2.1 XÂY DỰNG QUÁ TRÌNH TOÁN HỌC HÓA PHÙ HỢP VỚI CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG HIỆN NAY
2.1.1 Các tình huống toán học
2.1.1.1 Phân loại các tình huống toán học
67
Quá trình THH theo quan điểm của PISA bắt đầu với một tình huống thực tế. Tuy nhiên, một tình huống gồm các yếu tố thực tế không đảm bảo đó là một tình huống thực tế.
Ví dụ: Nếu mua hai áo thun và hai ly coca thì giá 440 nghìn đồng, nếu mua một áo thun và ba ly coca thì giá 300 nghìn đồng. Vậy một áo thun giá bao nhiêu? Một ly coca giá bao nhiêu?
Tình huống đặt ra bao gồm các yếu tố thực tế nhưng trong thực tế không xảy ra một tình huống như vậy, mà khi đối mặt với một tình huống thực tế, người ta thường phải xem xét nhiều yếu tố trước khi giải quyết vấn đề và nhiệm vụ thường ít được xác định một cách rõ ràng. Dạng bài toán này được tác giả Lê Văn Tiến gọi là bài toán phỏng thực tiễn (Lê Văn Tiến, 2005, [7]).
Vì vậy trong phần này, chúng tôi dựa vào quá trình mô hình hóa để thực hiện phân loại các tình huống toán học – đó là những tình huống trong hoặc ngoài lĩnh vực toán học mà có thể sử dụng kiến thức toán để giải quyết.
Dưới đây là một sơ đồ được mô phỏng theo quá trình mô hình hóa của Stillman, Galbraith, Brown và Edwards (2007, [64]):
Sơ đồ 2.1 Quá trình MHH mô phỏng theo Stillman, Galbraith, Brown, Edwards Để giải quyết một nhiệm vụ MHH theo sơ đồ trên, học sinh lần lượt thực hiện các bước chính sau:
(1) Hiểu tình huống thực tế được cho, đưa vào các điều kiện và giả thiết phù hợp để tạo ra một mô hình thực tế của tình huống;
Kết quả
thực tế Kết quả
toán học Mô hình
thực tế Mô hình
toán học (2)
(3)
(4) (5)
Tình huống thực tế
Cách giải quyết
(1)
(6)
68
(2) Xây dựng mô hình toán học biểu diễn trung thực cho mô hình thực tế;
(3) Làm việc trong môi trường toán học để đạt được kết quả toán;
(4) Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tế;
(5) Xem xét tính hợp lý, thỏa đáng của kết quả thực tế hay quyết định thực hiện quá trình lần 2;
(6) Trình bày cách giải quyết.
Trong quá trình trên, bước thứ hai là quan trọng nhất, giúp phân biệt một nhiệm vụ MHH với một nhiệm vụ toán học khác.
Ngoài ra, dựa vào sơ đồ 2.1, chúng tôi nhận thấy, để giải quyết một nhiệm vụ MHH, người thực hiện MHH sẽ trải qua ba giai đoạn chuyển đổi nhằm đơn giản hóa tình huống thực tế ban đầu:
Sơ đồ 2.2 Ba giai đoạn đơn giản hóa một tình huống thực tế Trong sơ đồ trên:
- Tình huống thực tế: là tình huống xuất phát từ thế giới bên ngoài lĩnh vực toán học, không có các đối tượng, ký hiệu, cấu trúc toán học. Trong những tình huống này, thông tin thường không đầy đủ, dữ liệu có thể quá nhiều hoặc quá ít, yêu cầu đặt ra thường không rõ ràng dẫn đến có nhiều cách để giải quyết, tùy thuộc vào khía cạnh mà người mô hình hóa quan tâm.
- Tình huống toán học hóa: là tình huống tương ứng với mô hình thực tế, đây là tình huống chứa đựng những yếu tố quan trọng của tình huống thực tế ban đầu, nhưng đã được đơn giản hóa, đặc biệt hóa, cụ thể hóa, thêm các điều kiện, giả thiết phù hợp, hạn chế những yếu tố không cần thiết cho phép người mô hình hóa tiếp cận với một số công cụ toán học theo ý đồ của mình, tuy nhiên vẫn còn phản ánh một phần nào đó tình huống ban đầu. Có thể xây dựng được
Tình huống mô hình toán Tình huống
toán học hóa Tình huống
thực tế
69
nhiều tình huống toán học hóa khác nhau cho cùng một tình huống thực tế, tùy thuộc vào kiến thức, mục đích, quan tâm của người mô hình hóa.
- Tình huống mô hình toán: là tình huốngtương ứng với mô hình toán học, đây là tình huống bao gồm các đối tượng toán học và mối quan hệ giữa các đối tượng đó, tương ứng với các yếu tố cơ bản và mối quan hệ của chúng trong tình huống thực tế. Lúc này, yếu tố toán học đã được tách rời khỏi yếu tố thực tế, thực tế chỉ là vỏ bọc xung quanh nội dung toán.
Như vậy, mức độ phức tạp của các tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế sẽ tăng dần theo chiều mũi tên dưới đây:
Mức độ 3 Tình huống thực tế Mức độ 2 Tình huống toán học hóa Mức độ 1 Tình huống mô hình toán
Sơ đồ 2.3 Mức độ phức tạp của các tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế Tóm lại, các tình huống toán học sẽ được phân loại theo sơ đồ sau:
Sơ đồ 2.4 Phân loại các tình huống toán học 2.1.1.2 Ví dụ minh họa các tình huống toán học
Bốn tình huống dưới đây có cùng nội dung toán, nhưng được thiết kế với yếu tố thực tế và mức độ phức tạp giảm dần, phụ thuộc vào các thông tin được cung cấp, cũng như loại câu hỏi đặt ra.
Tình huống toán học
Tình huống không đặt trong ngữ cảnh thực tế
Tình huống thực tế
Tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế
Tình huống
toán học hóa Tình huống mô hình toán
70 Ví dụ. LY COCKTAIL
Tình huống 1 (Tình huống thực tế): Trong cuộc thi những người pha chế cocktail giỏi, ban tổ chức chuẩn bị các ly thủy tinh có dạng như hình vẽ. Thí sinh được yêu cầu pha nửa ly cocktail loại Martini rồi trang trí. Nếu em là thí sinh dự thi, em sẽ làm như thế nào, tại sao?
Hình 2.1a Ly cocktail thủy tinh
Khi giải quyết tình huống 1, học sinh cần phải xem xét nhiều yếu tố liên quan đến kết quả, chẳng hạn như hình dạng hình học của thân ly, chiều cao thân ly, kích thước miệng ly, dung tích của ly… sao cho có thể xác định được vị trí để rót cocktail vào ly. Tuy nhiên, từ tình huống này chúng ta có thể xây dựng các tình huống THH ở những mức độ khó khác nhau. Hai tình huống sau được tạo ra với dự kiến những kiến thức, kĩ năng toán mà học sinh cần sử dụng là thể tích hình nón, trong đó tình huống 3 có độ khó thấp hơn vì thông tin được cung cấp chi tiết hơn, cụ thể hơn và yêu cầu đặt ra đơn giản hơn.
Tình huống 2 (Tình huống toán học hóa): Trong cuộc thi những người pha chế cocktail giỏi, ban tổ chức chuẩn bị các ly thủy tinh có dạng hình nón như hình vẽ.
Thí sinh được yêu cầu pha nửa ly cocktail loại Martini rồi trang trí. Bình là một thí sinh cho rằng cần rót cocktail vào 2/3 ly. Nhật cho rằng cách của Bình không đúng vì còn tùy thuộc vào kích thước của miệng ly. Theo em, ai đúng, tại sao?
Hình 2.1b Các ly thủy tinh với kích thước khác nhau
71 Tình huống 3 (Tình huống toán học hóa): Trong cuộc thi những người pha chế cocktail giỏi, ban tổ chức chuẩn bị một loại ly thủy tinh có dạng hình nón với dung tích chứa là 160 ml và đường kính miệng ly là 10 cm. Thí sinh được yêu cầu pha nửa ly cocktail loại Martini rồi trang trí. Nếu em là thí sinh, em sẽ rót cocktail vào ly theo tỉ lệ nào so với chiều cao của thân ly? Giải thích.
A. 1/2 B. 2/3 C. 3/4 D. 4/5
Hình 2.1c Phần thân ly cùng với đường kính và dung tích
So với tình huống thực tế, hai tình huống toán học hóa mô tả thông tin chi tiết hơn, cung cấp các số liệu phù hợp, đặt ra câu hỏi rõ ràng, giúp đem lại nhiều thông tin khác về những gì học sinh đã học được và có thể làm được. Mặc dù, tình huống 4 dưới đây cũng đặt trong ngữ cảnh thực tế nhưng các đối tượng toán học (chiều cao, thể tích) đã được xác định và học sinh chỉ cần tìm ra mối quan hệ giữa các đối tượng đó nên tình huống được phân loại là tình huống mô hình toán.
Tình huống 4 (Tình huống mô hình toán) Trong cuộc thi những người pha chế cocktail giỏi, ban tổ chức chuẩn bị một loại ly thủy tinh có dạng hình nón như hình vẽ. Thí sinh được yêu cầu pha nửa ly cocktail loại Martini rồi trang trí. Gọi H là chiều cao của thân ly và V là thể tích của ly.
Hãy xác định chiều cao của lượng cocktail đổ vào theo H để thể tích cocktail trong ly bằng V/2.
Hình 2.1d Phần thân ly với chiều cao H và thể tích V
Như vậy, để có thể hướng đến việc sử dụng kiến thức, kĩ năng toán vào giải quyết các vấn đề thực tế, học sinh cần được tạo điều kiện tiếp xúc với các tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế từ mức độ đơn giản đến phức tạp, từ tình huống mô hình toán đến tình huống toán học hóa và cuối cùng là tình huống thực tế.
72