Các thành ph ần liên quan đến hiểu biết định lượng

1.2 HIỂU BIẾT ĐỊNH LƯỢNG

1.2.3 Các thành ph ần liên quan đến hiểu biết định lượng

Từ định nghĩa “HBĐL là khả năng để nhận ra, hiểu và sử dụng các kiến thức toán một cách hiệu quả trong nhiều tình huống định lượng khác nhau”, ta nhận thấy rằng có ba thành phần liên quan đến HBĐL, đó là:

- Tình huống ở đó vấn đề được đặt ra;

- Nội dung toán mà học sinh cần sử dụng để giải quyết vấn đề;

50

- Các năng lực cần được kích hoạt để kết nối thế giới thực và toán học, từ đó giải quyết vấn đề đặt ra.

Sơ đồ 1.8 Ba thành phần liên quan đến HBĐL (Hogan, 2000, [33]) 1.2.3.1 Tình huống

Một thành phần quan trọng trong định nghĩa HBĐL là tình huống mà kiến thức toán được “nhúng” vào. Việc lựa chọn các phương pháp toán học cũng như biểu diễn các kết quả phụ thuộc vào tình huống mà vấn đề được đặt ra.

Phạm vi của các tình huống HBĐL thường liên quan đến cuộc sống hàng ngày của một công dân trong xã hội ngày nay, đó là các tình huống liên quan đến đời sống cá nhân, liên quan đến các hoạt động ở trường học, nơi làm việc, nơi vui chơi giải trí, nơi công cộng hoặc cộng đồng địa phương, xã hội, hay là các tình huống liên quan đến một lĩnh vực khoa học ngoài toán.

1.2.3.2 Nội dung toán

Thành phần tiếp theo của HBĐL là nội dung toán mà học sinh cần biết, hiểu và sử dụng để giải quyết bài toán nảy sinh từ những tình huống định lượng khác nhau.

Toán học đã phát triển qua thời gian như là một phương tiện giúp con người tìm hiểu và giải thích các hiện tượng tự nhiên, xã hội. Ở trường, vì nhiều lý do, chương trình toán được tổ chức một cách logic xung quanh các mạch nội dung như số học, đại số, hình học, giải tích chứ không theo lịch sử phát triển của toán học. Các chủ đề thường được dạy theo trình tự: khái niệm, định lý, công thức, quy tắc – ví dụ minh

51

họa – áp dụng tương tự đối với các bài tập toán thuần túy, được thiết kế để trang bị cho học sinh những kiến thức và kỹ năng giúp giải quyết những hiện tượng toán học cơ bản (giải phương trình, bất phương trình, vẽ đồ thị).

Tuy nhiên trong thực tế, các vấn đề không xuất hiện cùng với các quy tắc, chỉ dẫn, gợi ý giúp giải quyết tình huống đó, mà nó thường đòi hỏi học sinh phải có khả năng để tìm ra kiến thức toán liên quan đến tình huống và khả năng chuyển đổi tình huống được cho theo ngôn ngữ toán học. Và thường không dễ đạt được lời giải nếu chỉ áp dụng kiến thức từ một nội dung toán đơn lẻ mà phải kết hợp nhiều nội dung toán khác nhau.

Ví dụ. BÁNH PIZZA

Đặc sản của một nhà hàng Ý là bánh pizza hải sản, bánh có hai loại để khách hàng lựa chọn. Hai loại bánh này cùng độ dày nhưng kích thước khác nhau, bánh có đường kính 30 cm giá 300 nghìn đồng, bánh có đường kính 40 cm giá 400 nghìn đồng. Theo em loại bánh nào có giá tốt hơn?

Hình 1.10 Bánh Pizza Bài toán này liên quan đến nhiều nội dung toán khác nhau:

- Chứa đựng các yếu tố hình học: bánh pizza có thể được xem như là một hình trụ, hoặc một hình tròn (vì có cùng độ dày) và học sinh cần biết công thức tính diện tích của hình tròn.

- Liên quan đến nội dung số học: học sinh cần tìm cách để so sánh lượng bánh và lượng tiền, thay vì so sánh thể tích hay khối lượng, học sinh có thể so sánh diện tích bề mặt (hình tròn) của hai loại bánh này.

52

- Tìm mối quan hệ giữa lượng bánh và số tiền của mỗi loại: có thể tính giá tiền trên một đơn vị diện tích bề mặt mỗi loại hoặc diện tích bánh tương ứng với cùng một lượng tiền hoặc so sánh tỉ lệ diện tích S1:S2 = (3:4)2 = 9:16 trong khi đó tỉ lệ giá tiền T1:T2 = 3:4.

1.2.3.3 Các năng lực hiểu biết định lượng

Có nhiều định nghĩa về năng lực, bắt nguồn từ các lĩnh vực và các loại năng lực khác nhau. Trong nghiên cứu này, chúng tôi xem năng lực là khả năng của một cá nhân để thực hiện thành công những thách thức của một tình huống (theo Niss, 2011, [47]). Nhìn lại định nghĩa HBĐL được trình bày ở mục 1.2.1, ta thấy rằng HBĐL chính là năng lực nhận ra, hiểu và sử dụng các kiến thức toán trong những tình huống định lượng của cuộc sống. Tuy nhiên để có thể đánh giá HBĐL của học sinh một cách tường minh, chúng ta cần đến những năng lực HBĐL cụ thể.

Niss (2003, [46]), PISA (2012, [51]), Turner (2011, [66]) đã cụ thể hóa HBĐL thành sáu năng lực cơ bản gồm giao tiếp với toán học, phân tích và xây dựng mô hình toán học, sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán, suy luận, biểu diễn, giải quyết vấn đề. Các năng lực HBĐL này cho phép một cá nhân giải quyết vấn đề định lượng bằng cách liên kết giữa nội dung toán và tình huống được cho (Ginsburg, 2006, [30]). Mỗi năng lực đó được mô tả và thể hiện qua các hoạt động liên quan cụ thể như sau:

a. Giao tiếp với toán học Năng lực này bao gồm:

• Khả năng hiểu tình huống như là nhận ra các thông tin liên quan, hiểu đúng câu hỏi, yêu cầu đặt ra;

• Khả năng trình bày các bước giải rõ ràng, logic, đầy đủ;

• Khả năng giải thích kết quả toán học trong phạm vi tình huống thực tế.

Các hoạt động liên quan đến năng lực này:

- Hiểu các cụm từ ngắn gọn, liên quan đến một khái niệm quen thuộc;

53

- Nhận ra và sử dụng các liên kết trong lời văn của tình huống hoặc giữa lời văn và các biểu diễn liên quan để hiểu nhiệm vụ và tình huống, trình bày kết quả bằng lời hoặc viết;

- Hiểu các chỉ dẫn, mã hóa các yếu tố của tình huống, giải thích kết quả;

- Giải thích rõ ràng, đầy đủ, mạch lạc lời giải, quá trình lập luận, cũng như các quan hệ logic phức tạp.

Bất kì việc trình bày bằng văn bản hay bằng lời của một hoạt động toán học đều có thể được xem là minh họa của năng lực giao tiếp.

b. Phân tích và xây dựng mô hình toán học Năng lực này bao gồm:

• Khả năng phân tích các mô hình toán học có sẵn, đánh giá phạm vi và giá trị của các mô hình đó (ví dụ PHẢN ỨNG);

• Khả năng xây dựng mô hình toán học đối với những tình huống ngoài toán (ví dụ DU LỊCH).

Một số tình huống không yêu cầu năng lực này bởi vì vấn đề đã được phát biểu dưới dạng toán hoặc đó là tình huống mô hình toán, hoặc việc xây dựng mô hình toán là không cần thiết khi giải quyết vấn đề.

Các hoạt động liên quan đến năng lực này:

- Sử dụng mô hình toán học được cho để nắm bắt các điều kiện hoặc hiểu các mối quan hệ;

- Lựa chọn một mô hình toán học phù hợp thỏa mãn những ràng buộc của tình huống;

- Tạo ra mô hình chứa các biến, quan hệ và những yêu cầu của tình huống;

- So sánh, đánh giá các mô hình toán học khác nhau.

54

c. Sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán Năng lực này bao gồm:

• Khả năng hiểu và sử dụng các kí hiệu, thuật ngữ toán học, các mệnh đề và biểu thức chứa kí hiệu, công thức toán... dựa trên việc hiểu các khái niệm, quy tắc, thuật toán, quá trình toán học;

• Khả năng hiểu mối quan hệ giữa ngôn ngữ kí hiệu toán học và ngôn ngữ thông thường, khả năng chuyển đổi qua lại giữa hai hình thức ngôn ngữ này (ví dụ CHIỀU CAO);

• Khả năng thực hiện các phép toán đúng và chính xác (ví dụ CỬA HÀNG).

Các hoạt động liên quan đến năng lực này:

- Thay thế trực tiếp, thực hiện các phép toán số học cơ bản;

- Áp dụng các quá trình tính toán nhiều bước, làm việc với các kí hiệu, khái niệm, quy tắc, quá trình toán học;

- Làm việc với các quan hệ đại số hay hàm số đơn giản hoặc phức tạp.

d. Suy luận

Năng lực này bao gồm:

• Khả năng sử dụng các quy tắc suy luận toán học, tư duy logic để liên kết các yếu tố của bài toán và rút ra kết luận (ví dụ NGOẠI TỆ);

• Khả năng kiểm tra tính đúng đắn của một nhận định được cho hoặc đưa ra nhận định về một vấn đề.

Các hoạt động liên quan đến năng lực này:

- Suy luận trực tiếp từ thông tin được cho;

- Kết nối các thông tin khác nhau của tình huống để rút ra kết luận;

- Phân tích thông tin để tạo ra một lập luận gồm nhiều bước, hoặc để kết nối các biến của tình huống;

55

- Tổng hợp và đánh giá thông tin, tạo ra các chuỗi suy luận để ủng hộ cho kết luận, thực hiện tổng quát hóa dựa trên việc kết hợp nhiều nguồn thông tin.

e. Biểu diễn

Năng lực này bao gồm:

• Khả năng hiểu các mối quan hệ qua lại giữa các biểu diễn khác nhau của cùng một đối tượng cũng như biết được điểm mạnh điểm yếu của mỗi loại biểu diễn (ví dụ XUẤT KHẨU);

• Khả năng thực hiện chuyển đổi giữa các dạng biểu diễn (ví dụ DÂN SỐ);

• Khả năng lựa chọn một biểu diễn hay kết hợp nhiều biểu diễn khác nhau của các đối tượng toán học để nắm bắt tình huống hay tìm ra một phương pháp giải quyết.

Ở đây, biểu diễn toán học có thể là phương trình, công thức, đồ thị, sơ đồ, bảng biểu, hình vẽ, mô tả bằng lời…

Các hoạt động liên quan đến năng lực này:

- Sử dụng trực tiếp một biểu diễn quen thuộc được cho sẵn, ví dụ chuyển từ lời sang số, đọc một giá trị trực tiếp từ đồ thị hay bảng số liệu;

- Lựa chọn và thể hiện một biểu diễn quen thuộc liên quan đến tình huống;

- Sử dụng hoặc chuyển đổi giữa hai hay nhiều biểu diễn khác nhau cùng liên quan đến tình huống;

- Hiểu và sử dụng một biểu diễn không quen thuộc; tạo ra một biểu diễn liên quan giữa các yếu tố của một tình huống phức tạp; so sánh, đánh giá các biểu diễn khác nhau.

f. Giải quyết vấn đề Năng lực này bao gồm:

• Khả năng phát hiện và thiết lập một vấn đề toán học từ nhiệm vụ hay tình huống được cho;

56

• Khả năng lựa chọn một cách tiếp cận phù hợp và đưa ra một phương pháp toán hiệu quả để giải quyết vấn đề toán học đã được thiết lập, đồng thời giám sát, kiểm soát quá trình thực hiện.

Các hoạt động liên quan đến năng lực này:

- Thực hiện trực tiếp phương pháp được yêu cầu;

- Kết nối các thông tin được cho một cách hợp lý hoặc chuyển đổi thông tin qua nhiều bước để đi đến kết quả;

- Xây dựng một phương pháp tỉ mỉ để tìm ra lời giải đầy đủ, đánh giá và so sánh giữa các phương pháp có thể có.

Ví dụ.TIỀN TỆ

Hiện tại hệ thống tiền tệ của nước ta gồm các mệnh giá 1.000, 2.000, 5.000, 10.000, 20.000, 50.000, 100.000, 200.000, 500.000. Nếu nhà nước chỉ in hai loại tiền có mệnh giá là 3.000 và 5.000 thì có thể thực hiện việc trao đổi, mua bán có giá trị chẵn ngàn được không?

Phát hiện vấn đề: Có thể biểu diễn mọi số tự nhiên n dưới dạng n=3x+5y với ,

x y∈ Ζ được không?

Giải quyết vấn đề:

- ∀ ∈ Νn , 15n< , n luôn có thể biểu diễn dưới dạng n=3x+5y với x y, ∈ Ζ (1) - ∀ ∈ Νn , 15n≥ , n luôn có thể biểu diễn dưới dạng n=5p+rvới p∈ Ν, >2p và

{0; 1; 2; 3; 4}

r∈ . Hay ta có thể viết lại n=5(p− +2) 10+r, do

{ }

10+ ∈r 10; 11; 12; 13; 14 nên theo (1) thì 10+ =r 3u+5v với u v, ∈ Ζ. Từ đó suy ra vấn đề được giải quyết.

Trong thực tế, khi gặp một tình huống định lượng, học sinh không nhất thiết sử dụng tất cả các năng lực trên đây. Hơn nữa, mặc dù các năng lực được mô tả một cách riêng lẻ nhưng giữa chúng có sự giao thoa với nhau, chẳng hạn trong “biểu

57

diễn” thì vẫn có “giao tiếp”, trong “chuyển đổi” có “biểu diễn”..., và phụ thuộc lẫn nhau trong sự phát triển hiểu biết định lượng.

Trong phạm vi luận án, hai thuật ngữ “hiểu biết định lượng” và “năng lực hiểu biết định lượng” có thể được sử dụng thay thế cho nhau nếu không gây nhầm lẫn.

Ví dụ. BƯỚC CHÂN

Hình 1.11 Khoảng cách giữa hai gót chân liên tiếp

Bức ảnh trên chỉ dấu chân của một người đi bộ. Dựa trên quan sát một số lượng lớn nam giới đi bộ với tốc độ bình thường, người ta đưa ra công thức n / P = 140 cho biết mối quan hệ (xấp xỉ) giữa n và P, trong đó n là số bước chân trong một phút, P là chiều dài một bước chân, giữa hai gót chân liên tiếp (tính theo mét).

Câu hỏi 1. Bạn Nam đi bộ với tốc độ khoảng 70 bước mỗi phút thì chiều dài bước chân của Nam là bao nhiêu? Hãy trình bày bài làm của em.

Câu hỏi 2. Bước chân của thầy Việt dài 0,8 m. Tính tốc độ đi bộ của thầy Việt theo kilomet trong một giờ. Hãy chỉ ra cách làm của em.

Tình huống liên quan đến kiến thức và kĩ năng đại số. Câu hỏi 1 đòi hỏi các năng lực sau đây ở học sinh:

- Giải quyết vấn đề: vấn đề toán học đã được phát biểu rõ ràng, phương pháp giải đơn giản.

- Suy luận: suy ra trực tiếp từ thông tin được cho.

- Giao tiếp với toán học: học sinh cần đọc và hiểu tình huống, trình bày lời giải, chỉ ra cách các em đã thực hiện như thế nào.

58

- Biểu diễn: bao gồm hình ảnh, lời văn, công thức đại số, học sinh cần thấy được mối liên hệ giữa các biểu diễn này.

- Sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán: học sinh chỉ cần thực hiện một thao tác đại số đơn giản là thay thế giá trị n = 70 vào công thức để tìm ra giá trị của P.

Đối với câu hỏi 2, học sinh cần “kích hoạt” các năng lực như:

- Giải quyết vấn đề: Phương pháp giải khá phức tạp vì học sinh cần thực hiện một quá trình gồm ít nhất ba bước – tính số bước chân n trong một phút của thầy Việt, rồi nhân n với P để tính được tốc độ theo số mét trong một phút, đổi đơn vị tốc độ từ m/phút sang km/giờ.

- Xây dựng mô hình toán học: quan hệ giữa tốc độ đi bộ với chiều dài bước chân của thầy Việt.

- Suy luận: kết nối các quá trình tư duy.

- Giao tiếp với toán học: ngoài yêu cầu đọc hiểu tình huống như ở câu hỏi 1, học sinh còn phải sử dụng hình vẽ để thấy được mối liên hệ giữa bước chân và chiều dài bước chân, hơn nữa việc trình bày lời giải cũng đòi hỏi mức độ cao hơn.

- Biểu diễn: làm việc với các biễu diễn đại số bên cạnh hình ảnh, lời văn, công thức đại số.

- Sử dụng kí hiệu, thuật ngữ toán học và thực hiện các phép toán: thực hiện các biến đổi đại số, áp dụng tỉ lệ và các phép toán số học để chuyển đổi đơn vị.