Trong mục này, một vài ví dụ số được trình bày cho cả tấm phẳng và tấm không hoàn hảo đối xứng qua mặt giữa và tựa bản lề trên bốn cạnh. Các thành phần vật liệu là silicon nitride Si N3 4 (ceramic) và thép không rỉ SUS304(stainless steel - inôc). Các tính chất vật liệu Pr như là mô đun đàn hồi E, hệ số dãn nở nhiệt có thể được biểu diễn như hàm phi tuyến của nhiệt độ [120]
3 3
2 2 1 1
1
0 P T 1 PT PT PT
P
Pr (2.79) trong đó T T0 T (Kelvin) với T0 300K (nhiệt độ phòng), T là biến thiên nhiệt độ và P P0, 1, P P1, 2 và P3 là các hệ số và là duy nhất đối với mỗi vật liệu cụ thể. Những giá trị cụ thể của các hệ số này cho các vật liệu đang xét được liệt kê trong bảng 2.1. Để cho ngắn gọn cách diễn đạt, trong phần còn lại của mục này các tính chất vật liệu phụ thuộc nhiệt độ sẽ được viết là T-D (temperature dependent), trong khi các tính chất độc lập với nhiệt độ sẽ được viết là T-ID (temperature independent). Thêm vào đó, hệ số Poisson được giả thiết không đổi và được chọn bằng 0.3, và các tính chất vật liệu độc lập với nhiệt độ là các tính chất được xác định bởi công thức (2.79) ở nhiệt độ phòng T0 300K.
Bảng 2.1. Các hệ số phụ thuộc nhiệt độ của silicon nitride và thép không rỉ [83].
Tính chất Vật liệu P1 P0 P1 P2 P3 ( )
E Pa Si N3 4 0 348.43 10 9 3.070 10 4 2.160 10 7 8.946 10 11 SUS304 0 201.04 10 9 3.079 10 4 6.534 10 7 0
(1/K)
Si N3 4 0 5.8723 10 6 9.095 10 4 0 0 SUS304 0 12.330 10 6 8.086 10 4 0 0
Để đánh giá độ tin cậy của phương pháp được đề xuất trong phần này, luận án thực hiện nghiên cứu so sánh sau đây. Xét một tấm FGM đối xứng với mặt giữa với tất cả các cạnh tựa cố định và chịu tải nhiệt tăng đều với các tính chất vật
liệu thành phần T-D. Hình 2.14. So sánh ứng xử sau vồng của các tấm FGM đối xứng chịu tải nhiệt.
Hỡnh 2.14 chỉ ra cỏc kết quả tớnh toỏn cho cỏc đường cong độ vừng – tải nhiệt của phương pháp của luận án và phương pháp khai triển tiệm cận theo tham số bé của Shen [103] đối với cả tấm hoàn hảo và khụng hoàn hảo. Rừ ràng là cỏc kết quả phù hợp rất tốt và điều đó cho thấy sự tin cậy của phương pháp được đề xuất của luận án. Đồng thời so với phương pháp của Shen thì phương pháp của luận án là đơn giản hơn về mặt toán học.
Bảng 2.2 chỉ ra ảnh hưởng của chỉ số tỷ lệ thể tích N và tỷ lệ cạnh tấm /a b lên tải tới hạn Tcr của tấm FGM hoàn hảo đối xứng qua mặt giữa với các cạnh không thể dịch chuyển khi chịu nhiệt độ tăng đều. Trong khi đó bảng 2.3 chỉ ra ảnh hưởng của tỷ số chiều dày /b h lên tải nhiệt tới hạn của tấm. Trong hai bảng này các kết quả tính toán khi sử dụng lý thuyết tấm biến dạng trượt bậc nhất được so sánh với các kết quả khi sử dụng lý thuyết tấm cổ điển, những số liệu được đặt trong ngoặc, đồng thời các kết quả khi kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ lên các tính chất vật liệu (T-D) được so sánh với các kết quả khi bỏ qua ảnh hưởng này (T-ID).
Bảng 2.2. ảnh hưởng của chỉ số N và tỷ số a b/ lên tải nhiệt tới hạn Tcr(K) của tấm FGM đối xứng qua mặt giữa ( /b h20), tất cả các cạnh tựa cố định.
/
a b N0 N 1.0 N 2.0 N5.0 T-D
0.5 349.7 (358.5) a 552.3 (572.8) 596.8 (617.8) 616.4 (634.2) 1.0 156.2 (157.9) 236.5 (239.5) 259.9 (263.1) 278.5 (281.6)
2.0 100.8 (101.5) 152.7 (153.9) 168.5 (169.8) 181.9 (183.2) T-ID
0.5 419.5 (431.8) 639.8 (660.8) 713.5 (736.5) 782.4 (806.7) 1.0 170.7 (172.7) 260.9 (264.3) 290.8 (294.6) 318.7 (322.6) 2.0 107.2 (107.9) 163.8 (165.2) 182.6 (184.1) 200.1 (201.6)
aCác số trong ngoặc là kết quả tính toán theo lý thuyết tấm cổ điển - CPT.
Các bảng này chỉ ra rằng tải nhiệt tới hạn của tấm giảm đi đáng kể khi kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ lên các tính chất vật liệu. Đồng thời các tải nhiệt tới hạn tăng lên khi các chỉ số N tăng, tượng trưng cho các tấm FGM giàu ceramic, và giảm khi các tỷ số /a b và /b h tăng. Thêm vào đó ảnh hưởng của biến dạng trượt ngang làm cho tải tới hạn trở nên nhỏ hơn đặc biệt là các tấm tương đối dày và các tấm với /a b nhỏ.
Bảng 2.3. ảnh hưởng của tỷ số /b h lên tải nhiệt tới hạn Tcr(K) của tấm FGM đối xứng qua mặt giữa ( /a b1.0, N 0.5), tất cả các cạnh tựa cố định.
/
b h 10 15 20 30 T-D 729.6 (839.1) a 356.7 (364.8) 210.3 (212.9) 98.0 (98.6) T-ID 807.9 (846.0) 405.2 (414.5) 230.2 (233.2) 103.0 (103.6)
aCác số trong ngoặc là kết quả tính toán theo lý thuyết tấm cổ điển - CPT.
Bảng 2.4. ảnh hưởng của nhiệt độ lên tải nén tới hạn P GPax( ) của tấm FGM đối xứng ( /a b1.0, /b h20), hai cạnh y0,b tựa cố định.
( )
T K N 0 N1.0 N2.0 N 5.0 0 1.427 2.015 2.133 2.199 100 1.150 1.738 1.866 1.944 200 0.838 1.443 1.583 1.675
Tiếp theo, luận án khảo sát ảnh hưởng của các tham số hình học và vật liệu, các điều kiện biên, sự phụ thuộc nhiệt độ của các tính chất vật liệu cũng như tính không hoàn hảo lên sự ổn định phi tuyến, bao gồm các ứng xử vồng và sau khi vồng, của các tấm FGM đối xứng.
Trong trường hợp ổn định của tấm chịu tác dụng của tải nhiệt, các tấm phẳng vồng lên ở mode đầu tiên ứng với m n 1 với tỷ số cạnh a b/ bất kỳ (xem [32]).
Hình 2.15 chỉ ra ảnh hưởng của sự phụ thuộc nhiệt độ của các tính chất vật liệu lên
ứng xử ổn định phi tuyến của các tấm FGM đối xứng chịu tải nhiệt. Các đường cong độ vừng – nhiệt độ của cỏc tấm FGM hoàn hảo và khụng hoàn hảo với cỏc tớnh chất T-D được so sỏnh với cỏc đường cong khi cỏc tớnh chất T-ID. Rừ ràng là khả năng mang tải nhiệt của các tấm FGM trở nên kém đi đáng kể khi nhiệt độ ảnh hưởng tiêu cực lên các tính chất, cụ thể là mô đun đàn hồi E giảm và hệ số dãn nở nhiệt tăng, đặc biệt khi giá trị W h/ lớn.
Hình 2.15. ảnh hưởng của sự phụ thuộc nhiệt độ của các tính chất lên ứng xử ổn
định của tấm FGM, các cạnh là IM.
Hình 2.16. ảnh hưởng của chỉ số vật liệu N lên ứng xử ổn định của các tấm FGM
chịu tải nhiệt, các cạnh là IM.
Bảng 2.5 cho ra tỷ lệ phần trăm sai lệch của trường hợp T-D so với trường hợp T-ID tại một số giá trị cụ thể của tỷ số W h/ , trong đó chênh lệch tương đối giữa chúng được xác định bởi
100
T ID T D
T ID
T T
T
(2.80) trong đó TT D và TT ID là giá trị biến thiên nhiệt độ tương ứng khi có kể và không kể đến ảnh hưởng của sự phụ thuộc nhiệt độ của các tính chất vật liệu.
Từ hình 2.15 và bảng 2.5 có thể thấy rằng, sự phụ thuộc vào nhiệt độ của các tớnh chất vật liệu cú ảnh hưởng rất rừ rệt lờn ứng xử ổn định phi tuyến của cỏc tấm FGM chịu tải nhiệt. Sự sai lệch giữa các kết quả tính toán cho các trường hợp T-D và T-ID có thể lên đến hơn ba mươi phần trăm trong ví dụ này.
Hình 2.16 chỉ ra rằng khả năng kháng nhiệt của các tấm trở nên tốt hơn khi tỷ lệ ceramic trong tấm tăng như được mong đợi.
Bảng 2.5. Đánh giá sự chênh lệch (%) của các tải nhiệt T khi có và không kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ lên các tính chất vật liệu.
/
W h 0 0.1 0.5 0.7 1.0 1.3 1.5
0 15.51 15.56 18.13 20.57 24.89 29.26 32.05
0.1 0 10.15 17.98 20.96 25.89 30.39 33.14 Hình 2.17 đánh giá ảnh hưởng của tỷ số cạnh /a b lên ứng xử ổn định phi tuyến của các tấm FGM đối xứng tựa cố định trên bốn cạnh và chịu tải nhiệt. Trong hình này hai giá trị của tỷ số cạnh / ( 1.0, 2.0)a b được xét và các kết quả được so sánh với nhau giữa các tấm phẳng, không phẳng ban đầu và khi kể đến và không kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ lên các tính chất vật liệu. Kết quả chỉ ra trong hình này cho ta thấy rằng các tính chất vật liệu T-D và sự tăng tỷ lệ cạnh /a b đều làm giảm khả năng mang tải nhiệt của cỏc tấm FGM và cỏc đường cong độ vừng - nhiệt độ trở nên thấp hơn.
ảnh hưởng của tỷ số cạnh và điều kiện dịch chuyển ở các cạnh tấm lên ứng xử của các tấm FGM đối xứng chịu tải nhiệt được khảo sát trong hình 2.18 cho trường hợp các tính chất T-D. Như có thể thấy, tấm với tất cả các cạnh bị ngăn dịch chuyển (IM) có khả năng mang tải nhiệt kém hơn các tấm với chỉ hai cạnh y0, b bị ngăn cản. Hơn nữa chiều dài các cạnh bị ngăn cản càng lớn thì các đường cân bằng trong giai đoạn sau vồng càng thấp, tấm càng chống chịu tải nhiệt kém hơn.
Hình 2.17. ảnh hưởng tỷ số cạnh /a b lên ứng xử sau vồng của các tấm FGM
chịu tải nhiệt với tất cả các cạnh IM
Hình 2.18. ảnh hưởng tỷ số cạnh /a b và điều kiện biên lên ứng xử sau vồng của các tấm FGM chịu tải nhiệt,tính chất T-D.
ổn định phi tuyến của các tấm chữ nhật FGM đối xứng chịu đồng thời các tải cơ-nhiệt được khảo sát trên các hình 2.19 và 2.20 cho các tấm với hai cạnh x0,a tựa tự do và hai cạnh y0,b tựa cố định chịu nén bởi lực phân bố đều Px trên các cạnh x0,a và được đặt trong trường nhiệt độ tăng đều với biến thiên nhiệt độ so với trạng thái ban đầu là T .
Hình 2.19. ảnh hưởng của trường nhiệt độ lên ổn định của tấm FGM chịu nén.
Hình 2.20. ảnh hưởng của lực nén lên ổn định của tấm FGM chịu tải nhiệt.
Hình 2.19 khảo sát ảnh hưởng của trường nhiệt độ lên ứng xử của tấm chịu nén một phía với hai cạnh không chịu tải nén tựa cố định và các tính chất T-D. Từ
phẳng và không hoàn hảo. Hơn nữa sự sụt giảm của các đường cong là tương đối đều, dường như các đường cong tịnh tiến dọc trục Px khi trường nhiệt độ thay đổi.
Hình 2.20 khảo sát ảnh hưởng của lực nén lên ổn định phi tuyến của các tấm FGM phẳng (0) đối xứng chịu tải nhiệt. Rừ ràng là sự cú mặt của lực nộn một phớa trên các cạnh tựa tự do x0,a làm cho khả năng mang tải nhiệt của tấm trở nên kém hơn. Khác với tình huống trong hình 2.19, do sự phụ thuộc vào nhiệt độ của các tính chất vật liệu sự sụt giảm của các đường cong là không đều mà khác nhau tại cỏc giỏ trị độ vừng khỏc nhau. Cụ thể là khi độ vừng tăng lờn sự khỏc nhau giữa các giá trị tính toán trong các trường hợp T-D và T-ID tăng lên. Nói chung sự có mặt của tải nén (tải nhiệt) làm cho khả năng mang tải nhiệt (tải cơ) của các tấm FGM trở nên giảm đi đáng kể.
Hình 2.21 khảo sát ảnh hưởng của tính không hoàn hảo lên sự ổn định của tấm FGM đối xứng chịu tải nhiệt và tất cả các cạnh không thể dịch chuyển trong mặt phẳng.
Hình này chỉ ra rằng tính không hoàn hảo không hoàn toàn làm giảm khả năng mang tải nhiệt của tấm mà ngược lại trong miền sâu của ứng xử ổn định phi tuyến, tức là miền có W h/ lớn, các đường cõn bằng độ vừng - nhiệt độ trở nên cao hơn, tức là khả năng mang tải của tấm tốt hơn, khi cỡ tăng.
Hình 2.21. ảnh hưởng của tính không hoàn hảo lên sự ổn định của các tấm FGM đối
xứng chịu tải nhiệt, các cạnh IM.
Mặc dù sự phụ thuộc nhiệt độ của các tính chất vật liệu làm cho khả năng mang tải nhiệt kém đi đáng kể nhưng xu hướng biến đổi theo cỡ của các đường cong độ vừng-nhiệt độ trong hai trường hợp cỏc tớnh chất T-ID và T-D là tương tự nhau.