Nhƣ các cạnh trong ảnh kỹ thuật số đại diện cho những thay đổi đột ngột của độ sáng,chúng có thể đƣợc định nghĩa một cách tốn học là các dị biệt cục bộ. Biến đổi Fourier là cơng cụ tốn học hữu ích cho việc phân tích các dị biệt,tuy nhiên,biến đổi Fourier là tồn cục và khơng thích ứng với dị biệt cục bộ. Do đó, thật khó để tìm sự phân bố cục bộ và rải rác của các dị biệt với biến đổi Fourier. Nói cách khác,phân tích Fourier biến đổi một tín hiệu cơ bản trong miền thời gian tới một tín hiệu cơ bản khác trong miền tần số,nhƣng sự biến mất của thông tin thời gian khi một tín hiệu đƣợc biến đổi tới miền tần số trở thành một bất lợi nghiêm trọng,có nghĩa là khi phân tích thành phần tần số,nó khơng có khả năng biết khi nào một sự kiện xảy ra trong miền thời gian.
Phân tích thời gian- tần số là một vấn đề quan trọng trong lĩnh vực phân tích ảnh,và đặc trƣng tần số của một hàm trong một khoảng thời gian địa phƣơng là cần thiết. Phân tích Wavelet cung cấp một giải pháp để vƣợt qua những thiếu sót của biến đổi Fourier. Một Wavelet là một sóng ngắn có gía trị trung bình bằng khơng. Khác biệt từ hàm sin đó là về mặt lý thuyết kéo dài từ âm vô cùng tới dƣơng vô cùng,wavelet, là không thƣờng xun,thời gian hạn chế,và thƣờng khơng đối xứng,có một sự khởi đầu và một sự kết thúc. Với sự lớn mạnh của lý thuyết wavelet,biến đổi wavelet đƣợc coi là cơng cụ đáng chú ý để phân tích các dị biệt bao gồm các cạnh, và hơn thế nữa,để phát hiện chúng một cách hiệu quả.
Ý tƣởng về phát hiện cạnh với phân tích wavelet là tƣơng tự thuật tốn của Canny. Canny đề xuất lựa chọn một hàm Gaussian nhƣ một hàm mƣợt ,trong khi wavelet cơ bản đề xuất chọn một hàm wavelet là .
Trong phân tích wavelet,sự đều đặn cục bộ của các tín hiệu đƣợc đặc trƣng bởi các tín hiệu phân rã thành các khối xây dựng cơ bản đƣợc cục bộ hóa trong cả khơng gian và tần số. Sự giải thích này cơ chế cơ bản của thiết bị phát hiện cạnh cổ điển,và chỉ rõ một cách xây dựng phát hiện cạnh tối ƣu trong điều kiện đặc biệt. Dựa trên mơ hình phân rã ảnh của biến đổi wavelet,ảnh gốc có thể đƣợc phân chia thành các thông tin tần số thấp và thông tin tần số cao. Sau khi phân rã tần số hai chiều cảu biến đổi wavelet,thông tin tần số thấp có thể tiếp tục đƣợc phân hủy thành khu vực tần số thấp
LL và khu tần số cao LH. Tƣơng tự nhƣ vậy,thơng tin tần số cao có thể đƣợc phân rã thành khu vực tần số thấp HL và khu vực tần số cao HH.
LL cho thấy dải con mƣợt mà của ảnh gốc mà chứa hầu hết các thông tin trong ảnh gốc., LH và HL đại diện thông tin cạnh dọc và ngang của ảnh gốc,và HH bảo tồn các chi tiết đƣờng chéo bị ảnh hƣởng rất lớn bởi nhiễu. Quá trình phân rã ảnh dựa trên biến đổi wavelet đƣợc thể hiện trong hình 2-1.
Hình 2-1 Phân rã ảnh dựa trên biến đổi wavelet.
Nói chung,ý tƣởng của sự phát hiện cạnh sử dụng biến đổi wavelet đƣợc mô tả nhƣ sau :
(1) Chọn môt hàm wavelet thích hợp
(2) Sử dụng hàm để biến đổi các ảnh sang các mức phân rã
(3) Lọc ra các hệ số chi tiết wavelet chứa năng lƣơng đáng kể tại các tỷ lệ nhiễu. (4) Phát hiện các cạnh từ các hệ số chi tiết đã đƣợc lọc
Chú ý rằng các phƣơng pháp phát hiện cạnh truyền thống dựa trên biến đổi wavelet trích dẫn ảnh con tần số thấp để phát hiện thêm các cạnh,nó sẽ loại bỏ vài chi tiết quan trọng. Thêm vào đó,hiệu suất của việc trích dẫn cạnh từ một ảnh con sẽ bị ảnh hƣởng bởi nhiễu trong khu vực tần số cao của ảnh con này.
II.4 Phát hiện các đặc trƣng tuyến tính dựa trên hình thái toán học II.4.1 Giới thiệu
Phát triển từ lý thuyết tập hợp,hình thái tốn học đƣợc giới thiệu bởi Matherton nhƣ một kỹ thuật cho việc phân tích cấu trúc hình học của kim loại và mẫu địa chất. Nó đƣợc mở rộng đến khu vực phân tích ảnh bởi Serra. Khơng giống nhƣ mơ hình tốn học truyền thống và phân tích, hình thái tốn học cung cấp một cách tiêop cận khác để xử lý ảnh dựa trên khái niêm hình dạng,các ảnh đƣợc coi nhƣ các tập hợp,có các hoạt động đƣợc định nghĩa bởi bộ số học,nghĩa là ảnh sẽ đƣợc xử lý bởi
lý thuyết hình thái hình học phải đƣợc chuyển đổi vào một tập hợp,và các hoạt động trên ảnh biến đổi chúng vào một tập hợp khác. Hình thái tốn học thực hiện việc xử lý ảnh bằng việc sử dụng các yếu tố cấu trúc để đo hình dạng của một ảnh.
Hình 2-2. Sự phát triển của xử lý hình thái được đặc trưng bởi sự kết hợp giữa lý thuyết ,ứng dụng,phương pháp và thuật toán
Các kỹ thuật xử lý ảnh số trên máy tình đang đƣợc sử dụng rất nhiều nghiên cứu và phát triển. Sự phát triển của hình thái toán học là sự kết hợp giữa lý thuyết,ứng dụng,phƣơng pháp và các thuật tốn. Trong đó,các phƣơng pháp mới đƣợc đƣa ra nhằm giải quyết những vấn đề trong thực tế,lý thuyết kiểm chứng tính chĩnh xác của các phƣơng pháp,và phát triển các thiết bị phần cứng chuyên dụng hoặc các thuật toán hiệu quả để thực thi trên máy tính. Sự kết hợp này đƣợc thể hiện trên hình 2-2.
Trong các ứng dụng thị giác máy tính,xử lý hình thái học có thể đƣợc sử dụng để nhận dạng đối tƣợng,nâng cao chất lƣợng ảnh,phân đoạn ảnh và kiểm tra khuyết điểm trên ảnh. Các phép tốn xử lý hình thái học đƣợc thực hiện chủ yếu trên ảnh nhị phân và ảnh xám. Ảnh nhị phân hay còn gọi là ảnh đen trắng tƣơng ứng với hai giá trị 0
(màu trắng) và 1 (màu đen). Ảnh xám là ảnh mà tại mỗi điểm ảnh có giá trị cƣờng độ sáng nằm trong khoảng [0,255].
II.4.2. Các thuật tốn xử lý hình thái học
Sự giãn nở và xói mịn là hai tốn tử hình thái tốn học cơ bản ; các tốn tử hình thái tốn học khác là sự kết hợp đa dạng của hai toán tử này. Một vài toán tử toán học khác đƣợc giới thiệu dƣới đây
a. Phần tử cấu trúc
Đối với ảnh nhị phân,phần tử cấu trúc là một ảnh có kích thƣớc nhỏ gồm có hai giá trị 0 và 1,các giá trị bằng 0 đƣợc bỏ qua trong q trình tính tốn,gọi H(i,j) là phần tử cấu trúc của ảnh nhị phân và đƣợc thể hiện nhƣ sau :
Một số hình dáng của phần tử cấu trúc thƣờng đƣợc sử dụng trên ảnh nhị phân: dạng đƣờng theo chiều ngang và dọc,hình vng,hình ellipse…
Hình 2-3. Một số hình dáng của phần tử cấu trúc phẳng
Đối với ảnh xám,phần tử cấu trúc là không phẳng,tức là cấu trúc sử dụng các giá trị 0 và 1 để xác định phạm vi của phần tử cấu trúc trong mặt phẳng x và mặt phẳng y và thêm giá trị độ cao để xác định chiều thứ ba. Cấu trúc phần tử khơng phẳng gồm có hai thành phần:
Phần thứ nhất: Một mảng hai chiều gồm có các ía trị 0 và 1,trong đó giá trị bằng 1 xác định hàng xóm của phần tử cấu trúc
Hình 2-4.Một mặt nạ xác định hàng xóm của phần tử cấu trúc khơng phẳng
Phần thứ hai : Một mảng hai chiều có kích thƣớc bằng với kích thƣớc của mảng hai chiều ở phần thứ nhất nhƣng chứa các giá trị thực của phần tử cấu trúc.
Hình 2-5. Ma trận giá trị thực tương ứng với hàng xóm trong phần tử cấu trúc không phẳng
Đặt biểu diễn một ảnh mức độ xám, biểu diễn phần tử cấu trúc có thể là bất kỳ hình dạng nào. Bốn tốn tử hình thái sau đƣợc sử dụng phổ biến trong phân tích ảnh :
(1) Sự giãn nở anh- Dialtion
Toán tử giãn ảnh nhị phân của tập bởi phần tử cấu trúc B là tập hợp của các điểm z ( z là tâm của phần tử cấu trúc B trên tập F ) sao cho phản xạ của giao với tập F tịa ít nhất một điểm.
Hình 2-6. Ví dụ về tốn tử giãn nhị phân trên ảnh với phần tử cấu trúc phẳng
Toán tử giãn nở của một ảnh mức xám bởi phần tử cấu trúc đƣợc đƣa ra
Hình 2-7. Ví dụ về tốn tử giãn ảnh trên ảnh xám với phần tử cấu trúc không phẳng
(2) Sự co ảnh- Erosion
Toán tử co ảnh nhị phân của tập hợp bởi phần tử cấu trúc là tập hợp các điểm ( nắm f ở tâm điểm của phần tử cấu trúc B) sao cho là tập con của F
Hình 2-8. Ví dụ về tốn tử co ảnh nhị phân với phần tử cấu trúc
Toán tử co của ảnh xám bởi phần tử cấu trúc đƣợc định nghĩa (2.2)
Hình 2-9.Ví dụ về tốn tử co ảnh trên ảnh xám với phần tử cấu trúc không phẳng
(3) Sự mở rộng ảnh- Opening
Toán tử mở rộng của một ảnh xám bằng phần tử cấu trúc đƣợc đƣa ra bởi
(2.3)
(4) Sự đóng ảnh- Closing
Tốn tử đóng của một ảnh xám bằng phần tử cấu trúc đƣợc đƣa ra bởi
(2.4)
Sự giãn nở làm tăng các giá trị tỷ lệ xám của một ảnh khi nó là một biến đổi của sự mở rộng,trong khi sự co ảnh làm giảm các giá trị tỷ lệ xám của một ảnh khi nó là một biến đổi của sự con ngắn. Hai tốn tử hình thái cơ bản này nhạy cảm với sự thay đổi cƣờng độ,do đó, chúng có thể đƣợc sử dụng cho việc phát hiện cạnh. Nói chung,tốn tử mở rộng làm mƣợt các đƣờng viền của một ảnh và phá vỡ các khoảng hẹp; ngƣợc lại,tốn tử đóng có xu hƣớng để hợp nhất các khoảng hẹp và loại bỏ các lỗ nhỏ.
Các phần tử cấu trúc thích hợp là cần thiết để thiết kế một phát hiện cạnh về mặt hình thái hiệu quả. Do đó,việc chọn phần tử cấu trúc và thiết kế bộ lọc hình thái là hai vấn đề quan trọng nhất để xác định kết quả của việc phát hiện cạnh.
Dƣới đây là một ví dụ minh họa các phép tốn xử lý hình học trên ảnh. Trong đó,áp dụng các phép tốn tử xử lý ảnh nhị phân với phần tử cấu trúc có hình dáng ở hình a) với ảnh xám sử dụng cấu trúc phần tử khơng phẳng có hình dáng hàng xóm và giá trị nhƣ hình b)
a) Phần tử cấu trúc phẳng b) Hình dáng hàng xóm và ma trận giá trị tƣơng ứng của phần tử cấu trúc không phẳng
CHƢƠNG III. LÝ THUYẾT BEAMLET
Mƣời năm qua,tƣ tƣởng đa tỷ lệ trong phân tích nói chung và trong phân tích Wavelet nói riêng đã trở nên khá phổ biến.Tạp chí Ứng dụng và Phân tích tính tốn hài hịa đƣợc thành lập năm 1993 và nhanh chóng trở thành một trong các tạp chí đƣợc trích dẫn nhiều nhất trong khoa học toán học,và các số liệu hàng đầu về nghiên cứu Wavelet trở thành một trong những đối tƣợng đƣợc trích dẫn nhiều nhất trong toán học.
Nếu một trong những yếu tố tìm kiếm có thể đã góp phấn ảnh hƣởng của wavelet,ngƣời ta ghi nhận rằng những ý tƣởng đôi của đại diện đa tỷ lệ và của đại diện cục bộ hấp dẫn trí tƣởng tƣợng,với hiện tƣợng “ tại một quy mơ nhất định “ đƣợc trình diễn bởi dạng sóng tại một số quy mơ cục bộ ở một số vị trí trong khơng gian.
Vƣợt xa ngoài beamlet,chúng ta sẽ mô tả một cách tiếp cận để phân tích ảnh đa quy mơ mà chúng tơi gọi là phân tích beamlet,nó cung cấp một sự tƣơng phản thú vị với phân tích wavelet,và nó có thể mở rộng tầm nhìn ngƣời đọc về các loại suy nghĩ đa quy mơ có thể có.Trong khi wavelet cung cấp biểu diễn cục bộ gần vùng cố định của khơng gian với quy mơ và vị trí cụ thể,thì beamlet có quy mơ cục bộ/vị trí/định hƣớng dựa trên phân đoạn thẳng đƣợc tố chức. Phân tích beamlet rõ ràng là một ý tƣởng đa tỷ lệ cơ bản,khác với khái niệm wavelet;bằng cách học hỏi về nó,chúng ta sẽ mở rộng khái niệm về phân tích đa tỷ lệ và những gì nó có thể thực hiện đƣợc. Các khía cạnh ý thức-lớn lên của khung beamlet là một trong những điều chúng tôi nhấn mạnh nhiều lần dƣới đây;chúng có thể giúp chúng ta ra khỏi lối mịn wavelet trong thói quen suy nghĩ của chúng ta về đa tỷ lệ.
Beamlet đóng vai trị nhƣ một lý thuyết xấp xỉ căn bản;chuỗi các chùm cho phép cung cấp các biểu diễn xấp xỉ rải rác của các đƣờng cong đẹp trong mặt phẳng-trong một cách nào đó rải rác tối ƣu.
Một so sánh với lý thuyết xấp xỉ của wavelet là tính hƣớng dẫn.Trong khi wavelet cung cấp các biểu diễn rải rác tối ƣu của các hàm làm mƣợt thì beamlet cung cấp các biểu diễn rải rác tối ƣu của các đƣờng cong mƣợt mà đƣợc nhúng trong một ảnh.
Phƣơng pháp beamlet cung cấp một cấu trúc dữ liệu cơ bản chính xác cho xử lý việc phát hiện nhiễu và vấn đề phát hiện đƣờng biên.
III.1 Tổng quan phân tích beamlet
Phân tích beamlet đƣợc giới thiệu đầu tiên bởi Donoho và Huo nhƣ một công cụ cho việc phân tích ảnh đa tỷ lệ.Nội dung của phân tích beamlet phân phối với xấp xỉ của các đối tƣợng tuyến tính bằng các đoạn thẳng,nhƣ hình 3-1.
Hình 3-1. Xấp xỉ một đường thẳng bằng beamlet
Beamlet là khn khổ cho việc phân tích ảnh đa tỷ lệ trong đó các đoạn thẳng đóng vai trị tƣơng tự nhƣ vai trò của các điểm trong phân tích wavelet.Khn khổ có 5 thành phần chính :
(1) Từ điển beamlet là các đoạn thẳng đƣợc sắp xếp cặp đơi,chiếm một dải các cặp vị trí và tỷ lệ,và xảy ra tại một loạt các hƣớng.
(2) Biến đổi beamlet của một ảnh là bộ sƣu tập tích phân trên mỗi đoạn trong từ điển beamlet.
(3) Tháp beamlet chứa thông tin kết quả.
(4) Đồ thị beamlet là cấu trúc đồ thị với các góc điểm ảnh nhƣ các đỉnh và beamlet nhƣ các cạnh;một đƣờng ngang qua đồ thị tƣơng ứng một đa giác trong ảnh gốc. (5) Thuật toán cơ bản beamlet đƣợc cơng thức hóa bằng việc khai thác các thành
phần để xác định và trích dẫn beamlet và chuỗi beamlet với các đặc tính đặc biệt. Từ điển beamlet,biến đồi beamlet,kim tự tháp beamlet và đồ thị beamlet xây dựng một hệ thống phân cấp 4 cấp độ của các thuật toán beamlet. Cấp độ đầu tiên bao gồm các thủ tục đơn giản bỏ qua cấu trúc của tháp beamlet và đồ thị beamlet;cấp độ thứ hai khai thác chỉ sự phụ thuộc cha-con giữa các tỷ lệ ; cấp độ ba kết hợp chặt chẽ
quan hệ đồng tuyến tính và đồng cong; và cấp độ 4 cho phép tối ƣu hóa tồn cầu trên tồn bộ không gian của đa giác trong một ảnh.
III.2 Giới thiệu biến đổi beamlet
Với một ảnh pixel,vùng ảnh có thể đƣợc xem xét nhƣ ô vuông liên tục ,và các điểm ảnh nhƣ một mảng của ô vuông đƣợc sắp xếp trong một lƣới .Các định nghĩa sau giúp hiểu tốt hơn biến đổi beamlet.
Định nghĩa 1:Xem xét 2 điểm ảnh trong một ảnh .Đoạn thẳng
đƣợc gọi là chùm.Có chùm nhƣ vậy trong
Định nghĩa 2: Phân chia ảnh vào trong các cửa sổ tỷ lệ khác nhau ,với . Tất cả các chùm kết nối các đỉnh trên các đƣờng bao của cửa sổ đƣợc gọi là beamlet.
Chúng ta bắt đầu với một số thuật ngữ và ký hiệu.Chúng ta quan tâm đến dữ liệu hình ảnh nhƣ n bởi mảng n số,nhƣng chúng tơi chọn xem miền ảnh nhƣ ô vuông liên tục và các điểm ảnh nhƣ một mảng của bởi ô vuông đƣợc sắp xếp trong một mạng lƣới trong .
Một cặp ô vuông S là sự sƣu tập của các điểm {( ):[ ] [ ]} khi với một số nguyên .Thi thoảng chúng ta viết ví dụ là đơn vị ,và do đó nếu chúng ta có một mạng lƣới n-n với ,thì các điểm ảnh riêng là ô
, .
III.2.1 Từ điển beamlet
Giả sử chúng ta có các đỉnh và coi đoạn thẳng .Chúng ta gọi đó là một chùm.Nếu chúng ta chỉ xem xét các chùm đỉnh kết nối ( ) tại