mơn Tốn.
Thực hiện mối liên hệ với thực tiễn ngay trong nội dung dạy học như: Các “quy tắc cộng” và “quy tắc nhân” gắn liền với các phép đếm trong thực tế; “số hoán vị”, “số chỉnh hợp”, “số tổ hợp” gắn liền với việc đếm số phần tử,
chọn số phương án trong thực tiễn; các “biến cố ngẫu nhiên” và “xác suất” được hình thành trong sự gắn bó với các phép thử ngẫu nhiên trong thực tế. Trong nội dung dạy học, các bài toán được khảo sát cũng được lấy từ thực tiễn vui chơi, thực tiễn học tập các môn học khác của học sinh, thực tiễn lao đông sản xuất. Điều này cho thấy để hình thành hầu hết các kiến thức trừu tượng cần cung cấp cho học sinh phải kết hợp giữa quy nạp và suy diễn (cả trong nội dung lẫn phương pháp dạy học). Đồng thời hình thành và phát triển cho học sinh vốn trực quan cảm tính và làm chỗ dựa cho nhận thức lí tính của học sinh.
Ví dụ 26: Để hình thành khái niệm Hốn vị, sách giáo khoa hiện hành
trước tiên đưa ra một ví dụ cụ thể có nội dung thực tiễn: Ba vận động viên An,
Bình và Châu chạy thi. Nếu khơng kể trường hợp có 2 vận động viên cùng về đích một lúc thì các khả năng sau đây đều có thể xảy ra:
Giáo viên nhận xét kết quả của bảng: Kết quả cuộc thi là một danh sách gồm 3 người sắp thứ tự nhất, nhì, ba; và đưa ra khái niệm hoán vị trong trường hợp cụ thể này: danh sách này gọi là hốn vị của tập hợp {An, Bình, Châu}. Từ đó quy nạp một cách khơng hồn tồn để đưa ra định nghĩa hoán vị.
Tương tự các khái niệm khác của trong nội dung Tổ hợp và Xác suất đều được hình thành theo lối quy nạp. Trong cách xây dựng nội dung dạy học như trên, học sinh đã có rất nhiều những ví dụ cụ thể trong thực tế về những tri thức mà các em cần phải lĩnh hội. Mặt khác, “sử dụng các ví dụ cụ thể để
Giải Các kết quả có thể
Nhất An An Bình Bình Châu Châu
Nhì Bình Châu An Châu An Bình
hướng dẫn học sinh hình thành và củng cố những hình ảnh trực quan (các biểu tượng trực quan về biến cố ngẫu nhiên, về xác suất, về ý nghĩa thống kê của xác suất và qua đó sẽ hình thành được biểu tượng trực quan về quy luật thống kê), từ đó góp phần phát triển trí tưởng tượng cho học sinh” [22, tr. 66].
Từ vốn trực quan mà học sinh đã có (bao gồm vốn trực quan cảm tính, trong đó có các biểu tượng trực quan mới được hình thành, và những tri thức đã biết) hướng dẫn học sinh trừu tượng hoá và khái quát hoá để đi tới những khái niệm, những kiến thức trừu tượng cần phải có. Điều này cịn được hình thành và phát triển ở học sinh trong quá trình củng cố những tri thức mà học sinh đã lĩnh hội được. Trong nội dung dạy học, thực hiện liên hệ với thực tiễn sẽ cho khả năng hình thành và phát triển trực giác xác suất cho học sinh, vì rằng vốn trực quan cùng với hoạt động thực tiễn là cơ sở để hình thành trực giác nói chung trong đó có trực giác xác suất.
Thực hiện mối liên hệ trong nội bộ mơn Tốn góp phần cho học sinh có cái nhìn bao qt, tồn diện, thống nhất. Ngày nay, với sự chuyển hướng xây dựng toán học hiện đại dựa trên cơ sở của lí thuyết tập hợp được mở ra từ cuối thế kỉ XX. Một trong những ảnh hưởng mạnh mẽ nhất của lí thuyết tập hợp là lí thuyết tính tốn với tập hợp hữu hạn: Tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp, các bài tốn trong hình học tổ hợp, các bài tốn tính trong khai triển đa thức, một số bài tốn sắp xếp hoặc tơ màu trong lí thuyết đồ thị.
Ví dụ 27: Cho trước một tập hợp A gồm n phần tử, ta biết rằng số các
tập con k phần tử của A làCnk. Trong nhiều bài tốn chúng ta phải tính số tập hợp con của A thỗ mãn tính chất cho trước nào đó. Chẳng hạn ta phải chứng minh bài toán sau:
Số tập con của một tập hợp A có n phần tử là 2n. Số các tập hợp con có lẻ phần tử bằng số tập hợp con có chẵn phần tử của A là 2n−1.
Để giải quyết bài toán này yêu cầu học sinh phải liên hệ với các kiến thức đã học trong phần Tổ hợp:
Ta biết số tậo con có 0 phẩn tử của A là 0Cn
Số tập con có 1 phần tử của A là 1Cn
Số tập con có 2 phần tử của A là 2Cn
. . . .
Số tập con có n phần tử của A là Cnn
Vậy tổng số tập con của A là 0C C1 C2 ... Cn n+ n+ n + + n
Nhận thấy các số hạng trong tổng này là các hệ số trong khai triển nhị thức Niutơn. Do đó ta nghĩ đến việc khai triển Niutơn một biểu thức nào đó. Để cho đơn giản ta hãy nghĩ đến khai triển (x+1)n.
Ta có: (x+1)n=C xn0 n+C xn1 n−1+C xn2 n−2+ +... Cnn−1x C+ nn (*) Để có tổng cần tìm ta thay x = 1 vào (*) 2n = 0C C1 C2 ... Cn n+ n+ n + + n Mặt khác nếu thay x = -1 thì ta có C0 C1 C2 ... ( )1 n nC 0 n− n+ n − + − n = (**) Từ (**) ta có số các tập hợp con có lẻ phần tử bằng số tập hợp con có chẵn phần tử của A là 2n−1.
Trong thực tế, bài tốn đếm số tập con thỗ mãn một tính chất cho trước của một tập hợp cho trước thường khó hơn nhiều và thường phải sử dụng phương pháp tổng hợp để có thể tính được số lượng những tập hợp như vậy và kiến thức tổ hợp là công cụ đắc lực.