Phân tích ổn định của vỏ trụ tròn thoải FGM loại B

Luận án sử dụng phương pháp tiếp cận giải tích để giải các phương trình cơ bản và xỏc định cỏc tải tới hạn cũng như cỏc đường cong độ vừng - tải trọng trong giai đoạn sau tới hạn của các vỏ trụ tròn FGM loại B chịu lực nén dọc trục và các tải nhiệt, không xét ảnh hưởng của áp lực ngoài (q0). Vỏ trụ FGM loại B được giả thiết tựa bản lề trên hai cạnh biên. Phụ thuộc vào điều kiện dịch chuyển ở hai biên

0,

x L của vỏ trụ, hai trường hợp của các điều kiện biên sẽ được xét như sau.

Trường hợp (1). Hai biên của vỏ trụ tựa bản lề và có thể tự do dịch chuyển.

Đây là trường hợp các biên tựa tự do và điều kiện biên tương ứng là

wMx Nxy 0 , Nx Nx0 tại x0,L. (3.26) Trường hợp (2). Hai biên của vỏ trụ tựa bản lề và không thể dịch chuyển. Đây là trường hợp các biên tựa cố định và điều kiện biên tương ứng là

w u Mx 0 , Nx Nx0 tại x0,L (3.27) trong đó Nx0 là lực nén tác dụng trên các cạnh biên x0, L của vỏ trụ trong trường hợp các cạnh đó tựa tự do và là các phản lực trên hai cạnh biên của vỏ trong trường hợp các cạnh này tựa cố định.

Để giải các phương trình (3.3) và (3.5) đối với hai hàm w và f , và khi xem

w w, *W,hsinsmxsinsny (3.28) f  As1cos 2smxAs2cos 2snyAs3sinsmxsinsny (3.29) 4 1 0 2

cos 2 cos 2

s sm sn 2 x

A  x  y N y

  ,

trong đó sm m/L, snn R/ , các số tự nhiên ,m n1, 2, ...tương ứng biểu diễn số nửa sóng trong hướng dọc trục x và số sóng trong hướng vòng y, và W là biờn độ của độ vừng. Để cho đơn giản, hàm biểu diễn tớnh khụng hoàn hảo w* đó được giả thiết cú dạng tương tự như dạng của hàm độ vừng, và 1   1 biểu thị cỡ của tính không hoàn hảo, giá trị 0 tương ứng với trường hợp vỏ có hình dáng trụ hoàn hảo.

Đặt các phương trình (3.28), (3.29) vào phương trình tương thích (3.5) ta có thể xác định được các hệ số A isi(  1 4) như (3.6) trong đó  m, n lần lượt được thay bằng sm,sn.

Đặt các phương trình (3.28), (3.29) vào (3.3) và áp dụng phương pháp Bubnov - Galerkin cho phương trình kết quả ta thu được phương trình sau

 

     

4 4 2

2 2 2 1 1

2 2

2 2 2 2 2 2

32 3

sm sm sn

sm sn

sm sn sm sn

E E

D W W W h

R mn R

  

  

    

 

     

   

 

1 2   1 4 4    

2

2 2 2

3 16

sm sn

sn E

E W W h W W h W h

mn R

 

   



     

sm2 Nx0W h0. (3.30) Phương trình (3.30), lấy với các giá trị lẻ của ,m n, được sử dụng để xác định cỏc tải tới hạn và cỏc đường cong độ vừng - tải trọng khi tải vượt tới hạn của cỏc vỏ trụ tròn FGM. Sau đây ứng xử ổn định phi tuyến của các vỏ trụ tròn FGM loại B dưới tác dụng của lực nén đều dọc trục và nhiệt độ tăng đều sẽ được phân tích.

3.2.4.1 Ổn định của vỏ trụ thoải FGM loại B chịu nén dọc trục

Xét vỏ trụ tròn FGM loại B tựa tự do trên hai cạnh biên và chịu nén dọc trục x bởi các tải Px (Pascal) phân bố đều trên các cạnh x0,L. Trong trường hợp này

ta có Nx0  P hx [12] và sau khi thay biểu thức này vào (3.30) ta thu được biểu thức sau

 

   

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1

2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

32 3

R R R

x

h R R h R

D m n L E m L W E mnL

P W

m R L m n L W R m n L

 

   

  

 

  

    

 

1 2   1 4 4 4 4   

3 4 2 2 2 2

2 2

3 16 2

R R

h h R

E m n L

E nL W W

m R W m R L W W

 

   



   

 (3.31)

trong đó

LR L R/ , Rh R h/ , DD h/ 3, E1 E h1/ , W W h/ . (3.32) Đối với vỏ trụ hoàn hảo, 0, (3.31) dẫn đến biểu thức mà từ đó tải nén làm cho vỏ trụ vồng lên Pxb có thể thu được khi W 0 là

 

 

2 2 2 2 2 2 2 2

1

2 2 2 2 2 2 2 2 2

R R

xb

h R R

D m n L E m L

P m R L m n L

 

 

  

 , (3.33) và giá trị tới hạn của tải vồng Pxcr có thể đạt được với các giá trị ( ,m n) làm cho Pxb đạt giá trị nhỏ nhất. Đối với vỏ trụ thuần nhất đẳng hướng, tức là khi

c m

E E E, công thức (3.33) được đưa về  

 

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

12(1 )

iso R R

xb

h R R

E m n L Em L

P m R L m n L

 

  

  

  . (3.34)

Biểu thức (3.34) trùng với kết quả đã được dẫn trong công trình đã biết của Brush và Almroth [12] khi các tác giả này phân tích ổn định tuyến tính của các vỏ trụ tròn làm từ vật liệu thuần nhất đẳng hướng, hoàn hảo, chịu nén dọc trục bằng tiêu chuẩn cân bằng lân cận.

Tương tự như các panel trụ, ứng xử hóp của vỏ trụ tròn FGM loại B chịu nén dọc trục có thể được phân tích và cường độ của nó có thể được dự đoán bằng các biểu thức giải tích phụ thuộc vào các tính chất vật liệu và hình học vỏ. Tuy nhiên, để cho ngắn gọn các phân tích cụ thể đó không được trình bày ở đây.

3.2.4.2. Ổn định của vỏ trụ thoải FGM loại B chịu tải nhiệt

Xét vỏ trụ tròn FGM loại B tựa cố định trên hai cạnh biên và chỉ chịu tác dụng của nhiệt độ tăng đều (q0). Điều kiện để hai cạnh biên của vỏ không thể dịch chuyển, nghĩa là u0 trên x0,Lđược thoả mãn theo nghĩa trung bình như sau

2

0 0

0

R L u xdxdy

  

  . (3.35) Tương tự như đối với panel trụ,  u/ x có thể được biểu diễn qua w, w* và f . Sau khi thay nghiệm (3.28), (3.29) vào  u/ x và sau đó đặt vào (3.35) ta nhận được

 

   

2 2

2 2

1 1

0 2 2 2 2 2

4 2

8

sm sn

sm sm

x a

sm sn

E E

N E W W W h

mn R

 

  

  

  

 

     

  

 

. (3.36) Phương trình (3.36) biểu thị các phản lực trên hai cạnh biên sinh ra do bị ngăn cản dịch chuyển. Phản lực Nx0 trong (3.36) không những phụ thuộc vào tham số nhiệt độ a mà cũn phụ thuộc vào độ vừng W . Khi W 0 phương trỡnh (3.36) đưa về Nx0  a và kết quả này trùng với kết quả thu được bởi Lanhe và các cộng sự [40] khi họ phân tích trạng thái màng trong vỏ trụ.

Khi nhiệt độ môi trường chứa vỏ trụ FGM tăng đều thì tham số nhiệt độ a có thể được biểu diễn qua T nhờ (2.10). Tiếp theo thay a vào (3.36) rồi thay biểu thức kết quả vào (3.30) và biến đổi ta thu được mối quan hệ giữa tải nhiệt - độ vừng như được cho trong cụng thức (B1) ở phụ lục B. Từ cụng thức đú, nhiệt độ vồng tới hạn của các vỏ trụ thoải FGM loại B hoàn hảo (0) có thể được xác định và cho trong công thức (B2) ở phụ lục B.