Tình huống thực nghiệm 1

3.2 PHÂ N TÍCH KẾT QUẢ CÁC TÌNH HUỐNG THỰC NGHIỆM

3.2.1 Tình huống thực nghiệm 1

NHÀ HÀNG PIZZA. Một nhà hàng bán bánh Pizza thường mở cửa từ 12:00 đến 24:00 mỗi ngày. Nhân viên phục vụ của nhà hàng làm việc theo hai ca, mỗi ca 8 tiếng, ca ngày từ 12:00 đến 20:00 và ca đêm từ 16:00 đến 24:00. Tiền lương của nhân viên được tính theo giờ, từ 12:00 đến 16:00 là 11000 đồng / giờ, từ 16:00 đến 24:00 là 15000 đồng / giờ. Hiện tại, nhà hàng cần ít nhất 4 nhân viên trong khoảng 12:00 – 16:00, ít nhất 18 nhân viên trong thời gian cao điểm 16:00 – 20:00 và không quá 16 nhân viên trong khoảng 20:00 – 24:00.

Do lượng khách ban đêm thường đông hơn nên nhà

hàng cần số nhân viên ca đêm tối thiểu phải gấp đôi số nhân viên ca ngày. Em hãy giúp nhà hàng tính số nhân viên cần cho mỗi ca để số tiền lương phải trả mỗi ngày là thấp nhất.

1. Em hãy điền các thông tin còn thiếu vào bảng dưới đây:

Khoảng thời gian Ca Số nhân viên Tiền lương / 1 giờ

12:00 – 16:00 ≥4

16:00 – 20:00 15000 đồng

20:00 – 24:00 Ca đêm

Số nhân viên ca đêm ………. số nhân viên ca ngày 2. Trả lời các câu hỏi sau:

“Số tiền lương nhà hàng phải trả cho mỗi nhân viên làm ca ngày là bao nhiêu một ngày?”

………

“Số tiền lương nhà hàng phải trả cho mỗi nhân viên làm ca đêm là bao nhiêu một ngày?”

………

3. Em hãy giải quyết tình huống trên

a. Phát biểu bài toán tương ứng với tình huống:

………

b. Giải bài toán:

………

c. Trả lời câu hỏi của tình huống:

………

d. Xem xét tính hợp lý của kết quả và các khả năng khác của tình huống (nếu có):

………

116

- Ngữ cảnh: tính số nhân viên phục vụ cần thuê trong một nhà hàng để chi phí thấp nhất đồng thời thỏa mãn một số điều kiện của nhà hàng.

- Nội dung toán: các tính chất của bất đẳng thức, hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức chứa biến.

- Độ phức tạp: mức độ 2

- Mục tiêu của tình huống: Học sinh sử dụng kiến thức Bất đẳng thức và bất phương trình để tìm giải pháp tối ưu trong một tình huống thực tế.

3.2.1.1 Quá trình toán học hóa có thể xảy ra khi giải quyết tình huống a. Lựa chọn thông tin toán học cần thiết

Nhà hàng cần thuê nhân viên làm việc theo hai ca ngày và đêm với mức tiền lương tương ứng là 104 nghìn đồng / người / ngày và 120 nghìn đồng / người / ngày.

Yêu cầu của tình huống là tìm số nhân viên mỗi ca thỏa mãn các điều kiện sau:

• Số nhân viên ca ngày ≥ 4;

• Số nhân viên ca ngày và ca đêm ≥ 18;

• Số nhân viên ca đêm ≤16;

• Số nhân viên ca đêm ≥ 2 lần số nhân viên ca ngày;

• Số tiền lương phải trả ít nhất.

b. Xây dựng mô hình toán học

Gọi x, y lần lượt là số nhân viên nhà hàng cần thuê làm việc ca ngày và ca đêm.

Số tiền lương mà nhà hàng phải trả mỗi ngày là: 104x+120y (nghìn đồng).

Tình huống được phát biểu lại theo ngôn ngữ toán: Tìm các số x và y thỏa mãn hệ bất phương trình

4 16

18 2 x y x y

y x

 ≥

 ≤

 + ≥

 ≥



(*) sao cho T x y( ; )=104x+120ycó giá trị nhỏ nhất.

117 c. Dự kiến các phương pháp giải

Cách 1: Sử dụng đồ thị xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) trên mặt phẳng tọa độ.

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác ABCD, với tọa độ các đỉnh A(4; 14), B(6; 12), C(8; 16), D(4; 16).

So sánh các giá trị tương ứng của T(x; y) ta được T(6; 12) = 2064 là giá trị nhỏ nhất.

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2

5 10 15 20

T(6;12) T(4;14) T(4;16) T(8;16) 2064 2096 2336 2752

h(x) = 2ãx

f(x) = 18 x

D C

A B

O

Cách 2: Tìm các cặp giá trị (x; y) nguyên dương thỏa mãn hệ bất phương trình (*) sao cho T x y( ; )có giá trị nhỏ nhất.

Trước hết, ta tìm điều kiện của x. Do 2x≤ y, mày≤16 nên x≤8. Như vậy, x nguyên dương và nhận các giá trị trong đoạn [4; 8]. Với mỗi giá trị của x, giá trị

của y được lựa chọn sao cho

16 18

2 y

y x

y x

 ≤

 ≥ −

 ≥



. Có tất cả 17 cặp (x; y) phù hợp cả 4 điều

kiện của hệ bất phương trình (*):

4

x= x=5 x=6 x=7 x=8

14≤ ≤y 16 13≤ ≤y 16 12≤ ≤y 16 14≤ ≤y 16 y=16

Sau đó, lần lượt tính các giá trị tương ứng của T x y( ; )=104x+120yđể tìm giá trị nhỏ nhất. Hoặc ta có thể giảm bớt việc tính toán nếu nhận ra rằng:

( ; ) 104 120 104( ) 16

T x y = x+ y= x+y + y với x+ ∈y [18; 24 ,] y∈[12;16]

Suy ra T x y( ; ) 104 18 16 12≥ ⋅ + ⋅ =2064. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 12 18 y x y

 =

 + =

 Vậy giá trị nhỏ nhất là T(6;12) = 2064.

118 d. Thể hiện kết quả

Để chi phí thuê nhân viên phục vụ thấp nhất, nhà hàng cần thuê 6 nhân viên ca ngày và 12 nhân viên ca đêm. Khi đó, tiền lương trả cho nhân viên phục vụ mỗi ngày là 2064000 đồng.

e. Phản ánh

- Kiểm tra lại kết quả so với các thông tin được cho của tình huống.

- Hiểu phạm vi và hạn chế của lời giải: Trong hai cách giải trên, cách giải 1 là quen thuộc với học sinh hơn và được trình bày chi tiết trong sách giáo khoa.

Cách thứ 2 chỉ phù hợp khi các cặp giá trị thỏa mãn là không quá nhiều và người giải cần biết lựa chọn điểm xuất phát phù hợp, ví dụ ở bài toán này, lời giải đã bắt đầu bởi ràng buộc của biến x.

3.2.1.2 Phân tích bài làm của học sinh a. Xây dựng mô hình toán học

Những thông tin sau đây của tình huống đã được học sinh chuyển sang ngôn ngữ toán học một cách dễ dàng:

Gọi x, y lần lượt là số nhân viên ca ngày và ca đêm, khi đó:

• Số nhân viên trong khoảng thời gian 12:00 – 16:00 ít nhất là 4 nên x≥4;

• Không quá 16 nhân viên trong khoảng thời gian 20:00 – 24:00 nên y≤16;

• Số nhân viên ca đêm tối thiểu phải gấp đôi số nhân viên ca ngày nên y≥2x. Tuy nhiên, yêu cầu của tình huống “tính số nhân viên cần cho mỗi ca để số tiền lương phải trả mỗi ngày là thấp nhất” được các nhóm hiểu theo những cách khác nhau nên dẫn đến các mô hình khác nhau dưới đây. Để thuận tiện cho việc phân tích, chúng tôi dùng kí hiệu Mi.j, Pi.j và PAi.j lần lượt để chỉ mô hình thứ j, phương pháp giải thứ j và phản ánh thứ j trong tình huống thứ i.

119

- (M1.1) Tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sao cho T(x; y) có giá trị nhỏ nhất.

Nhận ra tình huống là một áp dụng của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào bài toán kinh tế, các nhóm này đã xây dựng mô hình toán học rất rõ ràng:

Tìm các số x và y thỏa mãn hệ bất phương trình 4

16 18 2 x y x y

y x

 ≥

 ≤

 + ≥

 ≥



(*) sao cho T x y( ; )=104000x+120000ycó giá trị nhỏ nhất.

Trong đó, x là số nhân viên ca ngày và y là số nhân viên ca đêm.

- (M1.2) Tìm x, y nhỏ nhất thỏa mãn hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Một số nhóm đã chuyển yêu cầu của tình huống thành “tìm số nhân viên ít nhất mỗi ca mà nhà hàng cần thuê nhưng thỏa tất cả các điều kiện” với lập luận rằng

“để tiền lương phải trả thấp nhất thì số nhân viên mỗi ca phải ít nhất”.

120

Mô hình này chỉ đúng nếu từ hệ bất phương trình

4 16

18 2 x y x y

y x

 ≥

 ≤

 + ≥

 ≥



, học sinh biến đổi

để đưa về được x≥a y, ≥b với x, y lần lượt là số nhân viên ca ngày, ca đêm, và (a; b) là một nghiệm của hệ.

- (M1.3) Tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Học sinh đã chuyển đổi đúng bốn điều kiện của tình huống sang ngôn ngữ toán học. Tuy nhiên, yêu cầu của tình huống không chỉ là tìm số nhân viên mỗi ca thỏa mãn các điều kiện mà còn số tiền lương nhà hàng phải trả là thấp nhất. Do đó, đây là mô hình không phù hợp cho tình huống này.

- (M1.4) Tìm x, y, z thỏa mãn hệ bất phương trình bậc nhất ba ẩn.

Trong mô hình trên, với cách đặt bài toán của mình, học sinh đã không phát hiện ra mối quan hệ giữa x, y, z lày= +x z. Như vậy, mặc dù sử dụng ba ẩn để biểu diễn các thông tin của tình huống, nhưng từ điều kiện của các ẩn, học sinh vẫn có thể đưa về hệ bất phương trình hai ẩn. Tương tự mô hình (M1.3), mô hình này không phản ánh đúng yêu cầu của tình huống.

121 b. Giải toán

- Đối với mô hình (M1.1) học sinh đã sử dụng hai phương pháp giải sau đây:

• (P1.1) Vẽ bốn đường thẳng x=4, 16, 2 , 18y= y= x y= −x lên trên cùng một hệ trục tọa độ, gạch bỏ các miền không phải là nghiệm của các bất phương trình để xác định miền nghiệm của hệ. Sau đó, xác định tọa độ (x, y) các đỉnh của miền đa giác, tính các T(x; y) tương ứng để tìm ra giá trị nhỏ nhất.

• (P1.2) Học sinh không vẽ đồ thị mà chỉ xác định tọa độ các giao điểm (x, y) của bốn đường thẳng và tìm giá trị nhỏ nhất trong các T(x; y).

Mặc dù nhóm này không có đồ thị trong bài làm, nhưng đã dựa vào đồ thị được vẽ bên ngoài giấy nháp để bỏ đi giao điểm của d1 và d4, d2 và d3. Như vậy cơ sở của phương pháp giải (P1.2) hoàn toàn giống với phương pháp (P1.1).

- Đối với mô hình (M1.2) học sinh đã tiếp cận theo hai cách sau đây để giải:

122

• (P1.3) Sử dụng các tính chất của bất đẳng thức

2 2 2 12

18 2 18 3 18 6

y x y x y x y

x y x x x x

≥ ≥ ≥ ≥

   

⇔ ⇔ ⇔

 + ≥  + ≥  ≥  ≥

   

Ở đây, học sinh đã phạm sai lầm ngay bước biến đổi tương đương thứ nhất.

Cách giải này có thể được sửa lại như sau:

1 1

2 2

18 1 2

18 12 2

x y

y x x y

x y

y y y

 ≤ 

≥  ≤

 ⇒ ⇒

 + ≥  

  ≤ +  ≥

Kết hợp với điều kiện của x, y ta được 4 1

2

12 16

,

x y

y x y +

 ≤ ≤

 ≤ ≤

 ∈

 

Như vậy từ hệ

4 16

18 2 x y x y

y x

 ≥

 ≤

 + ≥

 ≥



(*) ta suy ra 4 12 x y

 ≥

 ≥ , nhưng cặp giá trị (4;12) lại

không phải là nghiệm của hệ (*). Do đó, cách biến đổi trên không giải quyết được tình huống.

• (P1.4) Từ hệ bất phương trình 2 18

y x

x y

 ≥

 + ≥

 học sinh cho rằng, số nhân viên mỗi ca ít nhất khi và chỉ khi “dấu bằng” xảy ra ở cả hai bất đẳng thức trên, nghĩa là 2

18

y x

x y

 =

 + =



123

Suy luận như vậy là không có cơ sở toán học, hơn nữa giá trị x, y nhỏ nhất thỏa hệ ( ; ) 0

( ; ) 0 f x y g x y

 ≥

 ≥

 không đảm bảo trùng với giá trị x, y nhỏ nhất thỏa hệ

( ; ) 0 ( ; ) 0

x m y n f x y g x y

 ≥

 ≤

 ≥

 ≥



c. Chuyển đổi kết quả toán sang kết quả thực tế: khi tìm ra kết quả toán, các nhóm đều trả lời được câu hỏi của tình huống ban đầu.

d. Phản ánh: Hai nhóm có kết quả đúng đều nhận xét kết quả là hợp lý sau khi kiểm tra lại các giả thiết và bước giải. Theo các em, tình huống có một cách giải duy nhất bởi vì dạng toán này chỉ có thể giải bằng cách xác định miền nghiệm, “mà nếu như có cách giải khác thì em không biết”.

3.2.1.3 Bảng tóm tắt bài làm của các nhóm

Nhóm Mô hình toán Phương pháp giải Kết quả Phản Nguyệt Tìm x, y thỏa mãn hệ ánh

bất phương trình sao cho T(x; y) có giá trị nhỏ nhất

(M1.1)

(P1.1) Xác định miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ, tìm tọa độ (x; y) của các đỉnh, so sánh các giá trị T(x; y).

Đúng Kết quả hợp lý An

Nhi

Chưa hoàn thành

Út (P1.2) Không vẽ đồ thị,

chỉ tìm tọa độ giao điểm (x; y) của các đường thẳng và so sánh các giá trị của T(x; y).

Đúng Kết quả hợp lý

Hòa Mơ Linh

Tìm x, y nhỏ nhất thỏa mãn hệ bất phương trình hai ẩn

(M1.2)

(P1.3) Sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

Thiện Sai

Phượng (P1.4) Đưa về hệ

phương trình bậc nhất hai ẩn và dùng phương pháp thế để giải. Sai Duyệt

Phú

Tìm x, y, z thỏa hệ bất phương trình ba ẩn (M1.4) Sai

Việt Tìm x, y thỏa hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (M1.3) Sai

124 Kết luận đối với tình huống 1

- Đây là buổi thực nghiệm đầu tiên và chúng tôi chọn tình huống này vì trong sách giáo khoa có dạng bài tập tương tự như đã chỉ ra ở trang 82. Tuy nhiên, học sinh vẫn thể hiện nhiều sự lúng túng, khó khăn khi đọc hiểu, giải quyết và đưa ra các phản ánh đối với tình huống.

* Xây dựng mô hình toán

- Hai câu hỏi gợi ý đã giúp nhiều học sinh hiểu và rút ra những thông tin quan trọng từ tình huống, nhưng vẫn có một số em (nhóm Duyệt, Phú) không nhận ra rằng trong khoảng thời gian 16:00 – 20:00 tại nhà hàng có cả nhân viên ca ngày và ca đêm cùng làm việc nên đã xây dựng mô hình toán không phù hợp.

- Bốn nhóm (Nguyệt, An, Nhi, Út) đã xây dựng được mô hình toán thích hợp đối với tình huống. Theo một số học sinh thuộc các nhóm này, nhiệm vụ 1 và 2 góp phần giúp các em nhận ra dạng toán liên quan đến tình huống, đó là tìm cực trị của biểu thức P(x; y) trên một miền đa giác lồi .

- Mặc dù mô hình toán của các nhóm Hòa, Mơ, Linh, Thiện, Phượng xây dựng là không sai, nhưng trong trường hợp này sẽ không giải được vì từ hệ bất phương trình ta suy ra 4

12 x y

 ≥

 ≥ nhưng cặp giá trị (4; 12) không phải là nghiệm của hệ bất phương trình.

- Các nhóm còn lại do hiểu sai yêu cầu của tình huống là “tính số nhân viên mỗi ca và số tiền lương nhà hàng phải trả mỗi ngày” thỏa mãn các điều kiện nên đã đưa về bài toán tìm nghiệm nguyên dương của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn hoặc ba ẩn.

* Giải toán

- Các nhóm xây dựng mô hình (M1.1) đều có cách giải đúng là sử dụng đồ thị để xác định miền nghiệm của hệ từ đó tìm ra cặp (x; y) mà T(x; y) đạt giá trị nhỏ

125

nhất. Tuy nhiên chỉ có hai nhóm ra kết quả đúng, hai nhóm còn lại chưa hoàn thành bài giải của mình vì không kịp thời gian.

- Các nhóm có mô hình (M1.2), mặc dù ra đáp số đúng nhưng chỉ là sự ngẫu nhiên vì sai lầm trong các biến đổi tương đương dẫn đến cách giải không đúng.

- Khi tìm hiểu lý do tại sao học sinh đã không nghĩ đến phương pháp tìm cực trị của biểu thức P(x; y) trên một miền đa giác lồi đối với tình huống, các câu trả lời chúng tôi nhận được là vì kiến thức này đã học ở học kỳ I nên không để ý đến, và các bài tập dạng này trong sách giáo khoa rất ít.

* Chuyển kết quả toán sang kết quả thực tế: đây là bước khá dễ dàng đối với học sinh, sau khi tìm được x, y các em đã trả lời câu hỏi của tình huống về số nhân viên ca ngày, ca đêm tương ứng với các biến đã đặt và tính số tiền lương mà nhà hàng cần trả mỗi ngày.

* Phản ánh: Sau khi tìm ra kết quả, một số nhóm đã tiến hành kiểm tra lại giả thiết, bước giải và đi đến kết luận là “kết quả hợp lý”. Tuy nhiên, “bước kiểm tra lại phương pháp giải”, theo quan sát của chúng tôi, được tiến hành còn rất sơ sài, thực chất chỉ là đọc lại bài giải.

* Những lưu ý đối với học sinh cho các buổi thực nghiệm tiếp theo:

- Khi giải quyết các tình huống của nghiên cứu, học sinh có thể sử dụng bất kì kiến thức toán nào đã được học, và để tìm ra phương pháp giải hiệu quả học sinh cần phát biểu bài toán tương ứng với tình huống một cách phù hợp, muốn như vậy các em cần đọc kĩ đề để hiểu rõ các thông tin cũng như yêu cầu của tình huống.

- Khi giải quyết tình huống, các nhóm không nên không gộp chung cả bốn bước mà tách các bước theo như yêu cầu.

- Các nhóm cần cố gắng hợp tác giữa các thành viên tốt hơn để có thể hoàn thành nhiệm vụ trong thời gian 30 phút, cần phát huy vai trò của tất cả cá nhân trong nhóm, tránh giao công việc cho một hoặc hai thành viên của nhóm suy nghĩ.

- Giải thích cho học sinh các công việc cần thực hiện ở bước thứ tư:

126

• Kiểm tra kết quả có hợp lý, thỏa mãn các thông tin được cho hay không?

• Nhận ra phạm vi, hạn chế của bài toán được tạo ra từ tình huống cũng như phương pháp giải.

• Xem xét ảnh hưởng của các yếu tố thực tế lên kết quả và các khả năng khác của tình huống.