bài tập tốn
Các hoạt động trí tuệ trong mơn tốn có thể kể đến như: Dự đốn, bác bỏ, lật ngược vấn đề, các thao tác tư duy toán học...Rèn luyện cho học sinh những hoạt động đó là khâu quan trọng nhất trong dạy học sáng tạo.
Xét một số bài toán sau đây, rèn luyện khả năng khái quát hoá và tương tự của học sinh:
BT1: Cho 2 điểm A, B phân biệt.
a) Chứng minh tồn tại duy nhất một điểm G sao cho: GA GB 0uuur uuur r+ = b) ∀M ta có: MA MB 2MGuuuur uuuur+ = uuuur.
Giải: a) Từ đẳng thức GA GB 0uuur uuur r+ = ⇔ GB BA GB 0uuur uuur uuur r+ + = ⇔ 2GB ABuuur uuur= . Đẳng thức này chứng tỏ G tồn tại duy nhất, chính là trung điểm AB. b) ∀M, ta có: MA MB MG GA MG GBuuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur+ = + + + =
= 2MG GA GB 2MGuuuur uuur uuur+ + = uuuur ( theo kết quả trên).
Qua cách giải bài toán trên, ta gặp lại kết quả quen thuộc đã biết, nhưng cách chứng minh hồn tồn khác vì cách hỏi khác. Việc giải theo cách trên dựa vào phương pháp chứng minh đẳng thức vetơ mà ta đã biết.
Vấn đề đặt ra là, theo phép suy luận tương tự, ta có những bài tốn nào khác không?
BT2: Cho ∆ABC.
a) Chứng minh tồn tại duy nhất điểm G sao cho: GA GB GC 0uuur uuur uuur r+ + = b) ∀M: MA MB MC 3MGuuuur uuuur uuuur+ + = uuuur.
Giải: Rõ ràng bài toán này tương tự trên. Nhưng cách suy luận cũng phải suy
nghĩ thêm.
a) Sử dụng kết quả BT1 và gọi M trung điểm BC, từ đẳng thức giả thiết: BT không theo mẫu
GA GB GC 0+ + = uuur uuur uuur r
⇔ GA 2GM 0uuur+ uuuur r= ⇔GAuuur= −2GMuuuur, M trung điểm BC. Đẳng thức này chứng tỏ G tồn tại duy nhất, và chia trung tuyến AM theo tỉ số 2. Vậy G là trọng tâm ∆ABC.
b) ∀M ta có: MA MB MC MA AG MB BG MC CGuuuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuur+ + = + + + + + = = 3MG (GA GB GC) 3MGuuuur+ uuur uuur uuur+ + = uuuur, (theo kết quả a).
BT3: Cho tứ giác ABCD.
a) Chứng minh tồn tại duy nhất điểm G sao cho: GA GB GC GD 0+ + + = uuur uuur uuur uuur r b) ∀M: MA MB MC MD 4MGuuuur uuuur uuuur uuuur+ + + = uuuur
Giải: Đối với cách giải bài này, mỗi một cách nhóm khác nhau ta được một
điều thú vị là một định lý trong tứ giác. Sau đây ta nghiên cứu một số cách nhóm sau:
Cách 1: Dùng kết quả BT1, ta có:
MA MB 2MI+ = uuuur uuuur uuur
, với I trung điểm AB. MC MD 2MJ+ =
uuuur uuuur uuur
, với J trung điểm CD.
Cộng lại ta có: MA MB MC MD 0uuuur uuuur uuuur uuuur r+ + + = ⇔ 2(MI MJ) 0uuur uuur+ = ⇔r 4MG 0uuuur r= Vậy M≡G là trung điểm IJ, chính là trọng tâm tứ giác ABCD.
Cách 2: Dùng kết quả BT1, ta có:
MA MD 2MP+ = uuuur uuuur uuur
, với P trung điểm AD. MB MC 2MQ+ =
uuuur uuuur uuuur
, với Q trung điểm BC.
Cộng lại ta có: MA MB MC MD 0uuuur uuuur uuuur uuuur r+ + + = ⇔ 2(MP MQ) 0uuur uuuur+ = ⇔r 4MG 0uuuur r= Vậy M≡G là trung điểm PQ, chính là trọng tâm tứ giác ABCD.
Cách 3: Dùng kết quả BT1, ta có:
MA MC 2MR+ = uuuur uuuur uuuur
, với R trung điểm AC MB MD 2MS+ =
uuuur uuuur uuur
, với S trung điểm BD
Cộng lại ta có: MA MB MC MD 0uuuur uuuur uuuur uuuur r+ + + = ⇔ 2(MR MS) 0uuuur uuur+ = ⇔r 4MG 0uuuur r= Vậy M≡G là trung điểm RS, chính là trọng tâm tứ giác ABCD.
Như vậy, mỗi một cách nhóm khác nhau ta đều có kết quả G là trọng tâm tứ giác ABCD, và cũng từ đó ta có :
Định lý: Trong một tứ giác, 2 đường nối trung điểm 2 cặp cạnh đối diện và
đường nối trung điểm hai đường chéo đồng quy tại trung điểm mỗi đường (trọng tâm G của tứ giác).
b) Chèn điểm G như trên.
BT4: Ta có bài tốn tổng quát sau: Cho n điểm A1, A2,...,An, n > 2, G là trọng
tâm của hệ điểm, thì: a) n i i 1 GA 0 = = ∑uuur r; b) ∀M: n i i 1 MA n.MG = = ∑uuuur uuuur.
Tổng quát hơn nữa ta có khái niệm tâm tỉ cự cho hệ điểm, ứng dụng của nó sẽ xét trong phần sau.
BT5: Cho 2 điểm phân biệt A, B và hai số thực α, β thoả mãn α+β≠0, thì: a) Tồn tại duy nhất điểm I sao cho: IAα + β =uur IB 0uur r
b) ∀M: MAαuuuur+ βMB (uuuur= α + β)MIuuur
Điểm I gọi là tâm tỉ cự của hệ 2 điểm A, B theo bộ số (α,β).
BT6: Cho ∆ABC và 3 số thực α, β, γ thoả mãn: α+β+γ≠0, thì:
a) Tồn tại duy nhất điểm I sao cho: IAα + β + γ =uur IBuur IC 0uur r b) ∀M: MAαuuuur+ βMBuuuur+ γMC (uuuur= α + β + γ)MIuuur.
Điểm I gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A, B, C theo bộ số (α,β,γ).
BT7: (Tổng quát) Cho n điểm A1, A2,...,An, n > 2 và n số thực α1, α2,...,αn thoả mãn: α1+α2+...+αn≠0, thì:
a) Tồn tại duy nhất điểm I sao cho: n i i 1 IA 0 = = ∑uur r b) ∀M: n i 1 2 n i 1 MA ( ... )MI = = α + α + + α ∑uuuur uuur
Trong q trình dạy tốn ở trường phổ thông, các thao tác tư duy như trên trở thành một phương pháp tư duy cơ bản trong sáng tạo toán học, là yếu tố quan trọng giúp học sinh hình thành, nắm vững các khái niệm và tri thức lý thuyết, vận dụng để giải toán, mị mẫm, dự đốn kết quả, tìm ra phương hướng và phương pháp hay cho lời giải bài toán. Mặt khác các thao tác tư duy còn giúp học sinh đào sâu, mở rộng và hệ thống hoá kiến thức, giúp các em làm quen dần với nghiên cứu, sáng tạo toán học. Và như vậy, các thao tác tư duy tốn học đóng vai trị quan trọng trong việc hình thành, bồi dưỡng những phẩm chất trí tuệ cho học sinh.