3.2 PHÂ N TÍCH KẾT QUẢ CÁC TÌNH HUỐNG THỰC NGHIỆM
3.2.3 Tình huống thực nghiệm 3
CẦU THANG. Một cầu thang nhà ở được thiết kế an toàn khi mỗi bậc có chiều cao tối đa là 19 cm và chiều sâu tối thiểu là 25 cm. Em hãy thiết kế một cầu thang an toàn đi từ tầng 1 lên tầng 2 của ngôi nhà có khoảng cách giữa hai sàn là 2,8 m và chiều dài cầu thang là 3,6 m bằng cách chỉ ra số bậc, chiều cao và chiều sâu của mỗi bậc.
Giải thích cách làm của em.
Lưu ý: số bậc được tính bao gồm cả sàn tầng 2, ví dụ trong hình vẽ bên, cầu thang có tất cả 9 bậc.
chiều dài cầu thang
khoảng cách giữa 2 sàn chiều sâu bậc
chiều cao bậc
1. Trả lời các câu hỏi sau:
a. Chiều dài cầu thang có mối quan hệ với
A. Chiều cao bậc B. Chiều sâu bậc C. Khoảng cách giữa hai sàn Mối quan hệ đó là:
Chiều dài cầu thang =.………...
b. Khoảng cách giữa hai sàn có mối quan hệ với
A. Chiều cao bậc B. Chiều sâu bậc C. Chiều dài cầu thang Mối quan hệ đó là:
Khoảng cách giữa hai sàn = ……….
2. Em hãy giải quyết tình huống trên:
a. Phát biểu bài toán tương ứng với tình huống:
………
b. Giải bài toán:
………
c. Trả lời câu hỏi của tình huống:
………
d. Xem xét tính hợp lý của kết quả và các khả năng khác của tình huống (nếu có):
………
136
- Ngữ cảnh: Thiết kế một cầu thang nhà ở đảm bảo an toàn về thông số chiều cao bậc và chiều sâu bậc.
- Nội dung toán: Bất phương trình bậc nhất một ẩn.
- Mục tiêu của tình huống: Sử dụng kiến thức về bất đẳng thức, bất phương trình để tìm ra giá trị thỏa mãn các ràng buộc của một tình huống thực tế.
- Độ phức tạp: mức độ 2.
3.2.3.1 Quá trình toán học hóa có thể xảy ra khi giải quyết tình huống a. Lựa chọn những thông tin toán học cần thiết
Từ tình huống và hình vẽ minh họa, chúng ta có thể rút ra các thông tin quan trọng, cần thiết cho quá trình xây dựng mô hình toán, đó là:
- Cầu thang có các chiều cao bậc bằng nhau và các chiều sâu bậc bằng nhau; (1) - Chiều cao bậc ≤ 19 cm, chiều sâu bậc ≥ 25 cm; (2) - Quan hệ giữa chiều cao bậc và khoảng cách hai sàn:
Số bậc×chiều cao bậc = 280 cm (3) - Quan hệ giữa chiều sâu bậc và chiều dài cầu thang:
(Số bậc - 1)×chiều sâu bậc = 360 cm (4)
b. Xây dựng mô hình toán học
Tình huống chứa các từ ngữ như “tối đa”, “tối thiểu”, gợi ý đến việc sử dụng bất đẳng thức để xây dựng mô hình toán. Ngoài ra, dựa vào bốn thông tin trên (1) – (4), ta có thể nhận ra các biến của tình huống, đó là số bậc, chiều cao bậc, chiều sâu bậc và mối quan hệ giữa chúng. Gọi n là số bậc cầu thang (n nguyên dương), y là chiều cao bậc và x là chiều sâu bậc. Khi đó, tùy thuộc vào số biến ta chọn mà mô hình toán sẽ là những hệ bất phương trình khác nhau.
137 Trường hợp 3 biến (n; x; y): Giải hệ
25 19 280
( 1) 360
x y ny
n x
≥
≤
=
− =
Trường hợp 2 biến (x; y): Giải hệ
25 19 280 360
1 x
y
y x
≥
≤
= +
Trường hợp 1 biến (n): Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn:
280 19 360
1 25 n n
≤
≥
− c. Dự kiến các phương pháp giải
Cả ba hệ trên đều có thể biến đổi đưa về hệ bậc nhất một ẩn để giải:
280 19
14, 7 (1)
360 15, 4 (2) 1 25
n n
n n
≤
≥
⇔
≤
≥
−
Do n nguyên dương nên từ hai bất phương trình (1) và (2) suy ra n = 15. Khi đó, chiều cao bậc h = 18,7 cm và chiều sâu bậc r = 25,7 cm.
d. Thể hiện kết quả
Cầu thang gồm 15 bậc, mỗi bậc có chiều cao 18,7 cm và sâu 25,7 cm, thỏa mãn các điều kiện an toàn.
e. Phản ánh
Trong thực tế, không phải khi nào yếu tố an toàn của cầu thang cũng được tính đến, vì thiết kế cầu thang còn phụ thuộc vào không gian của ngôi nhà. Ngoài ra, theo văn hóa, phong tục ở Việt nam, người ta thường quan niệm số bậc cầu thang phải lẻ hoặc theo phong thủy số bậc phải rơi vào trực Sinh, trực Lão thì mới tốt.
138 3.2.3.2 Phân tích bài làm của học sinh a. Xây dựng mô hình toán học
- Tất cả các nhóm đều chuyển đổi đúng ba thông tin trong tình huống này:
• chiều cao bậc ≤ 19 cm;
• chiều sâu bậc ≥ 25 cm;
• khoảng cách hai sàn = số bậc ×chiều cao bậc.
Nhưng chỉ có 8 nhóm phát hiện: chiều dài cầu thang = (số bậc - 1)×chiều sâu bậc.
Các nhóm còn lại, do không quan sát kĩ hình vẽ và đọc lưu ý một cách cẩn thận nên đã không bớt đi 1 bậc trong đẳng thức trên, nghĩa là: chiều dài cầu thang = số bậc ×chiều sâu bậc.
- Khi xây dựng mô hình toán học cho tình huống, các nhóm đều đưa về việc giải hệ bất phương trình một ẩn, hai ẩn, ba ẩn hoặc năm ẩn.
• (M3.1) Hệ bất phương trình một ẩn
280 19 360
1 25 n n
≤
≥
−
• (M3.2) Hệ bất phương trình hai ẩn
*
25 19 280 360
1 280 360
; 1
x y
y x
y x
≥
≤
= +
+ ∈ Ν
• (M3.3) Hệ bất phương trình ba ẩn
25 19 280
( 1) 360
x y ny
n x
≥
≤
=
− =
139
• (M3.4) Hệ bất phương trình năm ẩn
25 19 280 360
280 ( 1) 360 x
y h l ny
n x
≥
≤
= =
=
− =
Trong đó, n là số bậc, x là chiều sâu bậc, y là chiều cao bậc, h là khoảng cách giữa hai sàn, l là chiều dài cầu thang.
- Một số sai lầm trong xây dựng mô hình:
• Từ chỗ biểu diễn sai mối quan hệ: chiều dài cầu thang = số bậc × chiều sâu bậc, một số nhóm đã đưa tình huống về hệ bất phương trình không đúng:
(M3.5)
25 19
360 280 x
y nx ny
≥
≤
=
=
hoặc (M3.6)
25 19
9 7
x y
x y
≥
≤
=
• (M3.7) Một số học sinh nhìn thấy những tam giác vuông trong hình vẽ minh họa và đã liên tưởng đến việc sử dụng định lý Pitago để xây dựng mô hình toán.
chiều dài cầu thang
khoảng cách giữa 2 sàn
x y
B
A
Suy nghĩ của các em là đưa thêm một biểu thức liên hệ giữa số bậc n và x, y vào mô hình hệ bất phương trình ba ẩn:
Số bậc n 2AB 2 1 x y
= +
+ ,
140
với AB2= (chiều dài cầu thang)2+ (khoảng cách hai sàn)2 (**) Rõ ràng biểu thức (**) không đúng vì điểm B còn cách sàn thứ hai một đoạn bằng y.
b. Giải toán
- Hệ bất phương trình một ẩn
280 19 360
1 25 n n
≤
≥
−
(1)
(P3.1) Biến đổi tương đương, hệ (1) 14, 7 15, 4 n n
≥
⇔ ≤ Do n nguyên dương nên n = 15.
- Hệ bất phương trình hai ẩn
*
25 19 280 360
1 280 360
; 1
x y
y x
y x
≥
≤
= +
+ ∈ Ν
(2)
(P3.2) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.
280 280 360 360
Do y 19 nên và x 25 nên 1 1
19 25
y x
≤ ≥ ≥ + ≤ + .
Suy ra 280 280 360 1 360 1
19 ≤ x = y + ≤ 25 + hay 14, 7 280 360 1 15, 4
x y
≤ = + ≤ .
Vậy 280 360 1 15 x = y + =
- Hệ bất phương trình ba ẩn
25 19 280
( 1) 360
x y ny
n x
≥
≤
=
− =
(3)
• (P3.3) Đưa hệ (3) về hệ bất phương trình một ẩn (1).
141
• (P3.4) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức một cách tường minh:
(P3.5) Hoặc không tường minh:
- Hệ bất phương trình năm ẩn
25 19 280 360
280
( 1) 360
x y h l ny
n x
≥
≤
= =
=
− =
(4)
• (P3.6) Sử dụng định lý Pitago: Mặc dù, nhóm này xây dựng mô hình toán đúng, nhưng không giải hệ mà sử dụng định lý Pitago để tính số bậc với chiều cao bậc và chiều sâu bậc là các giá trị đặc biệt y = 19, x = 25. Cách suy nghĩ này cũng gặp sai lầm giống như nhóm xây dựng mô hình M3.7.
142
• (P3.7) Đưa hệ bất phương trình (4) về hệ bất phương trình 3 ẩn, rồi tiếp tục đưa về hệ bất phương trình một ẩn để tìm ra số bậc n.
c. Chuyển đổi kết quả toán sang kết quả thực tế
- Sau khi có kết quả, một số nhóm (Út, Nguyệt, Phượng, Mơ) đã kiểm tra lại các điều kiện an toàn của cầu thang trước khi đi đến câu trả lời mà tình huống đặt ra.
- Một số nhóm vẫn dừng lại ở việc tìm ra n hoặc n, x, y mà không trực tiếp trả lời câu hỏi của tình huống.
d. Phản ánh: Có ba nhóm đã đưa ra các phản ánh sau đây đối với tình huống
- (PA 3.1) Ngoài yếu tố chiều cao và chiều sâu mỗi bậc, một cầu thang an toàn còn phụ thuộc vào độ dốc, chất liệu làm cầu thang.
- (PA 3.2) Kết quả tìm được không chính xác với thực tế vì đã được làm tròn.
- (PA 3.3) Đây chỉ mới là số liệu thô, trên thực tế độ cao bậc và độ sâu bậc cần cộng thêm phần trát vữa.
143 3.2.3.3 Bảng tóm tắt bài làm của các nhóm
Nhóm Mô hình toán Phương pháp giải Kết quả Phản ánh An Hệ bất phương trình
bậc nhất một ẩn (M3.1).
Biến đổi tương đương (P3.1)
Chưa hoàn thành (chưa tìm được x, y) Út Hệ bất phương trình
bậc nhất hai ẩn (M3.2).
Tính chất bất đẳng thức (P3.2)
Đúng (PA 3.2)
Nguyệt
Hệ bất phương trình bậc nhất ba ẩn (M3.3).
Đưa về hệ bất phương trình một ẩn (P3.3)
Đúng (PA 3.1)
Phượng Sử dụng tính chất của
bất đẳng thức (P3.4)
Đúng
Nhi Sử dụng tính chất của
bất đẳng thức dưới dạng không tường minh (P3.5)
Chưa hoàn thành (chưa tìm được x, y) Mơ
Hệ bất phương trình bậc nhất năm ẩn (M3.4).
Đưa về hệ bất phương trình một ẩn (P3.7)
Đúng (PA 3.3)
Thiện Sử dụng định lý
Pitago (P3.6) Sai Phú Hệ bất phương trình
bậc nhất ba ẩn (M3.5).
Sai Việt
Linh
Duyệt Hệ bất phương trình bậc nhất ba ẩn (M3.7) Sai
Hòa Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (M3.6). Sai
Kết luận đối với tình huống 3
* Xây dựng mô hình toán
- Các mô hình toán được xây dựng trong tình huống này khá phong phú, có đến bảy mô hình khác nhau, đều là các hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn, hai ẩn, ba ẩn hoặc năm ẩn. Nhưng mô hình được sử dụng nhiều nhất là hệ bất phương trình bậc nhất ba ẩn (7 nhóm), đây là một thói quen của học sinh khi giải các bài
144
toán cần đặt ẩn số, các em thường đặt ẩn là các yếu tố cần tìm. Tình huống yêu cầu “chỉ ra số bậc, chiều cao và chiều sâu của mỗi bậc” do đó ba yếu tố này đã được nhiều học sinh lựa chọn làm ẩn.
- Hình vẽ minh họa giúp học sinh trong việc xác định các mối quan hệ: chiều cao bậc và khoảng cách hai sàn, chiều sâu bậc và chiều dài cầu thang, tuy nhiên nó cũng là nguyên nhân dẫn đến sai lầm của nhóm Duyệt và Thiện khi “nhìn thấy”
khả năng sử dụng định lý Pitago dẫn đến mô hình toán hoặc phương pháp giải sai.
- Lưu ý của tình huống đã không ảnh hưởng đến các nhóm Phú, Việt, Linh, Hòa do đó bốn nhóm này đã xác định sai mối quan hệ giữa chiều cao bậc và khoảng cách hai sàn.
* Giải toán
- Trong bảy nhóm xây dựng mô hình toán đúng, chỉ có một nhóm sử dụng phương pháp giải sai, các nhóm còn lại đều đưa ra phương pháp hợp lý, đó là sử dụng các tính chất của bất đẳng thức hoặc đưa về việc giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn. Tuy nhiên, chỉ có bốn nhóm tìm đủ các thông số theo yêu cầu của tình huống - số bậc, chiều cao và chiều sâu mỗi bậc, hai nhóm khác tìm được số bậc nhưng không đủ thời gian để tính hai thông số kia.
- Nhóm của Nhi đã sử dụng phương pháp giải (P3.5) đúng, nhưng các em không giải thích hay chỉ ra được cơ sở toán học của phương pháp này khi được phỏng vấn. Như vậy cách giải này hoàn toàn cảm tính, ngẫu nhiên.
- Mặc dù hai nhóm Việt, Linh xây dựng mô hình sai (M3.5) nhưng đã giải đúng hệ bất phương trình mà các em đưa ra. Nếu hai nhóm này xác định đúng mối quan hệ “chiều dài cầu thang = (số bậc - 1)×chiều sâu bậc” thì các em có khả năng đưa ra phương án đúng cho tình huống vì cách giải hai hệ này hoàn toàn giống nhau.
- Phương pháp giải tình huống này là không phức tạp, chỉ cần sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
145
* Chuyển đổi kết quả toán sang kết quả thực tế: Cả bốn nhóm giải đúng bài toán tương ứng với mô toán đã xây dựng đều đã thực hiện bước chuyển đổi này.
* Phản ánh: So với hai tình huống trước, lần này, bên cạnh việc kiểm tra tính hợp lý của kết quả, một số nhóm đã có cố gắng khi đưa ra các phản ánh đối với kết quả.
Theo nhóm của Út, vì chiều cao bậc và chiều sâu bậc là các số gần đúng nên khi thực hiện xây dựng trong thực tế sẽ dẫn đến các sai số. Còn nhóm Nguyệt và Mơ quan tâm đến các yếu tố thực tế khác có thể ảnh hưởng đến kết quả, như độ dốc, chất liệu làm cầu thang nhưng không cung cấp lý do hoặc giải thích cụ thể.