3.3 PHÂN TÍCH KẾT QUẢ BÀI KIỂM TRA PRETEST VÀ POSTTEST
3.3.2 Bài kiểm tra posttest
BÀI KIỂM TRA POSTTEST 1. KỆ GỖ. Để đóng một cái kệ như hình vẽ, bác thợ mộc cần 4 tấm gỗ dài, 6 tấm gỗ ngắn, 12 nẹp nhỏ, 2 nẹp lớn và 14 cái đinh vít. Hiện tại bác thợ mộc có 27 tấm gỗ dài, 35 tấm gỗ ngắn, 80 nẹp nhỏ, 17 nẹp lớn và 150 cái đinh vít. Hỏi bác có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu cái kệ với những vật liệu trên. Giải thích.
2. NÉM BÓNG. Độ cao của một vật bị ném xiên sau t giây với vận tốc ban đầu v0, hợp với phương ngang một góc α, ở độ cao h được cho bởi công thức
2 0
( ) 1 ( sin )
H t = −2gt + v α t+h, trong đó g là gia tốc trọng trường. Giả sử một phi hành gia đang ở trên Mặt trăng ném một quả bóng với vận tốc v0 =20 m/s, góc α = °30 từ độ cao 2 m. Theo em, quả bóng đó rơi xuống nhanh hơn hay lâu hơn so với một quả bóng hoàn toàn giống như vậy được ném ở Mặt đất với cùng vận tốc ban đầu v0, góc α và độ cao h.
Tại sao? Biết rằng gia tốc trọng trường của Mặt đất là g=9,8 m/s2 và của Mặt trăng là 1, 6 m/s2
g= .
3. NGỌN NÚI. Bố Lan là một nhà địa chất. Vào một ngày hè, bố đưa Lan đi tham quan một ngọn núi đá ở gần quê nội. Trên con đường thẳng đến chân núi, sử dụng máy kinh vĩ (một thiết bị đo góc) bố Lan có thể nhìn thấy đỉnh núi dưới góc 80 so với phương nằm ngang. Sau khi đi thêm 1 km, bố Lan đo lại lần nữa, lúc này góc đo được là 100. Bố đố Lan ngọn núi cao bao nhiêu? Em hãy giúp Lan nhé. Biết rằng đường đi đến chân núi rất bằng phẳng và khoảng cách từ ống kính của máy kinh vĩ đến mặt đất là 1,5 m.
168
Đường thẳng đến chân núi Máy kinh vĩ
3.3.2.1 Tình huống KỆ GỖ
Thể hiện bài làm của học sinh Số
HS
Không làm. 3
Xây dựng mô hình toán học:
- Mô hình 1. Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn: Tìm số nguyên dương x lớn nhất thỏa mãn hệ:
4 27
6 35
12 80 (1.1) 2 17
14 150 x x x x
x
≤
≤
≤
≤
≤
- Mô hình 2. Phát biểu bài toán bằng cách tóm tắt tình huống:
(4 gỗ dài, 6 gỗ ngắn, 12 nẹp nhỏ, 2 nẹp lớn, 14 đinh vít) → 1 kệ (27 gỗ dài, 35 gỗ ngắn, 80 nẹp nhỏ, 17 nẹp lớn, 150 đinh vít) → ? kệ
12
31
Sử dụng một phương pháp giải đúng:
- Cách 1. Giải hệ bất phương trình (1.1) được x≤5,8. Nhưng do x nguyên dương nên giá trị lớn nhất của x thỏa hệ là x = 5.
12
169 - Cách 2.
27 tấm gỗ dài làm được tối đa 6 kệ 35 tấm gỗ ngắn làm được tối đa 5 kệ 80 nẹp nhỏ làm được tối đa 6 kệ 17 nẹp lớn làm được tối đa 8 kệ 150 đinh vít làm được tối đa 14 kệ Như vậy số kệ làm được tối đa là 5 kệ.
- Cách 3. 27 tấm gỗ dài làm được 27/4 = 6 kệ dư 3 tấm 35 tấm gỗ ngắn làm được 35/6 = 5 kệ dư 5 tấm 80 nẹp nhỏ làm được 80/12 = 6 kệ dư 8 cái 17 nẹp lớn làm được 17/2 = 8 kệ dư 1 cái 150 đinh vít làm được 150/14 = 10 kệ dư 10 cái
Nếu đóng 5 kệ thì vật liệu còn dư là (7 tấm gỗ dài, 5 tấm gỗ ngắn, 20 nẹp nhỏ, 7 nẹp lớn, 80 đinh vít). Số vật liệu dư này có thể đóng thêm 1 kệ nữa bằng cách cưa 1 tấm gỗ dài thành 1 tấm gỗ ngắn để có đủ 6 tấm gỗ ngắn.
20
9
170 Kết luận đúng:
- Bác thợ mộc có thể đóng được tối đa 5 kệ với những vật liệu được cho.
- Bác thợ mộc có thể đóng được tối đa 6 kệ với những vật liệu được cho.
32 9 Phản ánh tốt: Số vật liệu còn dư có thể làm thêm một cái kệ nữa nếu có thêm một tấm gỗ ngắn, nhưng do tấm gỗ dài vẫn còn thừa nên bác thợ mộc có thể cưa một tấm gỗ dài để có được một tấm gỗ ngắn.
9
Nhận xét
- Hầu hết học sinh (41/46) đều giải quyết được tình huống này, chỉ có 3 học sinh không làm và 2 học sinh chưa hoàn thành bài làm của mình.
- 12 học sinh đã đưa tình huống về hệ năm bất phương trình bậc nhất một ẩn và dễ dàng giải hệ này, sau đó kết hợp với điều kiện của ẩn là nguyên dương, lớn nhất để có kết quả cuối cùng là 5 kệ.
- Những học sinh còn lại giải quyết tình huống bằng phương pháp số học, tìm
27 35 80 17 150
min , , , , 5
4 6 12 2 14
=
. Trong số những học sinh này, có 9 học
sinh quan tâm đến phần vật liệu còn dư và nhận ra rằng có thể đóng thêm 1 kệ nữa bằng cách cưa một tấm gỗ dài thành một tấm gỗ ngắn. Vì vậy, 9 em học sinh này kết luận rằng bác thợ mộc có thể đóng được 6 cái kệ từ những vật liệu được cho. Đây là một kết quả khá bất ngờ so với dự kiến, nhưng chúng tôi nhận
171
thấy phương án giải quyết như thế vẫn thường gặp trong thực tế, và chứng tỏ khả năng phản ánh của các em đối với tình huống này rất tốt. Mặc dù không phải khi nào cũng có thể cưa tấm gỗ dài thành tấm gỗ ngắn, nhưng do tình huống không đề cập đến kích thước của các tấm gỗ nên cách giải này được chấp nhận.
3.3.2.2 Tình huống NÉM BÓNG
Thể hiện bài làm của học sinh Số
HS
Không làm hoặc làm không đúng. 13
Xây dựng mô hình toán học:
Tìm được hàm số bậc hai biểu diễn độ cao H theo thời gian t ở hai vị trí, Mặt trăng và Trái đất:
1 2
( ) (1, 6) 10 2
MT 2
H t = − t + t+ 1 2
( ) (9,8) 10 2
TD 2
H t = − t + t+
- Mô hình 1. Tìm thời gian từ khi quả bóng ném lên đến khi rơi xuống bề mặt ở hai vị trí, Mặt trăng và Trái đất, rồi so sánh.
- Mô hình 2. So sánh HMT( )t và HTD( )t .
- Mô hình 3. Xác định thời điểm t0 quả bóng ở Mặt trăng (hay Trái đất) chạm bề mặt, rồi tính HTD( )t0 (hoặc HMT( )t0 ).
33
15
5
1 Sử dụng một phương pháp giải đúng:
- Cách 1. Thời gian quả bóng được ném trên Mặt trăng rơi xuống:
0,8t2 10t 2 0 tMT 12, 7
− + + = ⇔ =
Thời gian quả bóng được ném ở Mặt đất rơi xuống:
4, 9t2 10t 2 0 tTD 2, 2
− + + = ⇔ =
15
172
- Cách 2. HMT( )t = −0,8t2+10t+2, HTD( )t = −4, 9t2+10t+2
Do −0,8t2+10t+ > −2 4, 9t2+10t+2, 0∀ >t nên HMT( )t >HTD( ), 0t ∀ >t
- Cách 3. Thời điểm quả bóng được ném trên Mặt trăng rơi xuống:
2
0,8t 10t 2 0 t0 12, 7
− + + = ⇔ =
Tại thời điểm đó HTD( )t0 = −661, 32
3
1
Kết luận đúng.
- Trên Mặt trăng quả bóng sẽ ở trong không khí lâu hơn so với quả bóng ở Trái đất 12,7 – 2,2 = 10,5 giây.
- Quả bóng ở Mặt trăng rơi xuống chậm hơn quả bóng ở Trái đất.
19
173
- Quả bóng ở Trái đất đã rơi xuống đất trước khi quả bóng ở Mặt trăng chạm đến bề mặt.
Phản ánh tốt: Do gia tốc trọng trường ở Trái đất lớn hơn gia tốc trọng trường ở Mặt trăng nên ở Trái đất vật sẽ rơi xuống nhanh hơn so với ở Mặt trăng.
3
Nhận xét
- 12 học sinh đã viết đúng phương trình độ cao của quả bóng tại thời điểm t ở Trái đất và Mặt trăng nhưng sau đó dừng lại bởi vì không chuyển được yêu cầu của tình huống sang ngôn ngữ toán.
- Cách giải 1 quen thuộc đối với học sinh hơn cách giải 2 và 3, đồng thời có thể cho biết chính xác hai quả bóng rơi xuống cách nhau bao lâu.
- Cách giải 3 chỉ đúng khi học sinh hiểu đúng ý nghĩa của giá trị ( )0 661, 32
HTD t = − , tức là tại thời điểm quả bóng trên Mặt trăng chạm bề mặt thì quả bóng ở Trái đất đã rơi xuống mặt đất trước đó.
- Hai học sinh gặp sai lầm đối với cách giải 2, khi so sánh HMT( )t và HTD( )t tại một thời điểm t đặc biệt, đó là t = 1 giây. Học sinh nhận xét
( 1) ( 1)
MT TD
H t= >H t = nên quả bóng ở Trái đất rơi xuống nhanh hơn. Kết luận như vậy là không có cơ sở, chẳng hạn trong ví dụ sau, H t1( = >1) H t2( =1) nhưng quả bóng (1) lại rơi xuống nhanh hơn quả bóng (2).
2
1
2
H2
H1
O 1
174
- Không có học sinh nào sử dụng phương pháp đồ thị. Vẽ hai đồ thị trên một hệ trục tọa độ, ta có thể thấy được thời gian quả bóng chạm đất trên Mặt trăng lâu hơn ở Mặt đất.
35 30 25 20 15 10 5
5
2 4 6 8 10 12 14
Ở Mặt đất
trên Mặt trăng
Khi tìm hiểu lý do, học sinh cho rằng để vẽ đồ thị các em phải xác định tọa độ đỉnh và các điểm đặc biệt, trong khi sử dụng máy tính để giải phương trình bậc hai, tìm ra thời điểm hai quả bóng chạm bề mặt, thì cho kết quả nhanh hơn và chính xác hơn.
- Một số học sinh giải phương trình hoành độ giao điểm HMT( )t =HTD( )t được 0
t= và dừng lại. Thực ra, kết quả này chỉ cho biết rằng tại thời điểm bắt đầu cả hai quả bóng có độ cao bằng nhau và như vậy tình huống vẫn chưa được giải quyết.
3.2.3.3 Tình huống NGỌN NÚI
Thể hiện bài làm của học sinh Số
HS
Không làm hoặc làm không đúng 8
Xây dựng mô hình toán học: Trong hình vẽ dưới đây, tìm độ dài DH biết AB
= 1 km, CH = 1,5 m, ∠CBD=10 , 80 ∠CAD= 0.
38
175
1.5 m 1 km
170° 8°
10°
80°
H
C A
D
B Sử dụng một phương pháp giải đúng:
- Cách 1. Sử dụng hệ thức lượng trong hai tam giác vuông BCD và ACD.
- Cách 2. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác BCD và ABD.
- Cách 3. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác ACD và ABD.
34
176
Kết luận đúng: Ngọn núi cao 694 m. 30
Phản ánh: Chiều cao ngọn núi tính được là giá trị gần đúng. 2 Nhận xét