Như đã trình bày, trực giác xác suất là sự “thấy trực tiếp” các khái niệm hoặc các sự kiện của Lý thuết xác suất trong các tình huống xác suất. ở mức
độ cao, trực giác xác suất cho khả năng định hướng nghiên cứu trong các tình huống mới khơng quen biết, dự đốn được kết quả nghiên cứu và đường lối tìm ra kết quả đó, phát hiện được những sai lầm rõ ràng. Trực giác xác suất là một nhân tố quan trọng trong quá trình nhận thức logic các yếu tố của Lý thuyết xác suất và trong quá trình vận dụng Lý thuyết xác suất vào thực tiễn.
Hình thành và phát triển trực giác xác suất cho học sinh có thể coi là một trong những biện pháp quan trọng nhằm đặt được mục tiêu: “Học sinh phải có được cái nhìn trực giác về tính ngẫu nhiên, tính đại diện và xu hướng mẫu để mở rộng khả năng của học trong việc đánh giá những thông tin thống kê” [4, tr. 33]. Do đó trực giác xác suất ở học sinh phổ thơng là cần thiết và có thể rèn luyện được. Để thực hiện được điều này trong nội dung và phương pháp dạy học cần phải thực hiện trong từng giai đoạn, trong các tình huống điển hình của quá trình dạy học: dạy học khái niệm, dạy học chứng minh định lí, dạy học giải bài tập có nội dung thực tiễn.
- Giai đoạn trước khi định nghĩa một khái niệm, chứng minh một mệnh
đề hay giải một bài toán: Trong giai đoạn này giáo viên cần hướng dẫn học
sinh sử dụng các phương pháp trực quan như đo đạc, làm thực hành, thí nghiệm, thực hiện các phép thử, hình vẽ, mơ tả,... từ đó các em sẽ phân tích, đánh giá các tình huống xác suất cụ thể và được tập luyện khả năng thấy trực tiếp các khái niệm, mệnh đề trước khi định nghĩa khái niệm, chứng minh mệnh đề cũng như thấy trực tiếp đường lối xây dựng, xử lí mơ hình xác xuất của bài tốn có nội dung thực tiễn trước khi giải bài tốn đó.
Theo Đỗ Mạnh Hùng: “Khi sử dụng phương pháp trực quan và suy luận hợp lí để đánh giá các tình huống xác suất cụ thể, có thể giúp học sinh thấy
trực tiếp (không qua định nghĩa) khái niệm xác suất trong những tình huống
chứa đựng nó. Bằng cách đó trực giác xác suất của học sinh được hình thành và sau đó nó được vận dụng ngay ...” [22, tr. 89].
- Giai đoạn trong quá trình định nghĩa một khái niệm, chứng minh một
mệnh đề, giải một bài toán: Trong giai đoạn này giáo viên cần giúp đỡ học
sinh củng cố mối liên hệ giữa nội dung của cách giải quyết vấn đề với những điều mà các em đã thấy trước bằng trực giác để xác nhận, củng cố và phát triển trực giác xác suất của các em, sử dụng trực giác để kiểm tra và điều chỉnh nội dung của cách giải quyết vấn đề.
- Giai đoạn sau khi định nghĩa một khái niệm, chứng minh một mệnh
đề, giải một bài toán: Trong giai đoạn này, giáo viên cần hướng dẫn học sinh
sử dụng phương pháp trực quan và các suy luận hợp lí để phân tích, đánh giá kết quả vừa thu được; liên hệ kết quả đó với các tình huống thực tế khác nhau; từ đó giúp các em thấy được các khái niệm, định lí của thống kê xác suất trong các tình huống thực tế sinh ra nó. Mặt khác cũng cần tổ chức cho học sinh đối chiếu những kết quả mà các em thấy được một cách trực giác với kết quả thu được sau khi giải quyết vấn đề; các em có thể tự xác nhận trực giác xác suất đúng hay phải điều chỉnh, bác bỏ trực giác xác suất chưa đúng của mình, rút ra kinh nghiệm cần thiết cho bản thân.
Theo Trần Đức Chiển: “Các hoạt động nhằm hình thành, phát triển trực giác xác suất của học sinh bao gồm: tổ chức trị chơi; thực hiện các thí nghiệm (thực hoặc ảo); nhận dạng và thể hiện các đồ thị, sơ đồ, biểu đồ, các bảng phân phối tần số, tần suất thực nghiệm (rời rạc hay ghép lớp); kết hợp các suy luận hợp lí với suy luận diễn dịch” [4, tr. 34].
Ví dụ 36: Hình thành, phát triển và sử dụng trực giác xác suất của học
sinh thông qua dạy học định nghĩa cổ điển của xác suất.
- Giai đoạn trước định nghĩa: Trong giai đoạn này dựa vào các phép thử thực tế (gieo đồng xu, gieo con xúc xắc), có thể cho học sinh “thấy được” khả năng xảy ra của các biến cố ngẫu nhiên khác nhau trong sự so sánh với nhau: Biến cố này có khả năng xảy ra nhiều hơn, biến cố khác có khả năng xảy ra ít
hơn. Tiếp theo đó có thể đưa ra khái niệm xác suất (trước khi có định nghĩa của nó), khi sử dụng những mô tả trực quan như: “Nhờ khái niệm xác suất chúng ta có thể đo được khả năng xảy ra của biến cố ngẫu nhiên” và “xác suất của một biến cố là số đo khả năng xảy ra của biến cố đó”. Những điều này sẽ giúp học sinh hiểu được khái niệm xác suất ở mức độ “chung chung”.
Để đạt được điều này, hoạt động gợi động cơ mở đầu là cho các nhóm học sinh làm các thí nghiệm (ảo) gieo một đồng xu và gieo một con xúc xắc, được minh hoạ bởi bảng sau:
Nhóm n-số lần gieo đồng xu m-số lần lật mặt ngửa Tần xuất f(N) Nhóm 1 100 57 0,57 Nhóm 2 1000 518 0,518 Nhóm 3 10 000 4 978 0,4978 Nhóm 4 100 000 49 945 0,49945 Nhóm n-số lần gieo xúc xắc m-số lần lật mặt 5 chấm Tần suất f(5) Nhóm 1 100 21 0,21 Nhóm 2 1000 155 0,155 Nhóm 3 10 000 1 609 0,1609 Nhóm 4 100 000 16 707 0,16707
Qua thí nghiệm cụ thể này học sinh “thấy trực tiếp” được các khái niệm “phép thử”, “biến cố”, “thấy trực tiếp” khả năng “lật mặt ngửa” dễ xảy ra hơn khả năng “xuất hiện mặt 5 chấm”.
- Giai đoạn trong khi định nghĩa khái niệm: Giáo viên gợi vấn đề “Cái gì có thể đặc trưng cho khả năng xảy ra của một biến cố ngẫu nhiên?”. Học sinh sẽ suy nghĩ cân nhắc dựa trên các lần thí nghiệm và đưa ra câu trả lời, câu trả lời mong đợi ở học sinh là “Cần có một số đặc trưng cho khả năng xảy ra của một biến cố”.
Tiếp đó giáo viên yêu cầu học sinh sử dung các kết quả “thấy trực tiếp” ở trên để phát biểu định nghĩa xác suất của biến cố A; và chính xác hố, phân tích định nghĩa để cho học sinh thấy: Đúng là xác suất của một biến cố ngẫu nhiên biểu thị số đo khả năng xảy ra của biến cố ngẫu nhiên đó.
- Giai đoạn sau định nghĩa: Hướng dẫn học sinh cho các ví dụ tính xác suất có nội dung thực tiễn khác nhau. Nhờ đó hướng học sinh tới vận dụng định nghĩa cổ điển của xác suất để chứng minh các tính chất cơ bản của xác suất, để giải các bài tốn có nội dung thực tiễn khác nhau; hình thành cho học sinh kĩ năng giải các bài tốn xác suất có nội dung thực tiễn. Từ đó học sinh củng cố được các kết quả đã “thấy trực tiếp” và sẵn sàng chuyển sang các hoạt động nhằm phát hiện và giải quyết vấn đề mới.
Ví dụ 37: Hình thành, phát triển và sử dụng trực giác xác suất của học
sinh khi hướng dẫn học sinh làm bài tập sau:
Gieo 3 đồng xu cân đối một cách độc lập. Tính xác suất của các biến cố sau: A: “Cả 3 đồng xu đều sấp”
B: “Có ít nhất 1 đồng xu sấp” C: “Có đúng một đồng xu sấp”
Hướng dẫn học sinh giải bài tập này phải tận dụng cơ hội trong từng giai đoạn để hình thành, phát triển và sử dụng trực giác xác suất của học sinh.
- Giai đoạn trước khi giải bài toán: Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp trực quan để phân tích, để “thấy trực tiếp” các khả năng xảy ra của từng biến cố: Khi thực hiện phép thử T: “Gieo 3 đồng xu cân đối”, biến cố A chỉ có thể xảy ra một khả năng: Trong kết quả của phép thử T, cả 3 đồng xu đều xuất hiện mặt sấp. Biến cố B có thể xảy ra các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Trong kết quả của phép thử T có 1 đồng xu sấp Trường hợp 2: Trong kết quả của phép thử T có 2 đồng xu sấp Trường hợp 3: Trong kết quả của phép thử T cả 3 đồng xu đều sấp
Biến cố C có các khả năng xảy ra như sau:
Khả năng 1: Đồng tiền thứ nhất xuất hiện sấp, đồng tiền thứ 2 và 3 xuất hiện ngửa
Khả năng 2: Đồng tiền thứ 2 xuất hiện sấp, đồng tiền thứ nhất và 3 xuất hiện ngửa
Khả năng 3: Đồng tiền thứ 3 xuất hiện sấp, đồng tiền thứ nhất và 2 xuất hiện ngửa
Qua phân tích học sinh “thấy trực tiếp” được rằng biến cố B có khả năng xảy ra nhiều nhất, biến cố A có khả năng xảy ra ít nhất. Việc phân tích và đánh giá các tình huống xác suất khác nhau giúp hình thành được trực giác xác suất cho học sinh (nhờ những phương pháp trực quan và suy luận hợp lí).
- Giai đoạn trong khi giải bài tốn: Từ sự phân tích để “thấy trực tiếp” khả năng xảy ra của các biến cố học sinh sử dụng các bước tính xác suất của từng biến cố để có được kết quả cụ thể, từ đó liên hệ với những điều thấy trước bằng trực giác để xác nhận. Cụ thể là: 8 1 2 1 . 2 1 . 2 1 ) ( ). ( ). ( ) (A =P S P S P S = = P P(B)=1−P(A)=1−18=87 ) ( ). ( ). ( ) ( ). ( ). ( ) ( ). ( ). ( ) (C P S P N P N P N P S P N P N P N P S P = + + 8 3 2 1 . 2 1 . 2 1 2 1 . 2 1 . 2 1 2 1 . 2 1 . 2 1 + + = =
- Giai đoạn sau khi giải bài toán: Sau khi giải bài toán này, cần hướng dẫn học sinh nhận xét rằng: Từ cách phân tích hoặc biểu diễn kết quả trực tiếp của phép thử T sẽ xét được tính cách riêng biệt của mỗi đồng xu (có thể sử dụng sơ đồ cây hoặc có thể phân tích trực tiếp khi sử dụng quy tắc nhân của giải tích tổ hợp. Bằng cách đó sẽ phát triển được trực giác xác suất của học sinh
đến mức độ cao hơn: Trực giác định hướng cho việc giải bài tốn cần nghiên cứu.
Ví dụ 38: Thực hiện hình thành, phát triển và sử dụng trực giác xác
suất của học sinh khi hướng dẫn học sinh chứng minh tính chất sau của xác suất: “Nếu A và B là 2 biến cố xung khắc thì: P(A∪B)=P(A)+P(B)”
- Giai đoạn trước khi chứng minh: Trước khi thực hiện chứng minh cần cho học sinh tập phân tích và đành giá các tình huống được bao hàm trong tính chất cần chứng minh, khi đưa ra hình vẽ để biểu diễn những điều đã biết, những mối liên hệ cần xét . . ., và thực hiện mô tả trực quan như sau:
+) n - biến cố sơ cấp đồng khả năng của phép thử T được biểu thị bởi hình E +) m1 - biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A xảy ra được biểu thị bởi hình A
+) m2 - biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố B
xảy ra được biểu thị bởi hình B Vì các biến cố A và B xung khắc nên không có biến cố sơ cấp nào vừa thuận lợi cho biến cố A xảy
ra lại vừa thuận lợi cho biến cố B xảy ra, nghĩa là khơng có biến cố sơ cấp nào vừa thuộc hình A lại vừa thuộc hình B, do đó hai hình A và B rời nhau.
Dựa vào hình vẽ học sinh sẽ “thấy trực tiếp” rằng: Mỗi biến cố sơ cấp thuộc vào hợp của hai hình A và B đều thuận lợi cho biến cố A∪B xảy ra, suy ra có tất cả m1 + m2 biến cố sơ cấp thuận lợi cho biến cố A∪B xảy ra.
- Giai đoạn chứng minh: Từ những điều trên học sinh có thể phác hoạ được các bước chứng minh và từ đó “thấy trực tiếp” đường lối chứng minh. Do đó trực giác xác suất của học sinh được hình thành.
- Giai đoạn sau chứng minh: Bằng những suy luận hợp lí và phương pháp trực quan, giáo viên hướng dẫn học sinh liên hệ kết quả thu được với các tình huống thực tế khác nhau.
A B
Tóm lại, “để góp phần hình thành, phát triển và sử dụng trực giác xác suất của học sinh, cần lơi cuốn các em vào các tình huống xác suất khác nhau, tập cho các em sử dụng phương pháp trực quan và suy luận hợp lí để phân tích, dự đốn, nhận dạng các khái niệm và các sự kiện xác suất trên các tình huống đó, góp phần hình thành cho học sinh khả năng thấy trực tiếp các khái niệm hoặc các sự kiện của Lí thuyết xác suất, đồng thời phải chú ý tổ chức cho học sinh đối chiếu với những điều mà các em đã thấy trước một cách trực giác với cách giải quyết vấn đề để xác nhận, sử dụng những trực giác xác suất đúng, và để phát hiện, điều chỉnh bác bỏ những trực giác xác suất sai của các em” [22, tr. 102].