5) Toạ độ hoá
2.2.2.5. Hệ thống bài tập về đường trịn và đường cơnic
BT82: Viết phương trình đường trịn qua 3 điểm: A=(2,6), B=(-3,-4), C=(5,0). BT83: Viết phương trình đường trịn qua A=(1,2) và tiếp xúc với 2 trục toạ độ.
BT84: Viết phương trình đường trịn
a) Qua A=(0,-1), B=(0,- 4) và tiếp xúc Ox. b) Qua A=(1,2), B=(5,4) và tiếp xúc Oy.
c) Qua A=(1,0), B=(2,0) và tiếp xúc đường thẳng (d): x-y=0.
BT85: Viết phương trình đường trịn tiếp xúc (d): x-y-1=0 tại A=(2,1) và có
tâm nằm trên đường thẳng (d'): x-2y-6=0.
BT86: Viết phương trình đường trịn qua A=(1,0) và tiếp xúc với 2 đường
thẳng (d): x+y-2=0 và (d'): x+y+3=0.
BT87 : Viết phương trình đường trịn qua A=(1,2) và tiếp xúc với 2 đường
thẳng (d): 3x-y+3=0 và (d'): x-3y+9=0.
BT88: Viết phương trình đường trịn qua A=(1,1), tiếp xúc đường thẳng
(d): 2x-y-1=0, có tâm nằm trên đường thẳng (d'): x+y=0.
BT89: Viết phương trình đường trịn qua A=(2,1), B=(-2,3) và tiếp xúc
đường tròn (C'): x2+y2=1.
BT90: Viết phương trình đường trịn qua A=(4,-1) và tiếp xúc với đường trịn
(C): x2+y2=5 tại điểm B=(2,1).
BT91: a) Viết phương trình đường tròn nội tiếp ∆OAB với A=(4,0), B=(0,3).
b) Viết phương trình đường trịn nội tiếp (∆) tạo bởi 3 đường thẳng: 2x-3y +21=0, 2x+3y+9= 0 và 3x-2y-6=0.
BT92: Cho đường trịn (C): x2+y2=4. Tìm M trên Ox, Oy, (d): x+y-2=0 qua đó kẻ được đến (C) hai tiếp tuyến tạo với nhau góc 600, 900.
BT93: Cho đường trịn (C): (x-1)2+(y+4)2=16. Tiếp tuyến qua M=(-4,-6) tiếp xúc với đường tròn tại A, B. Viết phương trình đường thẳng AB.
BT94: Cho đường trịn (C): (x+2)2+(y-3)2=9. Viết phương trình đường thẳng qua A=(1,1) và cắt (C) theo một dây cung độ dài 2 đơn vị.
BT95: Cho đường trịn (C): (x+2)2+(y-3)2=9. Viết phương trình đường thẳng qua A=(1,1) và cắt (C) theo một dây cung có độ dài ngắn nhất.
Tìm M trên Ox, Oy, (d): x+y+4=0 sao cho 2 đoạn tiếp tuyến kẻ từ M đến hai đường tròn bằng nhau.
BT97: Cho đường tròn (C): x2+(y-2)2=16. Qua điểm M trên (d): x+y-2=0 kẻ đến (C) các tiếp tuyến. Chứng minh các đường thẳng qua 2 tiếp điểm qua một điểm cố định.
BT98: Cho đường tròn (C): (x-2)2+y2=36 và điểm M=(1,2) trong (C). Qua M kẻ một cát tuyến bất kỳ cắt (C) tại A,B. Chứng minh giao điểm các tiếp tuyến tại A và B thuộc một đường thẳng cố định.
BT99: Cho đường trịn (C): x2+y2-4x+2y-5=0. Viết phương trình các đường thẳng qua A=(0,3) và khơng có điểm chung với (C).
BT100: Cho đường tròn (C): x2+y2-2x+4y-20=0 và đường thẳng (d) có phương trình: x-7y+10=0.Lập phương trình đường trịn qua C=(1,-2) và hai giao điểm của (d) và (C).
BT101: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x2+y2+6x-2y+5=0: a) Tại giao điểm của (C) với (d): x+y-1=0;
b) Qua A=(-1,0); B=(1,4).
BT102: Viết phương trình tiếp tuyến với đường trịn (C): x2+y2+4x-2y-5=0 tạo với đường thẳng (d): 2x+y-1=0 một góc 450.
BT103: Cho đường trịn (C): x2+y2+2x-4y-8=0.
Tìm trên Ox, Oy, (d): x-y+1=0 các điểm kẻ đến (C) được 2 tiếp tuyến vng góc nhau, tạo với nhau góc 600.
BT104: Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường trịn:
a) (C1): x2+y2-6x-5= 0 và (C2): x2+y2-12x-6y+44= 0. b) (C1): x2+y2-4x-8y+11= 0 và (C2): x2+y2-2x-2y-2=0. c) (C1): x2+y2-4x-6y+4= 0 và (C2): x2+y2-10x-14y+70 =0.
BT105: Cho A=(0,a), B=(b,0), C=(-b,0), với a, b > 0.
b) Gọi M là điểm trên (γ) và d1, d2, d3 là khoảng cách từ M đến AB, AC, BC. Chứng minh: d1.d2= 2
3d . d .
BT106: Cho A=(a,0), B=(0,a).
a) Viết phương trình đường trịn (C) tiếp xúc Ox tại A, tâm C với yC= m 2
2 . Xác định giao điểm thứ hai P của (C) với AB.
b) Viết phương trình đường trịn (C') qua P và tiếp xúc Oy tại B.
c) (C) và (C') cắt nhau tại P,Q. Viết phương trình đường thẳng PQ. Chứng minh khi m thay đổi, PQ qua một điểm cố định.
BT107: Cho A=(a,0), B=(0,b) với ab≠0. Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc Ox tại
A với tâm C, yC=m, với m≠0, m≠a2 b2 2b
+ .
a) Đường thẳng AB cắt (C) tại giao điểm thứ hai P. Xác định P. b) Xác định tâm K đường tròn (K) tiếp xúc Oy tại B và qua P.
c) (C) cắt (K) tại P,Q. Chứng minh khi m thay đổi PQ qua một điểm cố định.
BT108: Cho (E):
2 22 2 2 2 x y
1
a + b = . Chứng minh tích các khoảng cách từ 2 tiêu điểm đến một tiếp tuyến bất kỳ bằng bình phương độ dài nửa trục nhỏ.
BT109: Cho (E):
2 22 2 2 2 x y
1
a + b = . Tìm tập hợp các điểm M,N trên một tiếp tuyến bất kỳ mà hai tiêu điểm ln nhìn M,N dưới một góc vng.
Xác định tiếp tuyến để SFMN nhỏ nhất.
BT110: Cho (E):
2 2x y x y
1
50+ 8 = , (d) là một tiếp tuyến bất kỳ của (E), (d) cắt Ox tại A, Oy tại B. Xác định M để diện tích ∆OAB nhỏ nhất.
BT111: Cho (E):
2 2x y x y
1
18 + 8 = , (d) là một tiếp tuyến bất kỳ của (E), (d) cắt Ox tại A, Oy tại B. Xác định M để MN nhỏ nhất.
BT112: Cho (E):
2 2x y x y
1
9 + 4 = và đường thẳng (d): 3x+4y+24=0. Tìm M trên (E) có khoảng cách đến (d) lớn nhất, nhỏ nhất.
BT113: Cho (E): 16x2+25y2 = 400. Tìm điểm M∈(E) ln nhìn F1F2 dưới một góc 900, 600.
BT114: Viết phương trình các cạnh hình vng ngoại tiếp (E):
2 2x y x y
1 6 + 3 = .
BT115: Cho (E): x2+4y2=4 và 2 điểm M=(-2,m), N=(2,n).
a) Gọi A1, A2 là các đỉnh trên trục lớn. Viết phương trình A1N và A2M. Xác định toạ độ giao điểm I của chúng.
b) Cho MN thay đổi và ln tiếp xúc (E). Tìm quỹ tích I.
BT116: Cho (E):
2 22 2 2 2 x y
1
a +b = . Gọi AA' là trục lớn của (E), dựng các tiếp tuyến At, A't'. Một tiếp tuyến qua điểm M∈(E) cắt At và A't' tại T và T'.
a) Chứng minh: AT.A'T' không phụ thuộc M.
b) Tìm quỹ tích giao điểm N của AT' và A'T khi M chạy trên (E).
BT117: Trong tất cả các hình chữ nhật ngoại tiếp (E). Xác định hình chữ nhật
có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất.
BT118: Cho (E):
2 2x y x y
1
9 + 4 = và hai đường thẳng d: ax-by =0, d': bx+ay =0 với a2+b2≠0. a) Xác định giao điểm M,N của d với (E) và P,Q của d' với (E).
b) Tính SMNPQ;
c) Tìm điều kiện của a, b để diện tích trên Min, Max.
BT119: Cho góc vng xOy. A và B theo thứ tự là các điểm chuyển động
trên các tia Ox, Oy sao cho AB=l không đổi. Chứng minh mỗi điểm trên đoạn AB di động trên một elip, trừ trung điểm của AB.
BT120: Cho đường trịn đường kính AB tâm O. Một dây cung MN chuyển
động và ln vng góc với AB tại H, I là điểm thuộc đoạn HM sao cho HI=kHM, với 0 < k < 1. Tìm quỹ tích I.
BT121: Cho 2 đường tròn đồng tâm O, bán kinh a,b ( a>b). Một tia Ot chuyển
động, quay quanh gốc O, cắt hai đường tròn theo thứ tự ở P và Q. Đường thẳng d qua P song song Oy cắt đường thẳng d' qua Q song song Ox tại M. Tìm quỹ tích của M khi Ot chuyển động.
BT122: Cho (E):
2 22 2 2 2 x y
1
a + b = . Trục lớn AA'=2a, M là điểm chuyển động trên (E). Tìm quỹ tích trực tâm H của ∆MAA'.
BT123: Cho (E):
2 22 2 2 2 x y
1
a + b = , a >b. M=(x0,y0) ∈(E). Chứng minh rằng tiếp tuyến tại M là phân giác ngoài của ·
1 2
FMF (Định lý Pascal).
BT124: Cho (E), M là điểm ngoài (E). Từ M vẽ các tiếp tuyến với (E), với
tiếp điểm T,T'. Chứng minh:
a) FMT F'MT '· =· ; b) FM là phân giác trong của TFT' và F'M là· phân giác trong của T'F'T ( Bài tốn Poncelet)·
BT125: Cho (E), a>b. Tìm tập hợp các điểm M mà qua đó vẽ được 2 tiếp
tuyến vng góc nhau. ( Bài tốn Monge).
BT126: Cho (E):
2 22 2 2 2 x y
1
a + b = . Dựng 2 tia Ot ⊥Ot' cắt (E) tại M,M'. Chứng minh: 1) 1 2 1 2 12 12 OM +OM ' =a +b 2) MM' tiếp xúc một đường tròn cố định. BT127: Cho (H): 2 2 2 2 x y 1
a −b = . (d) là một tiếp tuyến bất kỳ của (H) tại M. (d) cắt hai tiệm cận tại A,B.
a) Chứng minh M là trung điểm của AB. b) Chứng minh ∆OAB có diện tích khơng đổi.
2 2 2 2 x y 1 a − b = đến các tiệm cận của nó là một hằng số. BT129: Cho (H): 2 2 2 2 x y 1 a −b = .
a) Tính độ dài phần tiệm cận chắn bởi hai đường chuẩn.
b) Tính khoảng cách từ tiêu điểm của (H) đến các đường tiệm cận. c) Chứng minh chân đường vng góc hạ từ một tiêu điểm tới các đường tiệm cận nằm trên đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm đó.
BT130 : Tìm điều kiện của a, b, c, d để (E):
2 22 2 x y 1 a2 + b = trực giao với (H): 2 2 2 2 x y 1 c −d = . BT131: Cho (H): 2 2 x y 1
4 − 9 = . Gọi (d) là đường thẳng qua O và có hệ số góc k, (d') là đường thẳng qua O và vng góc (d).
a) Tìm điều kiện của k để (d) và (d') đều cắt (H).
b) Tính theo k diện tích hthoi với 4 đỉnh là 4 giao điểm của (d) và (d') với (H).
c) Xác định k để hình thoi trên có diện tích nhỏ nhất.
BT132: Trên mặt phẳng (P) cho đoạn AA'=2a và điểm M chuyển động sao
cho hiệu giữa hai góc A và A' của ∆MAA' bằng 900. Tìm tập hợp M.
BT133: Cho (H):
2 22 2 2 2 x y
1
a −b = . Một đường thẳng ∆ cắt (H) tại M,N cắt hai tiệm cận tại P,Q. Chứng minh PM=NQ.
BT134: Cho (H):
2 22 2 2 2 x y
1.
a − b = Tìm quỹ tích các điểm M sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vng góc đến (H). ( Bài tốn Monge).
BT135: Cho (H) vuông xy=k2. Gọi A,B,C là 3 điểm phân biệt trên (H) có hồnh độ a,b,c. Các đường thẳng AB, BC, CA cắt trục hoành theo thứ tự tại
M,N,P. Chứng minh các đường thẳng d1, d2, d3 theo thứ tự qua M vng góc AB, qua N vng góc với BC, qua P vng góc với CA đồng quy. (Bài toán Simson).
BT136: Cho (P): y2=2px. Gọi PT và PT' là hai tiếp tuyến xuất phát từ một điểm P, T và T' là tiếp điểm. Pd là tia qua P song song với Ox cắt đường chuẩn (D) tại Q và dây cung TT' của (P) tại M.
a) Chứng minh M là trung điểm của TT'.
b) Gọi tiêu điểm của (P) là F, chứng minh QF⊥TT'.
c) Pd cắt (P) tại N. Chứng minh tiếp tuyến ∆ tại N của (P) song song với TT'.
BT137: Cho (P): y2=2px. Gọi P là điểm sao cho qua P kẻ được hai tiếp tuyến đến (P) và vng góc nhau.
Chứng minh hai tiếp điểm và tiêu điểm F thẳng hàng và PF⊥MN.
BT138: Tìm tập hợp các điểm mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (P):
y2=2px và vng góc nhau.
BT139: Cho M là điểm trên (P): y2=64x, N là điểm trên đường thẳng (d) có phương trình: 4x+3y+64=0. a) Xác định M,N để MN ngắn nhất.
b) Với kết quả trên, chứng minh MN ⊥ tiếp tuyến của (P) tại M.
BT140: Cho A=(3,0) và (P): y=x2.
a) M là điểm trên (P) có xM=a. Tính AM. Xác định a để AM ngắn nhất. b) Khi AM ngắn nhất, c/m AM ⊥ tiếp tuyến của (P) tại M.