5) Toạ độ hoá
2.2.2.3.Hệ thống bài tập về toạ độ và vectơ trên trục
BT39: Trên trục x'Ox cho 4 điểm M,A,B,C. Chứng minh:
2) MA .BC MB .CA MC .AB BC.CA.AB 02 + 2 + 2 + = ( Hệ thức Stewart)
BT40: Trên trục x'Ox cho 4 điểm A, B, C, D; I trung điểm AB, K trung điểm
CD. Chứng minh các điều kiện sau là tương đương. 1) CA DA
CB = −DB ; 2) 2 1 1
AB = AC AD+ ( Hệ thức Đềcác) 3) 2
IA =IC.ID( Hệ thức Newton); 4) AC.AD AB.AK= (Hệ thức Macloranh)
BT41: Trên trục x'Ox, cho 3 điểm A,B,C. Chứng minh tồn tại duy nhất điểm
M thoả mãn: MA3 +MB3 +MC3 −3MA.MB.MC 0=
BT42: Cho (ABCD)=-1. Chứng minh:
1) CA.DB CB.DA 0+ = ; 2) 2(ab+cd)=(a+c)(b+d) 3) 1 1 1 1 0 CA CB DA+ + +DB = ; 4) BA 2.DA BC = DC 5) 2 CA OA CB OB = ÷ , O trung điểm CD.
BT43: (Định lý Mênêlauyt) Cho ∆ABC, 3 điểm M, N, P theo thứ tự trên các đường BC, CA, AB. Chứng minh M,N,P thẳng hàng khi và chỉ khi:
MB NC PA
. . 1
MC NA PB = .
BT44: (Định lý Xêva) Cho ∆ABC, 3 điểm M,N,P theo thứ tự trên các đường BC,CA,AB. Chứng minh các đường thẳng AM,BN,CP đồng quy hoặc song song khi và chỉ khi: MB NC PA. . 1
MC NA PB = − .
BT45: Cho ∆ABC. Trên các cạnh CA,CB lấy M,N sao cho: AM=3MC,
CN=2NB. Gọi O=AN∩BM. Tính diện tích ∆ABC biết diện tích ∆OBN bằng 1.
BT46: Cho ∆ABC có 3 canh a,b,c. Vẽ các phân giác AA', BB', CC'. Gọi I là
BT47: Cho 3 tia Ox,Oy,Oz. Trên Ox lấy A,A', trên Oy lấy B,B', trên Oz lấy
C,C' . Đặt M=BC∩B'C', N=CA∩C'A', P=AB∩A'B'.
Chứng minh: M,N,P thẳng hàng. (Định lý Đêdacgơ)
BT48: (Định lý Cácnô) Cho ∆ABC, các điểm M,N,P thuộc BC, CA, AB. Các
đường thẳng d1, d2, d3 lần lượt qua M, N, P và vng góc với BC, CA, AB. Chứng minh d1, d2, d3 đồng quy khi và chỉ khi:
(MB2-MC2)+(NC2-NA2)+(PA2-PB2)=0.