Đối với bài tập phần này, ngoài sự nhuần nhuyễn về kiến thức, còn đòi hỏi phải linh hoạt trong từng bài cụ thể. Dạng này cũng được xây dựng hệ thống bài tập dựa trên kiến thức cơ bản về vectơ, có thể tương tự và tổng quát trong tam giác, tứ giác qua một số bài tập cụ thể, tính sáng tạo được thể hiện trong mỗi dạng bài tập cụ thể. Đặc biệt khi sử dụng kiến thức về tâm tỉ cự để xây dựng bài tập dạng này.
Sau đây là lời giải một số bài cụ thể:
BT25: Cho ∆ABC, tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:
1) | 3MA 2MB MC | | MB MA |uuuur− uuuur uuuur uuuur uuuur+ = − 2) 2 | MA MB MC | 3| MB MC |uuuur uuuur uuuur+ + = uuuur uuuur+
3) | MA 3MB 2MC | | 2MA MB MC |uuuur+ uuuur− uuuur= uuuur uuuur uuuur− − 4) 2 | MA MB MC | | MA 2MB 3MC |uuuur uuuur uuuur uuuur+ + = + uuuur+ uuuur ;
B
F
DH H
M'
5) | 2MA MB | | 4MB MC |uuuur uuuur+ = uuuur uuuur−
Giải:
* Đánh giá chung về phương pháp suy luận bài này: Nếu các tổng, hiệu vectơ ở 1 vế có hệ số bằng nhau đơi một, thì sử dụng phép cộng hoặc trừ vectơ hoặc tính chất trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác (tâm tỉ cự hệ 2 điểm, 3 điểm), còn nếu không sử dụng tâm tỉ cự tổng quát. Qua đó ta thấy có thể tổng qt hố phương pháp giải loại toán này. Cụ thể:
1) | 3MA 2MB MC | | MB MA |uuuur− uuuur uuuur uuuur uuuur+ = −
Vế trái sử dụng tâm tỉ cự I cỉa 3 điểm A, B, C theo bộ số (3,-2,1), thì VT=2MI Vế phải là hiệu hai vectơ, nên VP=AB
Vậy M∈(I,AB/2).
2) 2 | MA MB MC | 3| MB MC |uuuur uuuur uuuur+ + = uuuur uuuur+
VT=2.3.MG=6MG, với G là trọng tâm ∆ABC (tâm tỉ cự của 3 điểm A, B, C theo bộ số (1,1,1)).
VP=3.2.MI=6MI, với I trung điểm BC (tâm tỉ cự của 2 điểm A, B theo bộ số (1,1). Vậy M∈(d) là trung trực của GI.
3) | MA 3MB 2MC | | 2MA MB MC |uuuur+ uuuur− uuuur= uuuur uuuur uuuur− −
Tương tự: VT=2MI, với I là tâm tỉ cự của A, B, C theo bộ số (1,3,-2) VP=2JA, với J trung điểm BC. Vậy M∈(I,JA).
4) 2 | MA MB MC | | MA 2MB 3MC |uuuur uuuur uuuur uuuur+ + = + uuuur+ uuuur ; 5) | 2MA MB | | 4MB MC |uuuur uuuur+ = uuuur uuuur−
Các ý cịn lại làm tương tự.
BT27: Cho ∆ABC vng tại A, M là điểm thay đổi trong tam giác; D,E,F là hình chiếu của M lên BC, CA, AB.
Tìm tập hợp các điểm M sao cho: | MD ME MF | | MA |uuuur uuur uuur+ + = uuuur .
Giải: Vẽ đường cao AH, lấy M' trên AH sao cho
AM ' MD= uuuur uuuur
Khi đó: | MD ME MF | | MA |uuuur uuur uuur+ + = uuuur ⇔
⇔| MD MA | | MA | | MM ' | | MA |uuuur uuuur uuuur+ = ⇔ uuuuur uuuur= ⇔
⇔ | MM' | | DM ' |uuuuur uuuuur= ⇔ M'∈trung trực của MD ⇔ M'H=MD/2 ⇔ M'H=M'A/2 ⇔ MD=2/3AH.
Vậy tập hợp M là phần đường thẳng song song với BC, cách BC một khoảng bằng 2/3AH, nằm trong tam giác.
* Đối với bài tốn này, việc tìm được tổng ở vế trái đòi hỏi phải nắm vững kiến thức, sáng tạo trong khi giải tốn. Điều này được thể hiện bởi tính nhuần nhuyễn và độc đáo khi dựng thêm điểm M' và thay thế các vectơ bằng nhau phù hợp trong bài toán.