của Lí thuyết xác suất là chưa có.
Theo Đại Bách khoa tồn thư Xơviết thì trực giác là năng lực nhận thức được chân lý bằng xét đốn trực tiếp khơng có sự biện giải bằng chứng minh [37, tr. 35].
Trực giác toán học được hiểu với nhiều nghĩa khác nhau và trên thực tế tồn tại nhiều dạng khác nhau. Trực giác có thể coi là sự bừng sáng đột ngột chưa nhận thức được, có thể là trực quan cảm tính "nhận thức trực tiếp khơng phải bằng suy luận của lý trí" (Từ điển Bách khoa toàn thư Việt Nam, tr. 1369), là sự "thấy trực tiếp" các khái niệm hoặc sự kiện trong các tình huống tốn học (được hiểu theo nghĩa rộng bao gồm cả Tốn học hình thức lẫn những tình huống thực tiễn mang đặc trưng toán học). Ở mức độ cao, trực giác toán học cho khả năng định hướng nghiên cứu trong các tình huống tốn học mới khơng quen biết, dự đốn được kết quả nghiên cứu và đường lối tìm ra kết quả đó, phát hiện những sai lầm rõ ràng, trực giác toán học là là một nhân tố quan trọng trong quá trình nhận thức logic các yếu tố của tốn học, và trong q trình vận dụng tốn học vào thực tiễn.
Nếu các yếu tố của Đại số và Hình học có được chỗ dựa là trực giác số và trực giác không gian tương ứng của học sinh, thì đối với các yếu tố của Lí thuyết xác suất cơ sở tương tự là khơng có. Chính điều này dẫn đến những khó khăn ở học sinh khi học các yếu tố của Lí thuyết xác suất.
Trực giác xác suất là trực giác tốn học được thể hiện trong nghiên cứu các tình huống xác suất (được hiểu theo nghĩa rộng, bao gồm cả những tình
huống trong các mơ hình tốn học – xác suất, lẫn những tình huống thực tiễn mang đặc trưng xác suất).
Ví dụ 13: Gieo 3 đồng xu đồng chất và đối xứng. Hãy tìm xác suất của
các biến cố ngẫu nhiên sau đây:
Biến cố A1: Khơng có mặt sấp nào xuất hiện Biến cố A2: Có một mặt sấp xuất hiện
Biến cố A3: Có hai mặt sấp xuất hiện Biến cố A4: Có ba măt sấp xuất hiện Một học sinh giải như sau:
Ở kết quả của phép thử T: “Gieo 3 đồng xu đồng chất và đối xứng”, có thể xảy ra một và chỉ một biến cố ngẫu nhiên trong các biến cố ngẫu nhiên sau đây: A1, A2, A3, A4 và các biến cố này là đồng khả năng. Từ đó vận dụng định nghĩa cổ điển của xác suất sẽ tính được:
1 ( )1 ( 2) ( 3) ( 4)
4
P A =P A =P A =P A =
Lời giải trên là sai vì ngộ nhận rằng các biến cố A1, A2, A3, A4 là đồng khả năng.
Thật vậy, khi phân tích để đi đến lời giải đúng ta thấy:
Khi thực hiện phép thử T, biến cố A1 chỉ có thể xảy ra một trường hợp: Trong kết quả của phép thử T, ở cả 3 đồng xu đều xuất hiện mặt ngửa; còn biến cố A2 có thể xảy ra trong 3 trường hợp sau đây:
- Trường hợp 1: Trong kết quả của phép thử T, ở đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt sấp và ở hai đồng xu khác xuất hiện mặt ngửa.
- Trường hợp 2: Trong kết quả của phép thử T, ở đồng xu thứ 2 xuất hiện mặt sấp và hai đồng xu còn lại xuất hiện ngửa.
- Trường hợp 3: Trong kết quả của phép thử T, ở đồng xu thứ 3 xuất hiện mặt sấp, còn hai đồng xu khác xuất hiện ngửa.
Vậy biến cố A2 có khả năng xảy ra nhiều hơn biến cố A1, khi phép thử T thực hiện. Bởi vậy các biến cố A1, A2, A3, A4 là không đồng khả năng. Như vậy việc phân tích này bước đầu cho ta thấy “trực giác” trên cuả học sinh là sai.
Ví dụ 14: Hai ơng Hồ và Bình chơi đánh bạc với nhau theo quy tắc là:
ở mỗi lần chơi, ơng Hồ sẽ ném 2 con xúc xắc 24 lần và sẽ được tính 1 điểm nếu có ít nhất 1 lần xuất hiện 2 mặt có 6 chấm; cịn ơng Bình sẽ ném 4 con xúc xắc 1 lần và sẽ được tính 1 điểm nếu xuất hiện ít nhất một mặt có 5 chấm. hỏi rằng trong cuộc chơi này ơng nào “có lợi” hơn? (các con xúc xắc trên là đều đồng chất và có dạng hình lập phương).
Khi cho học sinh giải bài tốn này có nhiều em sẽ dự đốn rằng: Vì ơng Hồ được ném 24 lần cịn ơng Bình chỉ được ném có 1 lần, nên ở mỗi lần chơi,
so với ơng Bình, ơng Hồ có khả năng được tính điểm nhiều hơn, từ đó suy ra ơng Hồ “có lợi” hơn.
Đây là một trực giác xác suất sai của học sinh.
Ta thấy: Nếu gọi A là biến cố “có ít nhất một lần xuất hiện 2 mặt có 6 chấm” (ứng với phép thử “ném 2 con xúc xắc 24 lần” ), và gọi B là biến cố “xuất hiện ít nhất một mặt có 6 chấm” (ứng với phép thử “ném 4 con xúc xắc 1 lần” ), ta sẽ tính được: 24 35 ( ) 1 0,49 36 P A ÷ = − ≈ ; ( ) 1 5 4 0,52 6 P B ÷ = − ≈ Vì vậy P(A) < P(B).
Từ đó suy ra rằng: ở mỗi lần chơi, so với ơng Hồ, ơng Bình có khả năng được tính điểm nhiều hơn, tức là trong cuộc chơi này ơng Bình “có lợi” hơn.
Ví dụ 15: Chúng ta xem xét câu hỏi sau: Cần mời bao nhiêu người đến
tham dự một buổi dạ hội sao cho xác suất để hai người trong số họ có cùng ngày sinh lớn hơn 50%?
Bằng trực giác, nhiều học sinh sẽ suy luận như sau: Một năm có 365 ngày (khơng tính năm nhuận), do đó có thể đốn rằng cần phải mời ít nhất 182 người (khoảng một nửa của 365) để có hai người có cùng ngày sinh.
Tuy nhiên trên thực tế, từ quan điểm toán học xác suất, chỉ cần 23 người khách mời là đủ.