề.
- Các kiến thức về Tổ hợp và Xác suất, chúng đã được lựa chọn sao cho: Về cơ bản là phù hợp với thực tiễn dạy học và trình độ trí tuệ của học sinh, “Tính chất, khối lượng và mức độ những tri thức phổ thơng, cơ bản có tính tương đối, nghĩa là chúng ln ln biến động, được nâng cao và được hoàn thiện cùng với sự phát triển của xã hội, của cách mạng khoa học - kĩ thuật, của năng lực nhận thức của học sinh cũng như của cơ sở vật chất - kĩ thuật của nhà trường” [22, tr. 55].
Tuy nhiên, những tri thức này có những điều khó và mới lạ đối với học sinh phổ thơng. Những điều đó là: Các khái niệm về tổ hợp đều được định nghĩa dưới dạng mơ tả trừu tượng; biến ngẫu nhiên có tính khơng ổn định, lúc xảy ra thế này, lúc xảy ra thế khác (thường thay đổi từ phép thử này đến phép thử khác); và các suy luận có lí có tính khơng đơn trị: chúng có thể được hiểu khác nhau đối với những bộ óc khác nhau và đối với những hoàn cảnh cụ thể khác nhau. Trên thực tế những điều này đã gây ra nhiều khó khăn cho việc thực hiện mục đích dạy học.
Hiện nay, trong sách giáo khoa hiện hành các tri thức này được trình bày sao cho ngầm phản ánh được tinh thần của Lí thuyết Tổ hợp và Xác suất. Cụ thể là:
- Dẫn dắt các khái niệm một cách sinh động, đi từ thực tế đến toán học một cách tự nhiên, có nhiều ví dụ về các tình huống thực tế có nội dung Tổ hợp và Xác suất.
- Tiếp tục sử dụng ngơn ngữ và kí hiệu của lí thuyết tập hợp mà học sinh quen dùng ở các lớp dưới
- Thể hiện tinh thần của cấu trúc khơng gian Xác suất (Ω, ,A P) , trong đó Ω là không gian các biến cố sơ cấp, A là đại số các biến cố (đại số các tập con của Ω), P là độ đo xác suất của A. Cụ thể là: Trong lí thuyết được trình bày rõ ràng và có trọng tâm về các phép tốn cơ bản trên tập hợp các biến cố ứng với cùng một phép thử (thực chất đó là các phép toán trên một đại số Bun-Lơ các biến cố).
Với quy tắc cộng thì trên thực tế học sinh đã làm quen từ lớp dưới một cách chưa có ý thức. Bản chất tốn học của quy tắc cộng là cơng thức tính số phần tử của hai tập hợp hữu hạn không giao nhau: Nếu A và B là hai tập hợp
hữu hạn khơng có phần tử chung thì A B∪ = +A B . Tuy nhiên quy tắc cộng
trong SGK được trình bày dưới dạng mơ tả: Giả sử có một cơng việc có thể
được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B. Có n cách thực hiện theo phương án A và m cách thực hiện theo phương án B. Khi đó cơng việc được thực hiện theo n + m cách. Quy tắc này đơn giản nhưng do không nắm
vững nên học sinh vẫn hay mắc sai lầm, trong cuộc sống hàng ngày có rất nhiều ví dụ vận dụng quy tắc cộng, chẳng hạn:
Ví dụ 16: Nếu có 8 đầu sách Tốn và 5 đầu sách Lý thì một học sinh có
Một quy tắc nữa mà học sinh được học đó là quy tắc nhân, bản chất Tốn học của quy tắc nhân là cơng thức tính số phần tử của một tích Đêcác của hai tập hợp hữu hạn. Sách giáo khoa, quy tắc nhân được mô tả như sau:
Giả sử một cơng việc nào đó bao gồm hai cơng đoạn A và B. Cơng đoạn A có thể làm theo n cách, với mỗi cách thực hiện cơng đoạn A thì cơng đoạn B có thể làm theo m cách. Khi đó cơng việc có thể thực hiện theo m.n cách.
Để khắc sâu cho học sinh hiểu quy tắc nhân, thầy giáo có thể biễu diễn bằng sơ đồ cây trong từng ví dụ cụ thể, chẳng hạn:
Ví dụ 17: Có bao nhiêu sau nhị phân có chiều dài 4 bit khơng có hai số
1 liên tiếp.
Để tính được số sâu nhị phân thỗ mãn ta biểu thị tất cả các dãy nhị phân dài 4 bit khơng có hai số 1 liên tiếp:
Với quy tắc nhân thầy giáo có thể thiết lập mơ hình giải tốn như sau: - Chỉ ra các công đoạn để thực hiện cơng việc
- Tính số cách thực hiện trong từng cơng đoạn - Kết quả bằng tích của các cơng đoạn
Ví dụ 18: Có 4 người A, B, C, D cần chọn vào chức Giám đốc, Kế toán
0 1 0 1 0 0 1 0 Bít thứ tư 1 0 0 1 0 Bít thứ ba
0 1 0 Bít thứ hai 1 0 Bít thứ nhất
trưởng và Chủ tịch HĐQT. Giả sử việc chọn nhân sự phải thỗ mãn: Ơng A không thể chọn là Giám đốc, chức Chủ tịch HĐQT phải là ơng C hoặc ơng D, hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Ta phân tích lời giải như sau:
Việc chọn 3 vị trí Giám đốc, Kế tốn trưởng và Chủ tịch HĐQT tiến hành theo 3 công đoạn:
Công đoạn 1: Chọn Chủ tịch HĐQT: có 2 cách chọn là ơng C hoặc ông D
Công đoạn 2: Chọn Giám đốc: Ta ln có 2 cách chọn dù ở cơng đoạn 1 ai được chọn
Cơng đoạn 3: Chọn kế tốn trưởng có 2 cách Vậy kết quả là có 2.2.2 = 8 cách chọn.
Thành thử, muốn sử dụng quy tắc nhân, trong mô hình của ta gồm việc thực hiện liên tiếp các công đoạn, số cách thực hiện ở công đoạn tiếp theo phải như nhau với mọi cách đã được thực hiện ở công đoạn hiện tại.
Do khơng nắm vững khái niệm và kí hiệu học sinh vẫn thường nói: Tổ hợp chập k của n là Cnk , hoặc: Chỉnh hợp chập k của n là Ank . Đó là cách nói
hồn tồn sai. Có thể tạo tình huống để học sinh phân biệt được: Một chỉnh hợp hay một tổ hợp với số chỉnh hợp hay số tổ hợp.
Ví dụ 19: Cho tập A = {1, 2, 3, 4}.
a) Hãy chỉ ra các chỉnh hợp chập 3 của tập hợp A b) Tính số chỉnh hợp chập 3 của tập hợp A
c) Hãy chỉ ra các tổ hợp chập 3 của tập hợp A d) Tính số tổ hợp chập 3 của tập hợp A
Việc liệt kê ra các chỉnh hợp rất mất thời gian nhưng học sinh được rèn luyện tính kiên trì cũng từ đó học sinh có cái nhìn sâu sắc về sự phân biệt các
chỉnh hợp khác nhau là như thế nào, tương tự như đối với tổ hợp. Có thể cho học sinh trả lời câu hỏi: Hai chỉnh hợp khác nhau khi nào? Hai Tổ hợp khác nhau khi
nào?
Khi dạy các cơng thức về tổ hợp, có thể học sinh rất lúng túng khi nhớ các cơng thức tính Pn, Ank , Cnk, nhờ đó ta có thể đặt câu hỏi: Có cách gì để
nhớ được các cơng thức trên mà không bị nhầm lẫn?
Để trả lời cho câu hỏi đó học sinh sẽ phải tích cực suy nghĩ tìm ra cách nhớ nhanh nhất và thầy giáo có thể nhận được rất nhiều phương án. Cũng nhờ quá trình tìm tịi đó học sinh đã nhớ cơng thức rồi. Có thể nêu ra đây một phương án để nhớ:
Số hoán vị của tập hợp gồm n phần tử là Pn bằng tích của n số tự nhiên đầu tiên. Số chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần tử (trong thực hành nên dùng công thức Ank =n n.( −1) (n−2 ...) (n k− +1)), nhớ công thức này bằng cách: bắt đầu viết liên tiếp k số n, n-1, n-2, ..., n -k +1 rồi nhân chúng lại với nhau. Chia Ank cho k! ta được Cnk.
Trong quá trình dạy học Tốn học khơng chỉ dạy cho học sinh nắm vững các khái niệm, định lí; các quy tắc, cơng thức mà cịn phải làm cho học sinh biết vận dụng vào giải Toán. Cũng như vậy, dạy kiến thức về Tổ hợp không phải dừng lại ở việc bắt học sinh học thuộc khái niệm, nhớ quy tắc, công thức mà điều chủ yếu là phải dạy học sinh biết vận dụng các khái niệm, các quy tắc, các công thức vào giải các bài tốn cụ thể, các bài tốn có nội dung thực tiễn.
Sai lầm phổ biến của học sinh trong giải toán Tổ hợp là hay nhầm lẫn giữa các quy tắc nhân và cộng, lúng túng không biết khi nào sử dụng chỉnh hợp và khi nào sử dụng tổ hợp. Vì vậy thực tiễn sư phạm yêu cầu người thầy giáo phải khắc phục được những khó khăn và sai lầm đó cho học sinh.
Ví dụ 20: Một lớp học có 40 học sinh, cần cử ra một ban cán sự lớp gồm
một lớp trưởng, một lớp phó và 3 uỷ viên. Hỏi có mấy cách lập ra ban cán sự. Đối với bài toán này, để định hướng cách giải người thầy giáo có thể nêu lên câu hỏi: Để chọn được một ban cán sự cần thực hiện mấy công đoạn? Nhìn vào u cầu của bài tốn có thể học sinh sẽ trả lời được: Ta cần thực
hiện các công đoạn sau: chọn một lớp trưởng, chọn một lớp phó và chọn 3 uỷ viên. Cuối cùng ta sẽ yêu cầu học sinh tìm số cách chọn trong mỗi công đoạn:
Công đoạn 1: Chọn 1 lớp trưởng có 40 cách
Cơng đoạn 2: Chọn 1 lớp phó trong 39 học sinh sau khi đã chọn lớp trưởng có 39 cách
Công đoạn 3: Chọn 3 uỷ viên trong 38 học sinh cịn lại (3 uỷ viên khơng cần có thứ tự nên dùng tổ hợp) có 3C38.
Để biết được có tất cả bao nhiêu cách chọn ban cán sự ta dùng quy tắc nào? Đến đây học sinh sẽ biết dùng quy tắc nhân để đưa ra kết quả số cách
lập ra ban cán sự lớp là: 40.39.C383 =13160160 cách
Bài tốn này có thể giải theo cách khác được không? Bây giờ ta thực
hiện cách chọn như sau:
Công đoạn 1: Chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó, khi đó cách chọn này có thứ tự nên số cách chọn là 2A40
Công đoạn 2: Chọn 3 học sinh trong 38 học sinh còn lại làm uỷ viên, cách chọn này khơng có thứ tự nên số cách chọn là 3C38.
Vậy số cách chọn ban đại diện lớp là: 2A40. 3C38= 13160160 cách.
Khi phối hợp sử dụng các kiến thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để giải các bài toán, giáo viên cần lứu ý học sinh các đối tượng đếm không bị lặp lại.
Đây cũng là sai lầm rất dễ mắc phải. Bản chất của vấn đề là chúng ta cần cho học sinh được thử thách với những bài toán dễ mắc sai lầm; cần phải tiếp xúc với những sai lầm thì mới sửa chữa được sai lầm. Quan điểm này cũng phù hợp với quan điểm của J. Piaget: "Chỉ có sự hoạt động được giáo viên thường xuyên định hướng và khích lệ, nhưng vẫn ln ln tự do trong việc mị mẫm và ngay cả trong những sai lầm, mới có thể đưa đến sự độc lập về mặt trí tuệ" (Dẫn theo IREM GRENOBLE). Thơng qua sự quan tâm, theo dõi đó, giáo viên sẽ phân loại được sai lầm, tiên lượng được những sai lầm khi nó bắt đầu xuất hiện. Và từ đó dẫn dắt học sinh đi theo con đường tránh các sai lầm. Thầy biết đặt mình vào vị trí học sinh, hình dung và bình luận các sai lầm mà học sinh thường mắc