2.1 XÂY DỰNG QUÁ TRÌNH TOÁN HỌC HÓA PHÙ HỢP VỚI CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG HIỆN NAY
2.1.2 Tìm hiểu thể hiện của mô hình hóa trong chương trình
Trong luận án này, chúng tôi chọn chương trình toán 10 nâng cao để nghiên cứu vì các lý do chủ yếu sau:
- Số bài tập toán cũng như số tiết toán trong chương trình nâng cao nhiều hơn so với chương trình cơ bản, nên học sinh theo chương trình nâng cao có điều kiện thực hành, luyện tập, củng cố những kiến thức, kĩ năng toán đã được học nhiều hơn.
- Số tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế ở SGK toán nâng cao nhiều hơn, 46 tình huống so với 28 tình huống ở SGK toán cơ bản, nên học sinh theo chương trình nâng cao có cơ hội tiếp xúc với các loại tình huống này nhiều hơn.
- Các tình huống đặt trong ngữ cảnh thực tế ở SGK toán nâng cao liên quan đến 12 nội dung toán khác nhau của chương trình lớp 10 (xem bảng 2.5), trong khi đó ở SGK toán cơ bản, chỉ có 6 nội dung toán được sử dụng.
Bảng 2.1 Thống kê số tình huống toán học trong SGK Toán 10 cơ bản và nâng cao
SGK Toán 10
cơ bản SGK Toán 10 nâng cao
Tình huống toán học 264 567
Tình huống đặt trong
ngữ cảnh thực tế 28 46
Tiếp theo, chúng tôi tìm hiểu chương trình, SGK môn Toán lớp 10 nâng cao để trả lời các câu hỏi sau: Mô hình hóa có được đề cập đến trong chương trình không, nếu có thì được đề cập như thế nào? Xuất hiện ở những kiến thức nào? Mức độ yêu cầu ra sao?
2.1.2.1 Các loại tình huống toán học xuất hiện trong SGK Toán 10 nâng cao Tìm hiểu các loại tình huống toán học xuất hiện trong SGK, chúng tôi nhận thấy có ba loại sau:
(1) Tình huống toán học hóa.
73 (2) Tình huống mô hình toán.
(3) Tình huống toán học không đặt trong ngữ cảnh thực tế.
Dưới đây là thống kê chi tiết số lượng mỗi loại trong mỗi bài, mỗi chương. Các số liệu từ sách bài tập được giới thiệu với mục đích tham khảo. Chúng tôi không xét chương “Mệnh đề - Tập hợp” bởi vì “mục tiêu của chương này là cung cấp cho học sinh những khái niệm cơ bản mở đầu về logic toán học, tập hợp và tính gần đúng, làm cơ sở cho toàn bộ chương trình toán phổ thông” (SGV, 2011, [6]).
Bảng 2.2 Thống kê các tình huống toán học ở SGK và SBT Đại số 10 Nâng cao
Chương Bài Sách giáo khoa Sách bài tập
(1) (2) (3) Tổng (1) (2) (3) Tổng Hàm số bậc
nhất và bậc hai 1 1 15 16 13 13
2 1 9 10 1 9 10
3 2 10 12 13 13
Ôn tập 1 7 8 5 5
Phương trình Hệ phương trình
1+2+3 29 29 33 33
4 1 2 12 15 3 13 16
5 5 5 4 4
Ôn tập 15 15 12 12
Bất đẳng thức Bất phương trình
1 1 19 20 1 24 25
2+3+4 21 21 21 21
5 2 5 7 1 5 6
6+7+8 27 27 30 30
Ôn tập 14 14 23 23
Thống kê 1+2+3 15 15 21 21
Ôn tập 6 6 2 1 3
Góc lượng giác
Công thức LG 1+2 3 20 23 3 1 27 31
3 14 14 10 10
4 1 16 17 17 17
Ôn tập 15 15 10 10
Ôn tập cuối năm 3 22 25 1 41 42
Tổng 2 37 275 314 3 31 270 304
74
Bảng 2.3 Thống kê các tình huống toán học ở SGK, SBT Hình học 10 Nâng cao
Chương Bài Sách giáo khoa Sách bài tập
(1) (2) (3) Tổng (1) (2) (3) Tổng
Vectơ 1 5 5 5
2 1 7 8 1 4 5
3+4+5 23 23 42 42
Ôn tập 29 29 20 20
Tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng
1+2 14 14 50 50
3 1 4 19 24 1 2 28 31
Ôn tập 28 28 20 20
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
1+2+3+4 29 29 58 58
5 1 5 6 1 12 13
6+7+8 13 13 28
Ôn tập 38 38 1 1 35 37
Ôn tập cuối năm 38 38 11 11
Tổng 1 6 246 253 3 4 313 320
Bảng 2.4 Tỉ lệ các tình huống toán học trong SGK và SBT Toán 10 Nâng cao
Tình huống Tỉ lệ
SGK SBT
Tình huống toán học hóa 0,53% 0,96%
Tình huống mô hình toán 7,58% 5,6%
Tình huống toán học không đặt trong ngữ
cảnh thực tế 91,89% 93,43%
Nhìn vào các bảng thống kê, chúng ta dễ dàng nhận thấy cả SGK và SBT đều chú trọng các tình huống toán học không đặt trong ngữ cảnh thực tế (trên 90%). Những tình huống này yêu cầu học sinh sử dụng các công thức, quy tắc, quy trình, thuật toán đã học trong những ngữ cảnh toán học thuần túy, ví dụ như tìm tập xác định, khảo sát sự biến thiên, giải phương trình, giải và biện luận phương trình, giải hệ phương trình.
Các tình huống còn lại của SGK được đặt trong ngữ cảnh thực tế nhưng chủ yếu là
“tình huống mô hình toán”, ngữ cảnh chỉ là “vỏ bọc” bên ngoài chứa đựng nội dung
75
toán, và yêu cầu toán học đặt ra rất rõ ràng nhằm mục đích áp dụng kiến thức toán vừa được học.
Ví dụ (bài 25, trang 54, Đại số 10 Nâng cao).
Một hãng taxi quy định giá thuê xe đi mỗi kilomet là 6 nghìn đồng đối với 10 km đầu tiên và 2,5 nghìn đồng đối với các kilomet tiếp theo. Một hành khách thuê taxi đi quãng đường x kilomet phải trả số tiền là y nghìn đồng. Khi đó, y là một hàm số của đối số x, xác định với mọi x≥0.
a) Hãy biểu diễn y như một hàm số bậc nhất trên từng khoảng ứng với đoạn [0; 10] và khoảng (10; +∞).
b) Tính f(8), f(10) và f(18).
c) Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) và lập bảng biến thiên của nó.
Toàn bộ chương trình chỉ có ba tình huống cần đến quá trình toán học hóa để giải quyết, chiếm tỉ lệ rất nhỏ 0,53% và cả ba đều là tình huống vật lý.
Ví dụ (bài 36, trang 66, Hình học 10 Nâng cao).
Biết hai lực cùng tác dụng vào một vật và tạo với nhau góc 400. Cường độ của hai lực đó là 3N và 4N. Tính cường độ của lực tổng hợp.
Tình huống trên không thuộc “thế giới toán học”, muốn giải quyết trước hết học sinh cần hiểu các thuật ngữ vật lý như “lực”, “cường độ”, “lực tổng hợp”, sau đó lựa chọn công cụ toán học – vectơ và sử dụng biểu diễn hình học để mô tả tình huống theo ngôn ngữ toán học. Nhưng thực chất tình huống là áp dụng toán chứ không phải là tình huống toán học hóa vì nó được đặt ngay trong phần bài tập áp dụng, học sinh không cần phải suy nghĩ, do dự, lựa chọn kiến thức toán nào cần sử dụng để giải quyết mà đó chính là chủ đề vừa học.
Như vậy, các bài tập thực tế trong chương trình đều là những minh họa cho các áp dụng toán, từ một chủ đề toán cụ thể học sinh được chỉ ra các lĩnh vực thực hành khác nhau mà chủ đề toán đó là hữu ích để sử dụng. Tuy nhiên, ngoại trừ chương thống kê, số bài tập thực tế theo các chủ đề còn rất ít, mỗi chủ đề chỉ từ 1 – 5 bài (xem bảng 2.5).
76
Bảng 2.5 Thống kê tình huống mô hình toán theo chủ đề
Chủ đề Tình huống
MH toán
Đại cương về hàm số 1
Hàm số bậc nhất 1
Hàm số bậc hai 3
Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn 3
Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức 1 Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 2
Thống kê 24
Góc và cung lượng giác. 3
Một số công thức lượng giác 1
Tổng của hai vectơ 1
Hệ thức lượng trong tam giác 5
Đường Elip 1
Tổng 46
2.1.2.2 Mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn thể hiện trong sách giáo khoa Trong chương trình, SGK hoàn toàn không đề cập đến từ “mô hình hóa” hay “toán học hóa”, nhưng với mục tiêu “chú trọng ứng dụng thực tế”, “tăng cường những nội dung thực tiễn, thiết thực, gần gũi với cuộc sống của học sinh” (Trần Văn Hạo, 2006, [4]), SGK đã có những nổ lực để tạo mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn thể hiện qua các dẫn chứng dưới đây:
- Nhiều ví dụ, bài tập mang tính chất thực tiễn cuộc sống và khoa học được chọn lọc và đưa vào SGK chẳng hạn như những tình huống liên quan đến xuất khẩu gạo, thuê xe taxi, khẩu phần thức ăn, phối hợp vitamin, điểm thi, sĩ số học sinh, chiều cao, cân nặng, mua máy bơm nước, quỹ đạo tàu vũ trụ, cường độ dòng điện, cường độ lực tổng hợp.
- Sử dụng các tình huống thực tế để dẫn dắt học sinh đi đến những khái niệm, kiến thức mới. Ví dụ, tình huống sau đây được sử dụng để giới thiệu khái niệm tần số (trang 161, Đại số 10 Nâng cao):
77
Khi điều tra về năng suất của một giống lúa mới, điều tra viên ghi lại năng suất (tạ/ha) của giống lúa đó trên 120 thửa ruộng có cùng diện tích 1 ha. Xem xét mẫu số liệu này, điều tra viên nhận thấy:
10 thửa ruộng có cùng năng suất 30; 20 thửa ruộng có cùng năng suất 32;
30 thửa ruộng có cùng năng suất 34; 15 thửa ruộng có cùng năng suất 36;
10 thửa ruộng có cùng năng suất 38; 10 thửa ruộng có cùng năng suất 40;
5 thửa ruộng có cùng năng suất 42; 20 thửa ruộng có cùng năng suất 44.
Trong mẫu số liệu trên chỉ có tám giá trị khác nhau là: 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44.
Mỗi giá trị này xuất hiện một số lần trong mẫu số liệu.
Số lần xuất hiện của mỗi giá trị trong mẫu số liệu được gọi là tần số của giá trị đó.
- Thông qua các ví dụ thực tiễn để củng cố khái niệm, công thức, quy tắc. Ví dụ, sau khi trình bày công thức tính độ dài cung tròn bán kính R có số đo a0
(0≤ ≤a 360), với mục đích củng cố công thức vừa học, SGK đã đưa ra một hoạt động cho học sinh, yêu cầu đổi đơn vị hải lý sang đơn vị kilomet (trang 184, Đại số 10 Nâng cao).
Một hải lí là độ dài cung tròn xích đạo có số đo 1 0
60 1'
=
. Biết độ dài xích đạo là 40000 km, hỏi một hải lí dài bao nhiêu kilomet?
- Chỉ ra khả năng vận dụng của kiến thức toán vào thực tiễn đời sống, điều này thể hiện ở câu c) trong tình huống sau (trang 135, Đại số 10 Nâng cao):
Một nhà khoa học nghiên cứu về tác động phối hợp của vitamin A và vitamin B đối với cơ thể con người. Kết quả như sau: i) Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B. ii) Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1000 đơn vị vitamin cả A lẫn B. iii) Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không ít hơn 1/2 số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A.
Giả sử x, y lần lượt là số đơn vị vitamin A và B mà bạn dùng mỗi ngày.
78
a) Gọi c (đồng) là số tiền vitamin mà bạn phải trả mỗi ngày. Hãy viết phương trình biểu diễn c dưới dạng một biểu thức của x và y, nếu giá một đơn vị vitamin A là 9 đồng và giá một đơn vị vitamin B là 7,5 đồng.
b) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện i), ii), và iii) thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm (S) của hệ bất phương trình đó.
c) Tìm phương án dùng hai loại vitamin A và B thỏa mãn các điều kiện trên để số tiền phải trả là ít nhất, biết rằng c đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của miền nghiệm (S).
- Cung cấp một số tư liệu giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa toán học và thực tiễn. Ví dụ thông qua bài đọc thêm về ba đường conic, SGK đã chỉ ra ứng dụng tính chất quang học của parabol vào việc chế tạo đèn pha, máy viễn vọng, vô tuyến (trang 125, Hình học 10 Nâng cao).
- Kênh hình trong sách giáo khoa cũng là một cầu nối giữa toán học và thực tiễn đời sống. Ví dụ sau bài hàm số bậc hai, SGK giới thiệu một số hình ảnh của đường Parabol trong thực tế (trang 62, Đại số 10 Nâng cao).
Những minh họa như trên là quan trọng, hữu ích và cần thiết để nhấn mạnh các khái niệm, kĩ năng toán được dạy, đem lại niềm vui, hứng thú, ý nghĩa học tập cho học sinh, thúc đẩy việc học toán, nhưng không đủ để học sinh có thể mô hình hóa các tình huống thực tế, chọn và sử dụng những kiến thức, kĩ năng toán phù hợp từ những nội dung toán đã được học chứ không chỉ liên quan đến chủ đề các em đang được dạy, để giải quyết vấn đề khi chúng xuất hiện.
Từ phân tích chương trình và sách giáo khoa, chúng tôi nhận thấy nếu đưa quá trình MHH vào dạy học, bắt đầu với một tình huống thực tế sẽ khó khăn đối với học sinh, vì hiện tại các em chưa được làm quen với việc giải quyết những tình huống như vậy.
79