3.2 PHÂ N TÍCH KẾT QUẢ CÁC TÌNH HUỐNG THỰC NGHIỆM
3.2.4 Tình huống thực nghiệm 4
ĐU QUAY. Một đu quay thủy lực gồm 10 máy bay nhỏ gắn với một trục ở giữa (Hình 1).
Khi trục này quay, các máy bay sẽ bay xung quanh trục. Ngoài ra, độ cao của các máy bay thay đổi phụ thuộc vào độ dài của xi lanh thủy lực AC. Xi lanh này được gắn cố định tại điểm C nhưng độ dài AC có thể thay đổi (Hình 2). Trong một thiết kế chuẩn BD = 4 m, BA
= BC = BE = 1,5 m, và độ dài đoạn AC có thể thay đổi từ 1,5 m đến 2,2 m. Theo em, với kết cấu như trên, khoảng cách từ máy bay đến mặt đất thấp nhất là bao nhiêu?
Hình 1. Đu quay máy bay thủy lực Hình 2. Mô hình của đu quay máy bay thủy lực 1. Khi khoảng cách từ máy bay đến mặt đất thấp nhất thì độ dài của xi lanh thủy lực
AC = ………..
Hãy vẽ hình trong trường hợp này 2. Em hãy giải quyết tình huống trên
a. Phát biểu bài toán tương ứng với tình huống:
………
b. Giải bài toán:
………
c. Trả lời câu hỏi của tình huống:
………
d. Xem xét tính hợp lý của kết quả và các khả năng khác của tình huống (nếu có):
………
146
- Ngữ cảnh: tính khoảng cách đến mặt đất thấp nhất của một máy bay trò chơi khi biết một số thông số của thiết kế.
- Nội dung toán: định lý cosin trong tam giác, hệ thức lượng trong tam giác vuông.
- Mục tiêu của tình huống: Học sinh sử dụng kiến thức hình học để hiểu tình huống và sử dụng kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác để tính độ cao thấp nhất.
- Độ phức tạp: mức độ 2.
3.2.4.1 Quá trình toán học hóa có thể xảy ra khi giải quyết tình huống a. Lựa chọn những thông tin toán học cần thiết
Trong tình huống này, mỗi máy bay tham gia đồng thời hai chuyển động, một chuyển động quay xung quanh trục CE và một chuyển động lên xuống khi độ dài xi lanh thủy lực AC thay đổi. Ở đây, chúng ta chỉ quan tâm đến chuyển động lên xuống.
Học sinh cần nhận ra các yếu tố cố định và thay đổi trong tình huống:
• Các điểm B, C, E cố định.
• Hai điểm A, D thay đổi. Thực ra, điểm A thay đổi kéo theo điểm D thay đổi. A, D lần lượt thay đổi trên các cung tròn tâm B bán kính 1,5 m và 4 m.
• Độ dài các đoạn thẳng BC, BE, BA, BD không thay đổi.
• Độ dài đoạn AC thay đổi từ 1,5 m đến 2,2 m.
b. Xây dựng mô hình toán học
Cho hai đường thẳng EC và EG vuông góc với nhau tại E, EC = 3 m và B là trung điểm EC.
BD = 4 m, BA = BC = BE = 1,5 m; AC = 2,2 m.
Tính DG.
1.5m 1.5m 2.5m 1.5m
2.2m
F
G
D A B
E C
c. Dự kiến các phương pháp giải
Cách 1: Áp dụng định lý cosin cho tam giác ABC ta tính được góc B bằng 94,330. Trong tam giác vuông BDF: BF =BD c. os∠FBD=0, 3 m. Vậy DG = FE = 1,2 m.
147
Cách 2: Sử dụng giả thiết BA = BC = BE suy ra tam giác CAE vuông tại A.
cos AC 0, 73
C= CE = hay ∠BCA=42,83°.
Mặt khác, tam giác BAC cân tại B nên
180 2 94, 33
ABC BCA
∠ = ° − ∠ = °. Sau đó, tiếp tục như cách 1.
F
G
D A
C
B
E
Cách 3: Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó
A , A
x = AH y =EH.
Mà tam giác CAE vuông nên
2 2
. . CA CE. CA 1, 5
AH CE CA AE AH
CE
= ⇒ = − =
2 2 2 2 2
1, 4 EH = EA −HA = CE −CA −HA =
1,5 2,2
x y
A D HB
C
E
Vậy điểm tọa độ điểm A(1,5; 1,4), mặt khác điểm B(0; 1,5) và 15 BA=40BD
. Suy ra 8( 5 ) 1, 2
3 8
D A B
y = y − y = . d. Thể hiện kết quả
Với kết cấu của đu quay máy bay thủy lực như tình huống mô tả thì khoảng cách từ máy bay đến mặt đất thấp nhất là 1,2 m.
e. Phản ánh
Trong ba cách giải trên, khả năng học sinh sẽ sử dụng cách 1 và cách 2 nhiều hơn cách 3 vì hai cách đầu đơn giản, quen thuộc đối với học sinh hơn, mặc dù tại thời điểm này các em đã học phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
148 3.2.4.2 Phân tích bài làm của học sinh
a. Hiểu tình huống: sau khi đọc kỹ tình huống, lớp học xuất hiện hai cách hiểu về tình huống này:
- Nhìn nhận vấn đề một cách “động”, xem A và D lần lượt là các điểm di động trên đường tròn tâm B bán kính 1,5 và 2,2.
- Nhìn nhận vấn đề một cách “tĩnh”, xem A và D là các điểm cố định thỏa mãn các điều kiện về khoảng cách BD = 4; AB = 1,5; AC = 2,2.
b. Xây dựng mô hình toán học: Trong bước này, các nhóm đều đưa tình huống về một bài toán hình học, ở đó các thông tin của tình huống được gắn với các số đo trên hình vẽ. Có hai trường hợp đã xảy ra khi các nhóm vẽ điểm A và điểm D:
- (M4.1) Vẽ điểm A và điểm D ở vị trí thấp hơn điểm B so với mặt đất. Cơ sở của những hình vẽ này là:
• Dựng hình: A=( ;1, 5)B ∩( ; 2, 2)C , [BA) ( ; 4)
D= ∩ B .
• Tính góc ∠ABC=94, 3°.
• Dựa vào ảnh chụp thực tế của một đu quay máy bay thủy lực (hình 1 của tình huống).
• Vẽ một cách ngẫu nhiên.
- (M4.2) Vẽ điểm A và điểm D ở vị trí cao hơn điểm B so với mặt đất. Dưới đây là một số nguyên nhân:
149
• Vẽ một cách ngẫu nhiên.
• Dựa vào mô hình đu quay (hình 2) kèm theo với tình huống.
• Tính sai góc ∠ABC< °90 .
c. Giải toán. Với mô hình xây dựng được, để tính khoảng cách DG từ máy bay đến mặt đất, các nhóm đều tìm cách tính góc∠FBD, sau đó tính độ dài đoạn BF trong tam giác vuông DBF, và suy ra khoảng cách DG = EF = 1,5 – BF.
F
G
D A
C
B
E
Khi tính góc∠FBD, hai cách sau đây được sử dụng chủ yếu trong các bài làm của học sinh:
- (P4.1) Sử dụng định lý cosin trong tam giác ABC khi biết độ dài ba cạnh để tính∠ABC.
- (P4.2) Phát hiện ra tam giác ACE vuông tại A do BA = BC = BE và sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông này.
- (P4.3) Ngoài ra, một cách giải khác của nhóm Phượng là áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB, với H là trung điểm cạnh AC của tam giác cân BAC, để tính góc ∠ABH.
150
d. Chuyển đổi kết quả toán sang kết quả thực tế: các nhóm đều thực hiện tốt bước này sau khi tính được khoảng cách DG.
e. Phản ánh
- Học sinh thực hiện bước phản ánh ngay trong quá trình giải toán. Một số nhóm xây dựng mô hình toán lúc đầu không đúng, nhưng sau khi tính ra góc
94, 3
∠ABC= °, các em đã quay lại bước xây dựng mô hình toán để điều chỉnh lại hình vẽ cho phù hợp.
Trong bài làm trên, hình bên phải là hình vẽ lúc đầu, hình bên trái là hình vẽ lại sau khi tính được góc ∠ABC=94, 3°.
- So sánh khoảng cách tìm được với khoảng cách BE để kết luận kết quả tìm được là hợp lý.
151 3.2.4.3 Bảng tóm tắt bài làm của các nhóm
Nhóm Mô hình toán Phương pháp giải Kết quả Phản ánh Nguyệt Dựng hình
(M4.1)
Định lý hàm số cosin.
(P4.1)
Đúng
Mơ Út
Tính góc∠ABC
(M4.1)
Hệ thức lượng trong tam giác vuông AEC. (P4.2)
Đúng Vẽ lại hình An
Phượng Hệ thức lượng trong tam giác vuông ABH. (P4.3)
Đúng Kết quả hợp lý vì DG < 1,5
Hòa Định lý hàm số cosin. (P4.1)
Tính được ∠ABC=94, 3°. Nhưng áp dụng sai công thức trong tam giác vuông BDF.
Sai Vẽ lại hình Thiện
Dựa vào hình 1 (M4.1)
Định lý hàm số cosin (P4.1).
Tính được BF = 0,28.
Chưa hoàn thành
Nhi Hệ thức lượng trong tam giác
vuông AEC (P4.2).
Đúng
Linh Vẽ ngẫu nhiên (M4.1)
Định lý hàm số cosin (P4.1).
Tính được ∠ABC=94, 3°.
Chưa hoàn thành Việt Dựa vào hình 2
(M4.2) Sai Phú Vẽ ngẫu nhiên
(M4.2) Sai Duyệt Tính sai góc
(M4.2) Sai
Định lý hàm số cosin, nhưng sai dấu.
152 Kết luận đối với tình huống 4
* Xây dựng mô hình toán
- Khi nhìn tình huống này dưới quan điểm “động” sẽ giúp học sinh hiểu đúng bản chất của tình huống, do đó việc xây dựng mô hình toán của học sinh sẽ chính xác hơn, có cơ sở hơn so với việc xem xét vấn đề một cách “tĩnh”. Tuy nhiên, một số nhóm với suy nghĩ “tĩnh” vẫn xây dựng được mô hình đúng vì sự ngẫu nhiên, hoặc tính góc∠ABCtrước khi vẽ, hoặc có thể lúc đầu vẽ sai nhưng nhờ quá trình phản ánh xảy ra trong khi giải toán nên đã sửa lại mô hình cho phù hợp.
- Đối với một số học sinh, mô hình các em xây dựng chịu ảnh hưởng bởi những hình vẽ đi kèm theo tình huống. Cụ thể, các em đã dựa vào hình ảnh quan sát được từ các hình vẽ để xác định vị trí điểm D cao hơn hay thấp hơn so với vị trí của điểm B trong mô hình của mình.
* Giải toán
- Trong số 9 nhóm xây dựng đúng mô hình toán, có 6 nhóm đã giải đúng bài toán được phát biểu từ tình huống, 2 nhóm không kịp hoàn thành bước giải toán của mình vì không đủ thời gian.
- Vẫn còn việc áp dụng sai các công thức cơ bản như định lý cosin, hệ thức lượng trong tam giác vuông, mà nguyên nhân là sự bất cẩn, thiếu kiểm tra, xem xét lại quá trình giải chứ không phải do không nhớ công thức.
- Sáu nhóm đã sử dụng định lý cosin để giải bài toán bởi vì theo các em tam giác ABC đã có độ dài 3 cạnh nên có thể sử dụng định lý này để tính các góc trong tam giác. Đối với các nhóm này, việc nhận ra tam giác ABC vuông từ giả thiết BA = BC = BE thì không được nghĩ đến, hoặc có nghĩ đến nhưng vì không chắc chắn, do kiến thức này được học ở lớp 9, nên các em đã không tiếp tục theo đuổi hướng suy nghĩ này.
- Không có nhóm nào nghĩ đến việc sử dụng phương pháp tọa độ vào giải bài toán, ngay cả những nhóm xây dựng mô hình toán học bằng phương pháp dựng
153
hình. Từ cách dựng của các em, chúng tôi nhận thấy có thể tìm được tọa độ điểm A bằng một cách khác mà chúng tôi đã không nghĩ đến trước đó.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó tọa độ điểm B(0; 1,5) và điểm C(0; 3).
( ;1, 5) ( ; 2, 2) A= B ∩ C
Với phương trình đường tròn (B; 1,5) và (C; 2,2) lần lượt là:
2 2 2
2 2 2
( 1, 5) 1, 5 (1) ( 3) 2, 2 (2)
x y
x y
+ − =
+ − =
1,5 2,2
x y
A D B
C
E
Lấy (2) trừ (1) ta được yA =1, 4. Tiếp tục như cách 3 trong phân tích tiên nghiệm trên thì ta có 8( 5 ) 1, 2
3 8
D A B
y = y − y = .
* Chuyển đổi kết quả toán sang kết quả thực tế: Sáu nhóm giải đúng đều giải thích kết quả toán trong ngữ cảnh của tình huống một cách phù hợp.
* Phản ánh: Trong tình huống này, điều khá bất ngờ là học sinh không chỉ thực hiện bước phản ánh ở khâu cuối cùng của quá trình giải quyết tình huống mà đã thực hiện ngay trong quá trình giải toán. Ngoài ra, một số nhóm đã cố gắng đưa ra các phản ánh đối với kết quả tìm được nhưng chưa thực sự sâu sắc và có ý nghĩa.