Phần thứ hai : Một mảng hai chiều có kích thƣớc bằng với kích thƣớc của mảng hai chiều ở phần thứ nhất nhƣng chứa các giá trị thực của phần tử cấu trúc.
Hình 2-5. Ma trận giá trị thực tương ứng với hàng xóm trong phần tử cấu trúc không phẳng
Đặt biểu diễn một ảnh mức độ xám, biểu diễn phần tử cấu trúc có thể là bất kỳ hình dạng nào. Bốn tốn tử hình thái sau đƣợc sử dụng phổ biến trong phân tích ảnh :
(1) Sự giãn nở anh- Dialtion
Toán tử giãn ảnh nhị phân của tập bởi phần tử cấu trúc B là tập hợp của các điểm z ( z là tâm của phần tử cấu trúc B trên tập F ) sao cho phản xạ của giao với tập F tịa ít nhất một điểm.
Hình 2-6. Ví dụ về toán tử giãn nhị phân trên ảnh với phần tử cấu trúc phẳng
Toán tử giãn nở của một ảnh mức xám bởi phần tử cấu trúc đƣợc đƣa ra
Hình 2-7. Ví dụ về tốn tử giãn ảnh trên ảnh xám với phần tử cấu trúc không phẳng
(2) Sự co ảnh- Erosion
Toán tử co ảnh nhị phân của tập hợp bởi phần tử cấu trúc là tập hợp các điểm ( nắm f ở tâm điểm của phần tử cấu trúc B) sao cho là tập con của F
Hình 2-8. Ví dụ về tốn tử co ảnh nhị phân với phần tử cấu trúc
Toán tử co của ảnh xám bởi phần tử cấu trúc đƣợc định nghĩa (2.2)
Hình 2-9.Ví dụ về tốn tử co ảnh trên ảnh xám với phần tử cấu trúc không phẳng
(3) Sự mở rộng ảnh- Opening
Toán tử mở rộng của một ảnh xám bằng phần tử cấu trúc đƣợc đƣa ra bởi
(2.3)
(4) Sự đóng ảnh- Closing
Tốn tử đóng của một ảnh xám bằng phần tử cấu trúc đƣợc đƣa ra bởi
(2.4)
Sự giãn nở làm tăng các giá trị tỷ lệ xám của một ảnh khi nó là một biến đổi của sự mở rộng,trong khi sự co ảnh làm giảm các giá trị tỷ lệ xám của một ảnh khi nó là một biến đổi của sự con ngắn. Hai tốn tử hình thái cơ bản này nhạy cảm với sự thay đổi cƣờng độ,do đó, chúng có thể đƣợc sử dụng cho việc phát hiện cạnh. Nói chung,tốn tử mở rộng làm mƣợt các đƣờng viền của một ảnh và phá vỡ các khoảng hẹp; ngƣợc lại,tốn tử đóng có xu hƣớng để hợp nhất các khoảng hẹp và loại bỏ các lỗ nhỏ.
Các phần tử cấu trúc thích hợp là cần thiết để thiết kế một phát hiện cạnh về mặt hình thái hiệu quả. Do đó,việc chọn phần tử cấu trúc và thiết kế bộ lọc hình thái là hai vấn đề quan trọng nhất để xác định kết quả của việc phát hiện cạnh.
Dƣới đây là một ví dụ minh họa các phép tốn xử lý hình học trên ảnh. Trong đó,áp dụng các phép tốn tử xử lý ảnh nhị phân với phần tử cấu trúc có hình dáng ở hình a) với ảnh xám sử dụng cấu trúc phần tử khơng phẳng có hình dáng hàng xóm và giá trị nhƣ hình b)
a) Phần tử cấu trúc phẳng b) Hình dáng hàng xóm và ma trận giá trị tƣơng ứng của phần tử cấu trúc không phẳng
CHƢƠNG III. LÝ THUYẾT BEAMLET
Mƣời năm qua,tƣ tƣởng đa tỷ lệ trong phân tích nói chung và trong phân tích Wavelet nói riêng đã trở nên khá phổ biến.Tạp chí Ứng dụng và Phân tích tính tốn hài hòa đƣợc thành lập năm 1993 và nhanh chóng trở thành một trong các tạp chí đƣợc trích dẫn nhiều nhất trong khoa học toán học,và các số liệu hàng đầu về nghiên cứu Wavelet trở thành một trong những đối tƣợng đƣợc trích dẫn nhiều nhất trong toán học.
Nếu một trong những yếu tố tìm kiếm có thể đã góp phấn ảnh hƣởng của wavelet,ngƣời ta ghi nhận rằng những ý tƣởng đôi của đại diện đa tỷ lệ và của đại diện cục bộ hấp dẫn trí tƣởng tƣợng,với hiện tƣợng “ tại một quy mơ nhất định “ đƣợc trình diễn bởi dạng sóng tại một số quy mô cục bộ ở một số vị trí trong khơng gian.
Vƣợt xa ngồi beamlet,chúng ta sẽ mơ tả một cách tiếp cận để phân tích ảnh đa quy mơ mà chúng tơi gọi là phân tích beamlet,nó cung cấp một sự tƣơng phản thú vị với phân tích wavelet,và nó có thể mở rộng tầm nhìn ngƣời đọc về các loại suy nghĩ đa quy mơ có thể có.Trong khi wavelet cung cấp biểu diễn cục bộ gần vùng cố định của khơng gian với quy mơ và vị trí cụ thể,thì beamlet có quy mơ cục bộ/vị trí/định hƣớng dựa trên phân đoạn thẳng đƣợc tố chức. Phân tích beamlet rõ ràng là một ý tƣởng đa tỷ lệ cơ bản,khác với khái niệm wavelet;bằng cách học hỏi về nó,chúng ta sẽ mở rộng khái niệm về phân tích đa tỷ lệ và những gì nó có thể thực hiện đƣợc. Các khía cạnh ý thức-lớn lên của khung beamlet là một trong những điều chúng tôi nhấn mạnh nhiều lần dƣới đây;chúng có thể giúp chúng ta ra khỏi lối mòn wavelet trong thói quen suy nghĩ của chúng ta về đa tỷ lệ.
Beamlet đóng vai trò nhƣ một lý thuyết xấp xỉ căn bản;chuỗi các chùm cho phép cung cấp các biểu diễn xấp xỉ rải rác của các đƣờng cong đẹp trong mặt phẳng-trong một cách nào đó rải rác tối ƣu.
Một so sánh với lý thuyết xấp xỉ của wavelet là tính hƣớng dẫn.Trong khi wavelet cung cấp các biểu diễn rải rác tối ƣu của các hàm làm mƣợt thì beamlet cung cấp các biểu diễn rải rác tối ƣu của các đƣờng cong mƣợt mà đƣợc nhúng trong một ảnh.
Phƣơng pháp beamlet cung cấp một cấu trúc dữ liệu cơ bản chính xác cho xử lý việc phát hiện nhiễu và vấn đề phát hiện đƣờng biên.
III.1 Tổng quan phân tích beamlet
Phân tích beamlet đƣợc giới thiệu đầu tiên bởi Donoho và Huo nhƣ một cơng cụ cho việc phân tích ảnh đa tỷ lệ.Nội dung của phân tích beamlet phân phối với xấp xỉ của các đối tƣợng tuyến tính bằng các đoạn thẳng,nhƣ hình 3-1.
Hình 3-1. Xấp xỉ một đường thẳng bằng beamlet
Beamlet là khn khổ cho việc phân tích ảnh đa tỷ lệ trong đó các đoạn thẳng đóng vai trị tƣơng tự nhƣ vai trò của các điểm trong phân tích wavelet.Khn khổ có 5 thành phần chính :
(1) Từ điển beamlet là các đoạn thẳng đƣợc sắp xếp cặp đơi,chiếm một dải các cặp vị trí và tỷ lệ,và xảy ra tại một loạt các hƣớng.
(2) Biến đổi beamlet của một ảnh là bộ sƣu tập tích phân trên mỗi đoạn trong từ điển beamlet.
(3) Tháp beamlet chứa thông tin kết quả.
(4) Đồ thị beamlet là cấu trúc đồ thị với các góc điểm ảnh nhƣ các đỉnh và beamlet nhƣ các cạnh;một đƣờng ngang qua đồ thị tƣơng ứng một đa giác trong ảnh gốc. (5) Thuật toán cơ bản beamlet đƣợc công thức hóa bằng việc khai thác các thành
phần để xác định và trích dẫn beamlet và chuỗi beamlet với các đặc tính đặc biệt. Từ điển beamlet,biến đồi beamlet,kim tự tháp beamlet và đồ thị beamlet xây dựng một hệ thống phân cấp 4 cấp độ của các thuật toán beamlet. Cấp độ đầu tiên bao gồm các thủ tục đơn giản bỏ qua cấu trúc của tháp beamlet và đồ thị beamlet;cấp độ thứ hai khai thác chỉ sự phụ thuộc cha-con giữa các tỷ lệ ; cấp độ ba kết hợp chặt chẽ
quan hệ đồng tuyến tính và đồng cong; và cấp độ 4 cho phép tối ƣu hóa tồn cầu trên tồn bộ không gian của đa giác trong một ảnh.
III.2 Giới thiệu biến đổi beamlet
Với một ảnh pixel,vùng ảnh có thể đƣợc xem xét nhƣ ô vuông liên tục ,và các điểm ảnh nhƣ một mảng của ô vuông đƣợc sắp xếp trong một lƣới .Các định nghĩa sau giúp hiểu tốt hơn biến đổi beamlet.
Định nghĩa 1:Xem xét 2 điểm ảnh trong một ảnh .Đoạn thẳng
đƣợc gọi là chùm.Có chùm nhƣ vậy trong
Định nghĩa 2: Phân chia ảnh vào trong các cửa sổ tỷ lệ khác nhau ,với . Tất cả các chùm kết nối các đỉnh trên các đƣờng bao của cửa sổ đƣợc gọi là beamlet.
Chúng ta bắt đầu với một số thuật ngữ và ký hiệu.Chúng ta quan tâm đến dữ liệu hình ảnh nhƣ n bởi mảng n số,nhƣng chúng tơi chọn xem miền ảnh nhƣ ô vuông liên tục và các điểm ảnh nhƣ một mảng của bởi ô vuông đƣợc sắp xếp trong một mạng lƣới trong .
Một cặp ô vuông S là sự sƣu tập của các điểm {( ):[ ] [ ]} khi với một số nguyên .Thi thoảng chúng ta viết ví dụ là đơn vị ,và do đó nếu chúng ta có một mạng lƣới n-n với ,thì các điểm ảnh riêng là ô
, .
III.2.1 Từ điển beamlet
Giả sử chúng ta có các đỉnh và coi đoạn thẳng .Chúng ta gọi đó là một chùm.Nếu chúng ta chỉ xem xét các chùm đỉnh kết nối ( ) tại các góc điểm ảnh,có bậc .Chúng ta chú ý rằng có điểm ảnh,và thuật tốn xử lý ảnh nhanh điển hình mất bƣớc.Chúng ta đang tìm thuật tốn có bậc hoặc gần nhƣ vậy.Dựa vào bộ sƣu tập chùm nhƣ thiết bị tổ chức sẽ dẫn đến các thuật tốn khơng khả thi,vì vậy chúng ta tìm kiếm sự thay thế khác.
Lấy bộ sƣu tập của tất cả các cặp ô vuông ở tỷ lệ .Sửa lại một lƣợng độ phân giải với .Trong mỗi cặp ô vuông,đi qua đƣờng biên theo chiều kim đồng hồ bắt đầu từ góc bên phải và cách các đỉnh một khoảng .Khi là căp đơi và nó chia chu vi của mỗi cặp ô vuông với chiều dài ,thì có chính xác đỉnh đƣợc vạch ra trong một ô vuông S với cạnh .Gọi bộ sƣu tập của các đỉnh là ;nhãn các đỉnh theo thứ tự chúng đƣợc gặp phải theo chiều kim đồng hồ đi theo đƣờng biên,vì vậy .Nếu chúng ta xem xét hai cặp ơ vng bất kỳ có đƣờng biên giao nhau,dọc theo chỗ giao nhau của hai ô vng có các đỉnh chung;dƣới hệ thống nhãn chúng tôi có mặc dù .Chúng tơi để biểu thị bộ sƣu tập của tất cả các đỉnh trong với là cặp chiều dài ,và chúng ta để biểu thị hàng rào của tất cả đƣờng dọc và ngang trong khơng gian với khoảng cách .
Hình 3-2.Beamlet tại các tỷ lệ khác nhau (ô vuông với chiều dài cạnh khác nhau)
Trong mỗi cặp ô vuông ,xem xét bộ sƣu tập của tất cả các chùm kết nối các đỉnh trên đƣờng biên của :
. (3.1)
Định nghĩa 1. Cho cặp và ,tập hợp của beamlet là bộ sƣu tập của tất cả chùm thuộc một số cho mỗi cặp ô vuông với chiều dài cạnh .
Chúng ta lƣu ý rằng beamlet chỉ liên kết các đỉnh trên đƣờng bao của một ơ vng,do đó mặc dù họ beamlet đƣợc xây dựng từ đỉnh,nó chứa nhiều hơn
.Thực tế,khi ,chúng ta có
(3.2)
Ví dụ,giả sử .Khi đó có 4 đỉnh liên quan với bất ký ơ vng nào có chiều dài cạnh ;đây là những góc ơ vng,và chúng ta có :
(3.3)
Mặc dù có điểm ảnh,và mặc dù chùm có thể xác định dựa trên các góc điểm ảnh,bộ sƣu tập của beamlet lớn hơn .Từ đó suy ra rằng tìm kiếm tồn diện thơng qua bộ sƣu tập của beamlet có thể chạy nhanh hơn tìm kiếm đầy đủ thơng qua bộ sƣu tập của chùm.
Một số lƣợng tƣơng đối nhỏ beamlet có thể đƣợc sử dụng nhƣ là một sự thay thế cho chùm đơn bất kỳ.Chúng ta chứng minh :
Bổ đề 1. Một chùm nào với điểm cuối ở bất kỳ đâu trong có thể đƣợc xấp xỉ trong khoảng cách Hausdorff bằng chuỗi liên tục của beamlet với m là số beamlet yêu cầu đƣợc bao bởi với .
III.2.2 Biến đổi Beamlet
là hàm liên tục trên .Biến đổi beamlet của hàm là bộ sƣu tập của tất cả tích phân đƣờng
(3.4)
Tích phân đƣợc lấy dọc theo đoạn thẳng ; vạch ra beamlet dọc
theo một đơn vị tốc độ đƣờng.Biến đổi beamlet số của mảng đƣợc hiểu là biến đổi beamlet của hàm xác định liên tục bằng cách nội suy các giá trị
:
với là một họ đặc biệt của các hàm nội suy liên tục.Có vài hàm nhƣ
có thể chọn đƣợc.Lấy biểu thị ô vuông
.Hàm có thể đƣợc chọn để làm theo các điều kiện
(3.6)
Với là ký hiệu Kronecker. là hàm thỏa mãn
(3.7)
Hay nói cách khác,giá trị của đƣợc coi nhƣ mức trung bình điểm ảnh của hàm
liên tục .
Hình 3-3.Minh họa cho sự nội suy từng khoảng không đổi của ảnh số,và biến đổi beamlet liên quan
Biến đổi beamlet là một tổng trọng số của giá trị điểm ảnh có liên quan các ơ vng (đậm)
III.2.3 Tháp beamlet
Tháp beamlet là bộ sƣu tập của tất cả tích phân với .Cấu trúc này thể hiện bản chất đa tỷ lệ trong một tháp nhƣng thể hiện các quan hệ nhân quả chỉ một cách tƣơng đối.
Nếu chúng ta coi,tại thời điểm này,một từ điển beamlet liên tục lý tƣởng thu đƣợc bằng cách cho trong định nghĩa beamlet,chúng ta đƣợc một hệ thống tuân theo
một quan hệ hai- tỷ lệ:mỗi beamlet liên tục có thể đƣợc chia ra thành một liên kết của ít nhất 3 beamlet ở tỷ lệ tốt hơn tiếp theo.
Hình 3 sẽ minh chứng điều này,nó minh họa sự phân chia của một beamlet b thành 3 beamlet và ở một tỷ lệ tốt hơn.
Hình 3-4. Phân chia của một beamlet thành ba beamlet tại tỷ lệ tốt hơn tiếp theo
Thuộc tính phân tích qua trọng chúng ta thu đƣợc từ sự phân chia này
(3.8)
của một beamlet thô thành beamlet tỷ lệ mịn hơn
(3.9)
Trong thực tế,chúng tôi làm việc với ,và do mối quan hệ hai tỷ lệ này chỉ đúng trong một ý nghĩa gần đúng: có một chuỗi của ít nhất ba beamlet ở tỷ lệ mịn tiếp theo lệch nhiều nhất từ beamlet tỷ lệ thô.
III.2.4 Đồ thị beamlet
Gắn liền với tháp beamlet là đồ thị beamlet.Đồ thị có đỉnh-tƣơng ứng với các điểm ảnh của một ảnh - và cạnh-tƣơng ứng với biến đổi beamlet từ .Hai đỉnh của đồ thị beamlet đƣợc liên kết bằng một cạnh nếu và chỉ nếu chúng tƣơng ứng với các điểm ảnh có góc trái thấp hơn đƣợc liên kết bởi beamlet. Trong đồ thọ beamlet,một vài đỉnh chỉ có những kết nối lân cận gần nhất ,nhƣng nhiều đỉnh khác có những kết nối tốt với các đỉnh khác,các đỉnh tƣơng ứng với các
điểm ảnh có thể là 2,4,8,16…Một minh họa của các kết nối khác nhau cho các đỉnh khác nhau nhƣ trong hình 3-5.
Hình 3-5. Một minh họa liên kết khác nhau của các đỉnh khác nhau trong một đồ thị beamlet.
Đồ thị beamlet nên đƣợc so sánh với đồ thị khác sử dụng trong phân tích ảnh: đồ thị lân cận gần nhất.Trong đồ thị lân cận gần nhất,một lần nữa các đỉnh tƣơng ứng với
một điểm ảnh,nhƣng chỉ đƣợc liên kết tƣơng ứng với những điểm ảnh là lân cận gần nhất ở trong ảnh(thực ra có hai biến thể-đồ thị 4 lân cận (liên kết chéo) và đồ thị 8 lân cận (liên kết sao)-mục đích của chúng ta tƣơng tự với cả hai).
Nó tƣơng phản với hai cấu trúc .
Bội giác. Trong khi hai đỉnh trong đò thị lân cận gần nhất tƣơng ứng với các điểm ảnh đối diện cuối của ảnh có thể đƣợc liên kết bởi một đƣờng của cạnh,các đỉnh tƣơng ứng trong đồ thị beamlet có thể đƣợc liên kết bởi một đƣờng của một vài cạnh:không hai đỉnh nào trong đồ thị beamlet nhiều hơn
cạnh.
Đường/Đa giác đẳng cấu. Trong mỗi cấu trúc đồ thị,mỗi đƣờng đến đồ thị tƣơng ứng với một đƣờng cong đa giác trong ảnh.Các đƣờng cong đa giác đƣợc tạo ta từ các đƣờng trong đồ thị lân cận gần nhất có thể có một sự xuất hiện khác biệt hẳn so với những thứ tạo ra trong đồ thị beamlet.Điều này sẽ đƣợc cụ thể trong ba quan sát tiếp theo :
Tính chất đa tỷ lệ. Trong khi một đƣờng cong đa giác xuất phát từ đồ thị lân
cận gần nhất có nhiều mảnh có kích thƣớc tƣơng tự nhau và do đó nói chung là đơn tỷ lệ,thì một đƣờng cong đa giác xuất phát từ đồ thị beamlet có thể có các đỉnh đa dạng về độ dài,một vài trong số đó có thể là tỷ lệ tồn cục,tỷ lệ điểm ảnh khác.
Đường cong tích hợp. Trong khi một đƣờng trong đồ thị lân cận gần nhất nõi
chung tƣơng ứng với một đa giác đƣờng cong trong ảnh mà làm cho nhiều vịng nhỏ.nó có thể cho một đƣờng trong đồ thị beamlet tƣơng ứng với một đƣờng