Theo A.A.Stơliar thì, khơng ít học sinh cịn yếu trong việc nắm cú pháp của ngơn ngữ Tốn học. Học sinh vẫn hay nhầm giữa kí hiệu với khái niệm được định nghĩa.
Theo Nguyễn Bá Kim: “Trong Toán học, người ta phân biệt cái kí hiệu và cái được kí hiệu, cái biễu diễn và cái được biễu diễn . Nếu xem xét phương diện những cái kí hiệu, những cái biễu diễn, đi vào cấu trúc hình thức và những quy tắc hình thức để xác định và biến đổi chúng, thì đó là phương diện cú pháp. Nếu xem xét những cái được kí hiệu, những cái được biễu diễn, tức là đi vào nội dung, nghĩa của những cái kí hiệu, những cái biễu diễn thì đó là phương diện ngữ nghĩa” [33, tr. 54].
Nhiều thuật ngữ và kí hiệu tốn học đã được mọi người thừa nhận và sử dụng thống nhất. Nhưng do quan niệm hoặc do thói quen, một số nhà Tốn học hoặc một số quốc gia có thể sử dụng những kí hiệu và thuật ngữ khác nhau ứng với cùng một khái niệm, hoặc sử dụng cùng một thuật ngữ hoặc cùng một kí hiệu ứng với những khái niệm khác nhau. Chẳng hạn: Với cùng khái niệm số tổ hợp chập k của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là Cnk hoặc
n k
÷ ÷
. G.V.Leibnitz ví ngơn ngữ kí hiệu như sợi chỉ đỏ của nàng Ariane, ông cho
rằng: “Chúng ta sử dụng kí hiệu khơng phải chỉ để diễn đạt sự suy nghĩ của ta cho người khác, mà cịn để đơn giản hố q trình suy nghĩ của chúng ta” [54, tr. 25]
Ví dụ 3: Do sự lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và kí hiệu dùng
k
Cn ”, hoặc “Chỉnh hợp chập k của n là Ak
n ”, trong khi đó nói đúng phải là
“ Số Tổ hợp chập k của n là Cnk”, hoặc“Số Chỉnh hợp chập k của n là Ak n”,
Ví dụ 4: Với ngơn ngữ của Tốn học cổ điển, trong lí thuyết tổ hợp
người ta hay sử dụng cụm từ “n phần tử”. Với cách nói này, ta cần hiểu: hoặc n phần tử là khác nhau (chẳng hạn xét n điểm trong khơng gian hay mặt phẳng), hoặc trong đó có một phần tử “bằng nhau” (chẳng hạn: xem 13 chữ số, trong đó 5 chữ số 1, 3 chữ số 2, 2 chữ số 2. 1 chữ số 4, 2 chữ số 5). Nhưng ta lại cần nhớ rằng trong lí thuyết tập hợp, nói rằng một tập hợp gồm n phần tử đó là phải khác nhau. Khi liệt kê danh sách các phần tử của một tập hợp thì mỗi phần tử được nêu lên đúng một lần. Chẳng hạn với bài toán:
Viết tập hợp các chữ số có mặt trong có mặt trong số 124325223441 thì tập hợp đó là A = {1, 2, 3, 4, 5 } ( gồm 5 phần tử khác nhau)
Nhưng theo quan điểm của Lí thuyết tổ hợp, thì số trên thì số trên gồm 12 chữ số (12 phần tử) như đã nói.
Chính vì thói quen của cách hiểu theo lí thuyết tập hợp mà học sinh mắc phải sai lầm khi giải Toán tổ hợp. Chẳng hạn với bái toán sau:
Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể viết thành bao nhiêu chữ số có 9 chữ số, trong đó mỗi số chữ số 1 có mặt 3 lần và mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
Thơng thường học sinh hiểu theo lí thuyết tập hợp và giải như sau: Gọi số thoã mãn là a a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8 9
Số a1 có 6 cách viết {1, 2, 3, 4, 5, 6}, chữ số a a a a a a a a2 3 4 5 6 7 8 9 có 8! cách viết.
Nếu như coi 3 chữ số 1 là khác nhau thì số a a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8 9 có 6.8! cách viết.
Với 3 vị trí nào đó của 3 chữ số 1 sẽ có 3! hốn vị như nhau. Vậy số a a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8 9 có 6.8! 40320
3! = cách viết.
Với cách giải trên học sinh mắc phải sai lầm: Nếu coi 3 chữ số 1 là khác nhau thì a1 phải có 8 cách viết. Nghĩa là phải giả sử 3 chữ số 1 khác nhau ngay từ đầu.
Do đó lời giải đúng sẽ là:
Nếu như coi 3 chữ số 1 là khác nhau thì số a1 có 8 cách viết {1, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 6} và số a a a a a a a a2 3 4 5 6 7 8 9 có 8! cách viết
Với 3 vị trí nào đó của 3 chữ số 1 sẽ có 3! hốn vị như nhau Vậy số a a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8 9 có 8.8! 53760
3! = cách viết
Ví dụ 5: Với những bài toán đếm ta hay gặp cụm từ “có thể lập được bao nhiêu số gồm k chữ số khác nhau”, với cụm từ này thì dụng ý của tác giả viết sách là số gồm k chữ số a a1 2...ak thì các ai (i=1,k ) phải khác nhau từng đơi một. Tuy nhiên, có khơng ít người đọc, học sinh vẫn hiểu như sau: các số gồm k chữ số là khác nhau, tức là a a1 2...ak ≠b b1 2...bk .
Các bài toán Tổ hợp trong các đề thi Đại học ta vẫn thường gặp, chẳng hạn như:
Trường Đại học An ninh năm 1997: Từ 7 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu chữ số chẵn có 5 chữ số khác nhau.
Trường đại học Ngoại ngữ - Tin học, khối D - 2000: Hỏi từ 9 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu chữ số gồm 5 chừ số khác nhau sao cho trong các chữ số đó có mặt chữ số 1.
Phải chăng để tránh trường hợp học sinh hiểu sai dụng ý của tác giả, trong các bài tập hay các đề thi nên ghi rõ. Chẳng hạn: Với các chữ số 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6 có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mà mỗi số có 5 chữ số
khác nhau và trong đó nhất thiết phải có chữ số 5.
Ví dụ 6: Không phân biệt được A và ΩA, biến cố A và tập con ΩA của
không gian mẫu các kết quả thuận lợi cho A. Chẳng hạn bài toán sau: Gieo hai con súc sắc cân đối.
a) Mô tả không gian mẫu
b) Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc xắc nhỏ hơn hoặc bằng 7”. Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A, tính P(A)
Họ sinh sẽ giải như sau:
a) Không gian mẫu là Ω ={( )a b a b N; / , ∈ *,1≤ ≤a 6,1≤ ≤b 6} , khơng gian mẫu có 36 phần tử
b) Các kết quả thuận lợi cho A là:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6;1 , 5;1 , 5;2 , 4;1 , 4;2 , 4;3 , 3;1 , 3;2 , 3;3 , 3;4 , 2;1 , 2;2 , 2;3 , 2;4 , 2;5 , 1;1 , 1;2 , 1;3 , 1;4 , 1;5 , 1;6 A = , Biến cố A gồm 21 phần tử. Vậy P(A) = 3621 = 127
Lời giải trên đã mắc sai lầm ở chỗ học sinh đã đồng nhất biến cố A với tập ΩAmô tả biến cố A do không nắm vững bản chất các khái niệm, học sinh
có cách nhìn rất hình thức. Tuy nhiên kết quả vẫn đúng.
Ví dụ 7: Sau khi biết kn ( )
n! C k! n k ! = − (1), học sinh có thể chứng minh được cơng thức n k k n n
C − =C (2) bằng cách áp dụng trực tiếp công thức (1). Tuy nhiên, ít học sinh có thể chứng minh được (2) bằng cách lần lại nghĩa ban đầu của Ckn: Ckn là số tập con có k phần tử của một tập hợp X gồm n phần tử,
n k
có k phần tử thì cịn lại phần bù có n - k phần tử và ngược lại. Như vậy nếu một tập X (gồm n phần tử) có bao nhiêu tập con gồm k (k n≤ ) phần tử thì sẽ có bấy nhiêu tập con gồm n k− phần tử.
Trong toán học nắm vững được ngơn ngữ các kí hiệu tốn học cũng có nghĩa là nắm vững được những đặc trưng của tư duy toán học.