3.2 PHÂ N TÍCH KẾT QUẢ CÁC TÌNH HUỐNG THỰC NGHIỆM
3.2.2 Tình huống thực nghiệm 2
CHUỒNG BÒ. Anh Dân dự định dựng một cái chuồng hình chữ nhật để nuôi bò và sẽ tận dụng một mặt tường nhà để làm chuồng.
Bức tường nhà anh dài 15 m. Hiện tại anh có các thanh sắt đủ để làm hàng rào dài 24 m cao 0,8 m. Em hãy tư vấn cho anh Dân cách thiết kế chuồng bò sử dụng vừa đủ lượng sắt hiện có để rào phần còn lại của chuồng nhưng tạo ra diện tích sử dụng lớn nhất. Giải thích cách làm của em.
1. Phát biểu bài toán tương ứng với tình huống:
………
2. Giải bài toán:
………
3. Trả lời câu hỏi của tình huống:
………
4. Xem xét tính hợp lý của kết quả và các khả năng khác của tình huống (nếu có):
………
Ngữ cảnh: Dựng ba mặt của chuồng bò hình chữ nhật sao cho diện tích lớn nhất với chiều dài hàng rào sẵn có.
- Nội dung toán: Hàm số bậc hai, bất đẳng thức Cauchy.
- Mục tiêu của tình huống: Sử dụng kiến thức hàm số bậc hai hoặc bất đẳng thức Cauchy để tìm giá trị lớn nhất trong một tình huống thực tế.
- Độ phức tạp: mức độ 2
- Giải thích đối với tình huống:
127
• Cụm từ “tận dụng một mặt tường nhà để làm chuồng” nghĩa là để tiết kiệm vật liệu, một mặt chuồng sẽ sử dụng bức tường có sẵn, tuy nhiên dùng bao nhiêu mét tường thì tùy thuộc vào kích thước chuồng mà anh Dân cần dựng.
• Trong một tình huống thực tế, đôi khi có những thông tin chỉ nhằm mục đích mô tả, làm cho tình huống cụ thể hơn, nhưng không cần thiết khi giải quyết tình huống. Vì vậy, học sinh cần lựa chọn những thông tin phù hợp với mục đích của mình.
3.2.2.1 Quá trình toán học hóa có thể xảy ra khi giải quyết tình huống a. Lựa chọn thông tin toán học cần thiết
Dựng ba mặt của chuồng bò hình chữ nhật sao cho:
- Tổng chiều dài ba mặt là 24 m;
- Diện tích chuồng lớn nhất.
b. Xây dựng mô hình toán học: Gọi x (mét), y (mét) lần lượt là kích thước của chuồng bò. Khi đóx>0,y>0và 2x+ =y 24. Tìm x, y để S =xy lớn nhất.
c. Dự kiến các phương pháp giải Cách 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy đối với hai số không âm 2x và y:
2x+ ≥y 2 2xy hay
2 2
(2 ) 24
8 8 72
x y
xy +
≤ = = .
- Từ mô hình toán được xây dựng2x+ =y 24, suy ra x < 12. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy đối với hai số không âm x và (12 – x):
128
(12 ) 2
(24 2 ) 2 (12 ) 2 72
2
x x
S=xy=x − x = x −x ≤ + − =
Vậy Smax =xy=72 m2 khi x=6 m,y=12 m.
Cách 2: Sử dụng tính chất “Nếu hai số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau” (Hệ quả, trang 107, Đại số 10 Nâng cao).
Do tổng của hai số dương 2x và y luôn bằng 24 nên 2xy=2S lớn nhất khi và chỉ khi 2x = y = 12 hay x = 6 (m), y = 12 (m) và Smax = 72 (m2).
Cách 3: Sử dụng đồ thị hàm số bậc hai.
Diện tích chuồng là: S=xy=x(24 2 )− x .
Xét hàm số f x( )=x(24 2 )− x hay f x( )= −2x2+24x. Hàm số đạt giá trị cực đại tại điểm x = 6, f(6) = 72.
80 70 60 50 40 30 20 10
10
2 4 6 8 10 12
f(x) = xã(24 2ãx)
Vậy Smax =xy=72 m2 khi x=6 m,y=12 m.
Cách 4: Phân tích thành hiệu của hai số không âm.
2 2
(24 2 ) 2 24 72 2( 6) 72
S=xy=x − x = − x + x= − x− ≤ . Vậy Smax =xy=72 m2 khi x=6 m,y=12 m.
129 d. Thể hiện kết quả
Cần dựng chuồng bò có hai cạnh là 6 m và 12 m, điều này phù hợp với giả thiết
“một mặt chuồng tận dụng bức tường nhà anh Dân dài 15 m”. Khi đó, diện tích sử dụng lớn nhất S = 72 m2.
e. Phản ánh
Tình huống có khả năng xảy ra là một cạnh của hình chữ nhật lớn hơn 15 m. Ta cần tính diện tích lớn nhất trong trường hợp này và so sánh với diện tích tìm được ở trên.
Trong trường hợp này: 2x+2y+15=24 hay 9
x+ =y 2với x≥0,y>0 Khi đó, (15 ) (15 ) 9
S = +x y= +x 2−x
Vẽ đồ thị hàm số ( ) (15 ) 9
f x = +x 2−xlên hệ trục tọa độ Oxy, ta thấy diện tích lớn nhất S = 67,5 m2 khi x = 0, y = 4,5.
So sánh với trường hợp trên thì S = 72 m2lớn hơn.
90 80 70 60 50
40 30 20 10
15 10 5 5
f(x) = (15 + x)ã 9
2 x
( ) 67.5
3.2.2.2 Phân tích bài làm của học sinh a. Xây dựng mô hình toán học
Học sinh phát biểu mô hình toán học của tình huống theo hai cách:
- (M2.1) Phát biểu bằng lời: Cho đoạn thẳng AB cố định dài 15 m. Dựng hình chữ nhật có một cạnh thuộc AB sao cho diện tích lớn nhất và tổng độ dài ba cạnh còn lại bằng 24 m.
130 - (M2.2) Sử dụng lời và hình vẽ
Tuy nhiên, một số nhóm xây dựng mô hình chưa đầy đủ:
- (M2.3) Gọi a là chiều dài, b là chiều rộng hình chữ nhật. Tìm a, b sao cho diện tích của hình chữ nhật lớn nhất và 2a + b = 24 m, nhưng tình huống không yêu cầu chiều dài hay chiều rộng của chuồng sẽ tận dụng bức tường.
- (M2.4) Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật biết một cạnh bé hơn hoặc bằng 15 m và tổng ba cạnh còn lại bằng 24 m.
- (M2.5) Chỉ vẽ hình.
b. Giải toán
Để giải bài toán, các nhóm đã sử dụng bất đẳng thức Cauchy (hay bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân) cho hai số không âm theo những cách khác nhau:
- (P2.1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm a và 2b:
24= +a 2b≥2 2ab ⇔12≥ 2ab⇔ab≤72
- (P2.2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm a và b:
131
2
2 S =ab≤ a b+
nên Smax ⇔ =a b, kết hợp với a+2b=24 suy ra Smax =64khi a= =b 8 m.
Cách giải này đã phạm sai lầm ở chỗ kết luận trên chỉ đúng khi a + b là hằng số, không đổi.
- (P2.3) Một sai lầm khác tương tự, học sinh sử dụng tính chất “Diện tích hình chữ nhật lớn nhất khi và chỉ khi hình chữ nhật đó là hình vuông” mà quên mất điều kiện hình chữ nhật đó phải có chu vi không đổi.
- (P2.4) Có một nhóm đưa được biểu thức diện tích về dạng S= −2a2+24a và nhận xét Smax ⇔ −( 2a2+24 ) maxa . Sau đó, nhóm đã cố gắng sử dụng bất đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất nhưng không thành công mặc dù đã biến đổi
2a2 24a 2 (12a a)
− + = − . Thực ra, nhóm này có thể sử dụng đồ thị hàm số hoặc bất đẳng thức Cauchy đều có thể giải được bài toán.
• Bất đẳng thức Cauchy:
(12 ) 2
2 (12 ) 2 72
2
a a
S = a −a ≤ + − =
• Đồ thị hàm số bậc hai (Cách 3).
- (P2.5) Sử dụng sai bất đẳng thức Cauchy.
132
c. Chuyển đổi kết quả toán sang kết quả thực tế: nhiều nhóm giải ra kết quả toán đúng nhưng không thực hiện bước chuyển đổi này do thói quen hoặc thấy không cần thiết vì theo một số em thì kết quả đã rất rõ ràng.
d. Phản ánh: Tất cả các nhóm đều cho rằng cạnh của mặt chuồng tận dụng bức tường là bé hơn hoặc bằng 15 m mà không nghĩ đến trường hợp ngược lại. Sau phần trả lời câu hỏi của tình huống, không có nhóm nào xem xét khả năng khác cũng như đưa ra bất kì phản ánh nào đối với mô hình hay phương pháp giải, chỉ có duy nhất một nhóm giải thích kết quả phù hợp với tình huống vì chiều dài tìm được không vượt quá 15 m.
3.2.2.3 Bảng tóm tắt bài làm của các nhóm Nhóm Mô hình toán Phương pháp
giải Kết quả của tình
huống Phản ánh Út
Phát biểu bằng lời (M2.1)
2 2 2
a+ b≥ ab (P2.1)
Đúng
An
Chưa hoàn thành Tìm được diện tích lớn nhất nhưng chưa xác định độ dài các cạnh.
Nhi
Mô hình chưa đầy đủ (M2.3)
Dừng lại ở kết quả toán.
Nguyệt Đúng
Vì chiều dài của chuồng bò là 12m nên có thể tận dụng bức tường.
133 Thiện
Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật (M2.4)
Dừng lại ở kết quả toán
Smax = 72 m2. Hòa Phát biểu bằng
lời (M2.1) a+2b≥ 2ab (P2.5) Sai
Linh
Sử dụng lời và hình vẽ (M2.2)
2 2 24 S = − a + a (P2.4) Chưa tìm ra phương pháp giải.
Phú Mô hình chưa đầy đủ (M2.3)
Diện tích hình chữ nhật lớn nhất⇔hình chữ nhật đó là hình vuông
(P2.3) Sai Duyệt Mô hình chưa
đầy đủ (M2.3) 2
2 S =ab≤ a b+
P(2.2) Sai Việt Chỉ sử dụng
hình vẽ (M2.5) Phượng
Mơ
Sử dụng lời và hình vẽ (M2.2) Kết luận đối với tình huống 2
* Xây dựng mô hình toán
- Đây là buổi thực nghiệm thứ hai, nhưng học sinh vẫn e ngại với việc phát biểu bài toán tương ứng với tình huống bởi vì một số em cho rằng mình vẫn có thể giải quyết được tình huống mà không cần bước này nếu đã hiểu các giả thiết và yêu cầu của tình huống. Tuy nhiên, các em cũng thừa nhận, việc xây dựng mô hình toán học làm cho vấn đề rõ ràng hơn, định hướng cho quá trình giải, đỡ mất thời gian lọc thông tin mỗi khi cần đọc lại tình huống.
- Mặc dù tình huống không nói rõ chiều dài hay chiều rộng của chuồng bò sẽ tận dụng bức tường nhà có sẵn và tận dụng một phần hay toàn bộ bức tường, nhưng
134
khi xây dựng mô hình toán, 8 nhóm cho rằng chiều dài hình chữ nhật thuộc bức tường thông qua phát biểu trực tiếp hoặc thể hiện trên hình vẽ, chỉ có 4 nhóm phát biểu tình huống dưới dạng tổng quát.
* Giải toán
- Các nhóm đều sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải bài toán nhưng chỉ có 5 nhóm áp dụng đúng bất đẳng thức, các nhóm khác đều gặp sai lầm trong công thức, xác định giá trị lớn nhất, vận dụng tính chất “Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất”.
- Không có nhóm nào nghĩ đến việc sử dụng đồ thị hàm số để giải, ngay cả nhóm Linh đã đưa diện tích về biểu thức chứa một biến: S= −2a2+24a.
- Có đến 4 nhóm sai lầm vì từ bất đẳng thức
2
2
S=ab≤ a b+ suy ra diện tích lớn nhất khi a = b và đáng ngạc nhiên là các học sinh này không biết vì sao mình sai. Trong sách giáo khoa Đại số 10 Nâng cao, chương Bất đẳng thức và bất phương trình, chúng tôi tìm thấy 5 bài tập yêu cầu xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số, nhưng không có lưu ý hay giải thích nào giúp học sinh hiểu được khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay một biểu thức chứa biến. Đó là một trong những lý do dẫn đến sai lầm trên.
* Chuyển kết quả toán sang kết quả thực tế: Trong bốn nhóm tìm được kết quả phù hợp cho bài toán, chỉ có hai nhóm trả lời câu hỏi của tình huống, đây cũng là hai nhóm đã chuyển kết quả toán tìm được sang kết quả thực tế ở tình huống 1. Hai nhóm còn lại xem kết quả “Smax =xy=72 m2 khi x=6 m,y=12 m” như là một câu trả lời nên dừng lại khi tìm được x, y và S.
* Phản ánh: Chỉ có một nhóm đưa ra ý kiến của mình, các nhóm khác đều để trống vì không đủ thời gian hoặc cho rằng kết quả đã hợp lý.
* Những lưu ý đối với học sinh cho các buổi thực nghiệm tiếp theo:
135
- Nhắc nhở học sinh đọc kĩ tình huống để đảm bảo hiểu tất cả những thông tin được cung cấp và chỉ lựa chọn những thông tin cần thiết để xây dựng mô hình toán học;
- Khi sử dụng công thức, cần kiểm tra lại cẩn thận để tránh những sai sót, nhầm lẫn làm ảnh hưởng đến kết quả.
- Sau khi giải có kết quả toán cần trả lời câu hỏi mà tình huống đặt ra.