Các phương trình cơ bản

Lý thuyết tấm cổ điển được sử dụng để dẫn ra các phương trình cân bằng và tương thích biến dạng cũng như các biểu thức hiển của các tải tới hạn và các đường cong liờn hệ độ vừng - tải trọng trong giai đoạn sau tới hạn hoặc khi khụng tồn tại tải tới hạn của tấm FGM.

Các thành phần biến dạng của tấm ở một điểm cách mặt giữa một khoảng z được xác định bởi [12]

x x0z x, y y0z y, xy xy02zxy (2.3) trong đó x0, y0 là các thành phần biến dạng pháp tuyến và xy0là biến dạng trượt ở mặt giữa của tấm, và   x, y, xy là các thành phần độ cong và độ xoắn.

Trong khuôn khổ của lý thuyết tấm cổ điển, các thành phần biến dạng ở mặt giữa tấm và các thành phần độ cong, độ xoắn được liên hệ với các thành phần chuyển vị , ,u v w tương ứng trong các hướng toạ độ , ,x y z như sau [1, 12]

x0 u,xw,2x/ 2 , y0 v,y w,2y/ 2 , xy0 u,y v,xw w,x ,y,

x  w,xx, y  w,yy , xy  w,xy (2.4) trong đó tính phi tuyến hình học theo nghĩa Von Karman đã được xét và các dấu phảy dưới (,) để chỉ đạo hàm riêng theo biến tương ứng. Định luật Hooke của tấm khi kể đến ảnh hưởng của nhiệt độ được xác định như sau

  ( , ) ( , ) (1 ) (1,1)

, 1 E 2 T

x y y

x y

x    

        

 



 

xy 2 1 xy

 E 

 

 , (2.5) trong đó T là độ chênh lệch nhiệt độ của môi trường chứa tấm từ giá trị ban đầu mà ở đó tấm không có biến dạng nhiệt đến giá trị cuối hoặc là sự chênh lệch

nhiệt độ giữa các bề mặt giàu ceramic và giàu kim loại của tấm trong bài toán truyền nhiệt.

Các thành phần nội lực và mô men trong tấm có thể được tính qua các thành phần ứng suất và được viết ngắn gọn như sau

  / 2  

/ 2

, 1,

h

i i i

h

N M  z dz



  , ix y xy, , . (2.6) Đặt các phương trình (2.1), (2.3) vào (2.5) và sau đó đặt kết quả vào (2.6) ta thu được các thành phần nội lực và mô men như sau

1 2  0 0 2 2  

1 1 1

a

x x y x y

E E

N    

  

     

  

1 2 0 0 2 2 

1 1 1

a

y y x y x

E E

N    

  

     

   (2.7)

 1  0 2

2 1 1

xy xy xy

E E

N  

 

 

 

2 2 0 0 3 2  

1 1 1

b

x x y x y

E

M E    

  

     

  

2 2 0 0 3 2 

1 1 1

b

y y x y x

E

M E    

  

     

   (2.8)

 2  0 3

2 1 1

xy xy xy

E

M E  

 

 

 

trong đó 1

1

cm m

E E h E h

  k

 , 2 2 1 1

2 2 2

E E hcm

k k

 

      ,

3

3 3

1 1 1

12 3 2 4 4

m

cm

E E h E h

k k k

 

         , (2.9)

  / 2  

/ 2

2 2

, 1,

2 2

k k

h

a b m cm m cm

h

z h z h

E E T z dz

h   h



         

                . (2.10) Hệ phương trình cân bằng của một tấm chữ nhật hoàn hảo theo lý thuyết cổ điển được dẫn như sau, trong đó bỏ qua các lực vuông góc với mặt tấm [1, 12]

Nx x, Nxy y, 0

Nxy x, Ny y, 0 (2.11) Mx xx, 2Mxy xy, My yy, N wx ,xx2N wxy ,xyN wy ,yy 0.

Trong luận án này nhiệt độ được giả thiết hoặc là tăng đều hoặc là chỉ truyền qua hướng chiều dày z và không phụ thuộc vào các biến ,x y. Khi đó ta có thể viết lại hệ phương trỡnh cõn bằng dưới dạng độ vừng và cỏc thành phần nội lực sau khi thay các phương trình (2.7), (2.8) vào các phương trình (2.11) như sau

Nx x, Nxy y, 0

Nxy x, Ny y, 0 (2.12) D 2w N wx ,xx 2N wxy ,xy N wy ,yy0

trong đó           2 4/ x4 2 4/ x y2 2 4/ y4, và

 

2

1 3 2

2 1 1 E E E

D E 

 

 . (2.13) Đối với một tấm không hoàn hảo trong hình dáng tức là không tuyệt đối phẳng, gọi w x y*( , )ký hiệu một hàm biết trước biểu diễn độ lệch nhỏ ban đầu của bề mặt tấm từ hỡnh dỏng phẳng. Khi tớnh khụng hoàn hảo được xột, hàm độ vừng w trong phương trình thứ ba của hệ (2.12) được thay bằng w w *, được xem như độ vừng tổng của tấm. Tuy nhiờn, số hạng thứ nhất trong phương trỡnh cõn bằng này khụng thay đổi vỡ nú chỉ liờn quan đến sự thay đổi độ cong sau khi tấm vừng thờm w chứ khụng phải độ vừng tổng (xem tham khảo [87]). Kết quả là hệ phương trỡnh cân bằng có thể được viết lại dưới dạng sau

Nx x, Nxy y, 0

Nxy x, Ny y, 0 (2.14) D 2w Nxw,xx w*,xx2Nxyw,xy w,*xyNyw,yy w*,yy0.

Hai phương trình đầu của hệ phương trình cân bằng (2.14) sẽ được thoả mãn đồng nhất nếu đưa vào hàm ứng suất ( , )f x y sao cho

Nx  f,yy, Ny  f,xx , Nxy  f,xy. (2.15)

Đặt (2.15) vào phương trình cân bằng thứ ba của hệ (2.14) ta được phương trình D 2w f,yyw,xxw,*xx2f,xyw,xy w,*xy f,xxw,yy w,*yy0. (2.16)

Phương trình (2.16) chứa hai hàm phụ thuộc w và f . Để thu được một phương trình thứ hai liên hệ hai hàm này ta có thể sử dụng phương trình tương thích biến dạng.

Phương trình tương thích biến dạng cho tấm chữ nhật được viết như sau [12]

x0,yy y0,xx xy0,xy w,2xy w w,xx ,yy. (2.17) Đối với tấm không hoàn hảo phương trình trên có thể được biến đổi vào dạng sau đây sau khi w được thay bằng w w * và bỏ qua số hạng bậc hai của w* do nhỏ

x0,yy y0,xx xy0,xy w,2xy w w,xx ,yy 2w w,xy ,*xy w w,xx *,yy w w,yy ,*xx. (2.18) Từ (2.7) các thành phần biến dạng màng có thể được biểu diễn như sau

 0 0     2   

1

, 1 , , , 1,1

x y N Nx y N Ny x E x y a

   E         , 0   2

1

2 1

xy Nxy E xy

  E     . (2.19) Đặt các hệ thức này vào phương trình (2.18) với lưu ý đến các phương trình

(2.4) và (2.15) ta thu được phương trình tương thích biến dạng của tấm FGM không hoàn hảo như sau

 2f E w1 ,2xy w w,xx ,yy 2w w,xy ,*xy w w,xx ,*yy w w,yy *,xx0. (2.20) Các phương trình (2.16) và (2.20) là các phương trình phi tuyến đối với hai hàm w và f và được sử dụng để nghiên cứu ổn định của các tấm chữ nhật FGM.