1.1 MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC
1.1.4 Sự khác nhau giữa mô hình hóa và áp dụng toán
Mô hình hóa và áp dụng toán là hai hoạt động quan trọng trong dạy học toán, và cả hai thuật ngữ này đều được sử dụng để biểu thị các mối quan hệ giữa thế giới thực và toán, tuy nhiên giữa chúng có sự khác biệt.
1. Hiểu, đơn giản hóa, xây dựng lại tình huống.
2. Đặt giả thiết, phát biểu mô hình toán.
3. Giải toán.
4. Giải thích kết quả toán.
5. So sánh, phê phán, xem xét tính hợp lý.
6. Chia sẻ kết quả thực tế (nếu mô hình thỏa đáng).
7. Lặp lại quá trình (nếu mô hình không thỏa đáng).
31
a. MHH có xu hướng tập trung vào chiều “từ thực tế đến toán”
MHH nhấn mạnh đến các quá trình chuyển đổi: xuất phát từ tình huống thực tế, xây dựng mô hình toán học, tìm kiếm kiến thức toán để giải quyết, sau đó quay trở lại thực tế xem xét tính hữu ích của mô hình toán đã sử dụng để mô tả và phân tích tình huống thực. Sẽ có nhiều công cụ toán học khác nhau hữu ích đối với mỗi tình huống, tùy thuộc vào cách phân tích tình huống đó, vì vậy đứng trước một nhiệm vụ MHH, câu hỏi đặt ra là: kiến thức toán nào phù hợp để giải quyết?
Ví dụ. MÁI HIÊN
Tình huống sau được đặt ra khi học sinh đã hoàn thành chương 1, hình học 10.
“Nhà anh Bình quay mặt về hướng Đông nên buổi sáng thường bị nắng chiếu vào nhà. Anh muốn lắp một mái che di động ở mặt trước của ngôi nhà để che không cho ánh nắng mặt trời chiếu vào nhà sau 9 giờ, khi góc tới của tia nắng (góc hợp bởi tia nắng và mặt đất) lớn hơn 600. Anh Bình cần một mái che như thế nào? Giải thích phương pháp của em?”
Hình 1.1 Mái che di động
Trước tình huống này, học sinh chưa biết phải sử dụng kiến thức toán nào. Các em có thể làm cho tình huống cụ thể hơn bằng cách tìm thêm một số thông tin cần thiết để xây dựng một mô hình toán theo mục đích của mình. Chẳng hạn, một học sinh quan tâm đến việc tính góc giữa mái che và tường thì có thể tạo ra một mô hình thực của tình huống như sau: vị trí mái che được gắn vào tường cách mặt đất 3,5 m, chiều rộng tối đa của mái che là 1,8 m, khoảng cách từ điểm thấp nhất của mái che
32
đến mặt đất nên lớn hơn 2,5 m để trong nhà không bị tối, tìm góc mà mái che cần tạo với tường đáp ứng các điều kiện trên. Khi đó, học sinh có thể sử dụng định lý cosin và sin để tính số đo của góc trong tam giác khi biết hai cạnh và một góc. Học sinh khác lại muốn lắp mái che vuông góc với tường nhà, cách mặt đất 3,5 m, như vậy em này chỉ cần tính chiều rộng của mái che bằng cách sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Mô hình toán 1
33
Các áp dụng khác nhau Chủ đề toán Áp dụng toán
Các công cụ toán khác nhau Tình huống
thực tế Mô hình hóa
34
kết quả xuất sắc về môn học này? Dạy toán cần phải tiến hành sao cho học sinh có thể áp dụng toán vào những tình huống đơn giản của cuộc sống.
Mối liên hệ giữa toán và MHH tiếp tục được đề cập đến tại hội nghị các nước nói tiếng Đức (1977) – bao gồm các thảo luận về những khía cạnh của toán học ứng dụng trong giáo dục. Một dấu mốc quan trọng trong việc giới thiệu MHH vào nhà trường là nghiên cứu của Pollak năm 1979: Ảnh hưởng của toán học lên các môn học khác ở nhà trường. Theo ông, giáo dục toán phải có trách nhiệm dạy cho học sinh cách sử dụng toán trong cuộc sống hàng ngày. Từ đó, dạy và học MHH trong nhà trường trở thành một chủ đề nổi bật trên phạm vi toàn cầu (Blum, 2007, [14]).
Ví dụ:
- Nghiên cứu của chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA nhấn mạnh mục đích của giáo dục toán là phát triển khả năng học sinh sử dụng toán trong cuộc sống hiện tại và tương lai.
- Hội nghị quốc tế về dạy mô hình hóa toán học và áp dụng toán ICTMA (International Conferences on the Teaching of Mathematical Modelling and Applications) tổ chức hai năm một lần với mục đích thúc đẩy ứng dụng và MHH trong tất cả các lĩnh vực của giáo dục toán.
- Từ hội nghị lần thứ 4 (2005) đến hội nghị lần thứ 8 (2013) của hiệp hội nghiên cứu giáo dục toán châu Âu CERME (Congress of European Research in Mathematics Education), mô hình hóa và áp dụng toán là một trong những chủ đề chính của thảo luận.
Ngoài ra, xu hướng đưa MHH vào chương trình, sách giáo khoa với các mức độ khác nhau ngày càng gia tăng. Chẳng hạn:
- Ở Đức, Pháp, Hà Lan, Úc, Mỹ, Thụy Sĩ, MHH là một trong những năng lực bắt buộc của chuẩn giáo dục quốc gia về môn toán (Blum, 2007, [14], Stillman, 2010, [61]).
35
- Ở Singapore, MHH được đưa vào chương trình toán năm 2003 với mục đích nhấn mạnh tầm quan trọng của MHH trong việc học toán cũng như đáp ứng các thách thức của thế kỉ 21 (Balakrishnan, 2010, [9]).
1.1.5.2 Các tiếp cận mô hình hóa trong giáo dục toán
Trong nghiên cứu giáo dục toán về lĩnh vực MHH, có rất nhiều hướng tiếp cận khác nhau, bắt nguồn từ các quan điểm lý thuyết khác nhau, mục đích khác nhau và đặc trưng cho các khía cạnh khác nhau của MHH (Kaiser và Sriraman, 2006, [38]). Các quan điểm này có những nét riêng và phát triển trong những môi trường nghiên cứu khác nhau, tuy nhiên giữa chúng vẫn có những phần giao và đôi khi khó để phân biệt (Blomhứj, 2008, [10], Frejd, 2010, [26], Kaiser, 2006, [37], Rau, 2010, [52]).
- Quan điểm “Nhận thức luận”: cho rằng sự phát triển của lý thuyết toán là một bộ phận của quá trình MHH thể hiện qua bộ ba Tình huống – Mô hình – Lý thuyết, nghĩa là các mô hình được xây dựng từ tình huống thực tế và đi đến sự phát triển của một lý thuyết toán thông qua thúc đẩy kết nối giữa hoạt động MHH và hoạt động toán. Freudenthal có thể xem là người đi đầu theo hướng tiếp cận này và sau đó được phát triển bởi Stainer, Revuz, Garcia, Bosh.
- Quan điểm “Thực tế”: quan tâm đến khả năng người học áp dụng toán để giải quyết những vấn đề thực tế xuất phát từ khoa học, kinh tế, công nghiệp… giúp họ hiểu biết hơn về thế giới thực và thúc đẩy các năng lực MHH. Quá trình MHH là một quá trình hoàn chỉnh, được thực hiện như một nhà toán học ứng dụng, với mục đích giải quyết một vấn đề thực tế chứ không phải để phát triển một lý thuyết mới như quan điểm nhận thức luận. Các nhà giáo dục toán tiêu biểu cho tiếp cận này là Pollak, Burkhardt, Kaiser và Schwarz.
- Quan điểm “Giáo dục”: phần lớn các tiếp cận được phát triển trong lĩnh vực MHH thuộc quan điểm này, như Blum, Niss, Blomhoj, Jensen, Maass, Galbraith, Stillman. Quan điểm này chú trọng tích hợp MHH vào dạy học toán; thông qua các ví dụ thực tế và mối quan hệ của chúng đối với toán học để xây dựng việc hiểu các khái niệm và thúc đẩy quá trình học toán; quan tâm đến
36
các bước của quá trình MHH; phát triển các năng lực MHH cũng như ý nghĩa của việc học toán.
- Quan điểm “Phản ánh”: nhấn mạnh vai trò, chức năng của toán học nói chung, của mô hình hóa toán học nói riêng đối với sự phát triển tư duy phê phán, tư duy phản ánh của người học trước những tình huống trong xã hội, ví dụ như D’Ambrosio, Araujo, Barbosa.
- Quan điểm “Ngữ cảnh”: phát triển các hoạt động học tập, cho phép học sinh hiểu được ý nghĩa của toán học thông qua các tình huống thực tế thường gặp trong cuộc sống hàng ngày được MHH. Đại diện cho quan điểm nghiên cứu này là Lesh và Doerr.
- Quan điểm “Nhận thức”: Đây là một tiếp cận mới về MHH, thông qua việc phân tích các quá trình mô hình hóa và các kiểu tình huống khác nhau để hiểu được quá trình nhận thức, xây dựng lại quá trình MHH của mỗi cá nhân, nhận ra những rào cản, khó khăn của học sinh liên quan đến MHH. Các nhà nghiên cứu được xếp theo quan điểm này là Blum, Leiò, Ferri, Carreira.
1.1.6 Toán học hóa
Một khái niệm thường gặp trong các tài liệu về MHH toán học và liên quan đến quá trình MHH là toán học hóa. Chúng tôi nhận thấy có nhiều quan điểm khác nhau về khái niệm toán học hóa mà có thể phân chia thành ba nhóm sau:
1.1.6.1 Toán học hóa bao gồm hai quá trình – dọc và ngang
Freudenthal (xem Van den Heuvel-Panhuizen, 2003, [67]) quan niệm rằng “toán học có quan hệ mật thiết với thực tế” và “toán học là kết quả hoạt động của con người”. Vì vậy, học toán không phải là tiếp nhận kiến thức có sẵn mà học toán là quá trình thiết lập và giải quyết vấn đề xuất hiện từ thực tế hay trong nội tại toán học để xây dựng lại kiến thức toán và ông gọi quá trình đó là toán học hóa (mathematization).
37
Sau đó, Treffer (xem Gellert và Jablonka, 2007, [29]) đã trình bày khái niệm này rõ ràng hơn bằng cách phân biệt hai hình thức khác nhau của toán học hóa trong bối cảnh giáo dục:
- Toán học hóa theo chiều ngang: chỉ quá trình mô tả một vấn đề thực tế theo ngôn ngữ toán học để có thể giải quyết vấn đề đó với công cụ toán. Trong trường hợp này, toán học hóa là hoạt động chuyển đổi từ thế giới thực vào thế giới toán học.
- Toán học hóa theo chiều dọc: là quá trình xảy ra trong thế giới toán học.
Thông qua quá trình này, học sinh đạt được một trình độ toán học cao hơn.
Trong thực tế ranh giới của hai quá trình này không phải luôn luôn rõ ràng. Sơ đồ dưới đây biểu diễn một số hoạt động có thể xuất hiện khi thực hiện quá trình toán học hóa theo hai chiều (de Lange, 1996, [20]):
Sơ đồ 1.4 Các hoạt động của quá trình toán học hóa Các hoạt động của toán học hóa theo chiều dọc
Các hoạt động của toán học hóa theo chiều ngang Phát biểu một khái niệm toán học mới
Chứng minh các quy tắc
Biểu diễn mối quan hệ toán học bởi một công thức Sử dụng các phương pháp giải khác nhau
Điều chỉnh, cải tiến các phương pháp giải Khái quát hóa
Khám phá các quy luật Khám phá các mối quan hệ Hình dung vấn đề theo những cách khác nhau Chuyển một vấn đề thực tế sang một mô hình toán học Nhận ra những nội dung toán trong tình huống được cho
38
Như vậy, theo quan điểm này, quá trình toán học hóa xảy ra không chỉ khi giải quyết một vấn đề thực tế mà ngay cả khi giải quyết một vấn đề toán học, nhằm khám phá các cấu trúc toán học. Các tình huống thực tế chỉ đóng vai trò là môi trường tạo động cơ hoặc minh họa cho sự xuất hiện các kiến thức toán.
1.1.6.2 Toán học hóa là một phần của quá trình mô hình hóa
Trong quá trình MHH, thực tế và toán học thường được xem như hai thế giới riêng biệt và người mô hình hóa sẽ thực hiện một số bước biến đổi giữa hai môi trường này cũng như trong mỗi môi trường để giải quyết tình huống đặt ra. Theo Blum và Leiò (2006, [13]), Kaiser (2007, [39]), Niss (2012, [48]), bước biến đổi từ mụ hỡnh thực tế sang mô hình toán học trong quá trình MHH được gọi là toán học hóa (sơ đồ 1.5).
Sơ đồ 1.5 Toán học hóa trong quá trình mô hình hóa
Khi học sinh bước vào quá trình toán học hóa, tình huống thực tế đã được đặc biệt hóa, lý tưởng hóa, lúc này học sinh cần chuyển đổi các đối tượng và quan hệ ngoài toán thành các đối tượng và quan hệ toán học, chuyển đổi câu hỏi đặt ra trong tình huống thực tế sang câu hỏi toán học, mục tiêu là biểu diễn mô hình thực tế bằng ngôn ngữ toán. Nói cách khác, toán học hóa theo quan điểm này là một hoạt động
39
hay quá trình gắn liền với quá trình MHH nhằm biễu diễn hoặc giải thích mô hình thực tế bằng các phương tiện toán học.
1.1.6.3 Toán học hóa là toàn bộ quá trình mô hình hóa
Trong chương trình đánh giá học sinh quốc tế PISA, khái niệm toán học hóa (mathematisation) được mô tả là quá trình cơ bản mà học sinh sử dụng các kiến thức, kĩ năng toán học tích lũy được từ trường học cùng với kinh nghiệm sống để giải quyết các vấn đề thực tế (PISA, 2009, [50]).
Quá trình toán học hóa này bao gồm 5 bước, thể hiện ở sơ đồ dưới đây:
Sơ đồ 1.6 Quá trình toán học hóa theo PISA
Bước 1: Bắt đầu từ một vấn đề thực tế được đặt ra trong thế giới thực;
Bước 2: Nhận ra các kiến thức toán phù hợp với vấn đề, tổ chức lại vấn đề theo các khái niệm toán học;
Bước 3: Không ngừng cắt tỉa các yếu tố thực tế để chuyển vấn đề thành một bài toán thể hiện trung thực cho tình huống;
Bước 4: Giải quyết bài toán;
Bước 5: Làm cho lời giải của bài toán có ý nghĩa đối với tình huống thực tế, xác định những hạn chế của lời giải.
Như vậy, khái niệm toán học hóa được trình bày trong nghiên cứu của PISA thực chất là toàn bộ quá trình mô hình hóa. Và trong phạm vi của luận án, chúng tôi quan
Lời giải thực tế Lời giải toán học
Vấn đề thực tế Vấn đề toán học
1, 2, 3
4 5
5
Thế giới thực Thế giới toán học
40
tâm đến khái niệm toán học hóa theo quan điểm này của PISA. Ngoài ra, từ các định nghĩa đã đề cập trong chương này cho thấy khi nói đến thuật ngữ “mô hình hóa” thì cũng chính là “quá trình mô hình hóa”, “toán học hóa” cũng chính là “quá trình toán học hóa”. Nói cách khác, cụm từ “mô hình hóa” và “quá trình mô hình hóa”, “toán học hóa” và “quá trình toán học hóa” có thể dùng thay thế cho nhau.
1.1.7 Phân tích việc dạy học sử dụng toán học hóa dưới quan điểm lý thuyết kiến tạo xã hội
Toán học đã phát triển qua một thời gian dài với nhiều nỗ lực của con người. Trong quá trình phát triển đó, nguồn gốc lịch sử và ngữ cảnh văn hóa, xã hội đóng vai trò quan trọng. Vì vậy lý thuyết kiến tạo xã hội cho rằng học toán không chỉ bao gồm việc tích cực xây dựng kiến thức của các cá nhân mà còn có sự giao thoa giữa các cá nhân trong cộng đồng những người học (Cobb, 1996, [19]).
Lý thuyết kiến tạo xã hội là một lý thuyết về việc học dựa trên các nguyên tắc (Ernest, 1994, [25]):
- Kiến thức phải được xây dựng một cách tích cực bởi người học chứ không phải được tiếp nhận một cách thụ động từ môi trường bên ngoài.
- Học là quá trình thích nghi và tổ chức lại thế giới quan của mỗi người. Học không phải là quá trình khám phá một thế giới độc lập đang tồn tại bên ngoài ý thức của người học. Để xây dựng kiến thức mới, người học phải tìm cách kết nối kiến thức đó với những kiến thức đã có của bản thân thông qua quá trình Đồng hóa và Thích nghi.
Đồng hóa là quá trình xảy ra khi người học gặp một kiến thức mới tương tự với kiến thức đã biết thì kiến thức đó được kết hợp vào trong một sơ đồ nhận thức đang tồn tại.
Ngược lại, thích nghi là quá trình xảy ra khi người học gặp một kiến thức mới mà không thể giải thích bằng sơ đồ nhận thức đang tồn tại, nghĩa là lúc này có sự mất cân bằng trong hệ thống nhận thức của người học, thì sơ đồ nhận thức
41
đó phải thay đổi, điều chỉnh hoặc tạo ra những sơ đồ mới để khôi phục sự cân bằng.
Như vậy, việc xây dựng kiến thức của người học được thực hiện thông qua chu trình: kiến thức đã có – đồng hóa – kiến thức mới, hoặc kiến thức đã có – dự đoán – thử nghiệm – thất bại – thích nghi – kiến thức mới. Tuy nhiên, những kiến thức mà người học xây dựng được phải phù hợp với những ràng buộc của thực tiễn tự nhiên và xã hội.
- Hơn nữa, học còn là một quá trình mang tính xã hội, kiến thức được hình thành thông qua những tương tác xã hội như giao tiếp, giải thích, chia sẻ, đánh giá giữa các cá nhân người học, giữa người học và người dạy.
Tóm lại, lý thuyết kiến tạo xã hội thừa nhận rằng hoạt động tích cực của chủ thể và các tương tác xã hội đóng vai trò quan trọng trong việc học toán. Lớp học là môi trường để người học xây dựng và phát triển kiến thức với sự hỗ trợ có chủ đích từ phía người dạy.
Nếu giáo viên sử dụng các tình huống thực tế trong môi trường hoạt động nhóm để dạy học thì học sinh sẽ được mong đợi dựa trên những kiến thức toán đã có cùng với việc trao đổi, học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau từ các thành viên trong nhóm để xây dựng mô hình toán thông qua việc tổ chức và mô tả tập hợp các mối quan hệ của tình huống, tìm kiếm một phương pháp giải thích hợp, giải thích và phản ánh kết quả trong tình huống ban đầu. Qua những quá trình như vậy sẽ giúp học sinh hiểu hơn mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn, hiểu hơn ý nghĩa của các khái niệm, công thức, quá trình toán đã được học, phát triển khả năng kết nối giữa các kiến thức toán, xây dựng thói quen, kĩ năng, kinh nghiệm trong việc sử dụng kiến thức toán đã học để giải quyết các tình huống thực tế, đồng thời làm cho sơ đồ nhận thức của bản thân học sinh được củng cố và mở rộng. Vì vậy, lý thuyết kiến tạo xã hội có thể được xem là lý thuyết làm nền tảng cho việc dạy học sử dụng toán học hóa.