* Hệ thống bài tập này được xây dựng dựa trên các khái niệm, tính chất của vectơ trên hệ trục, phương trình của đường thẳng trong mặt phẳng. Ngồi ra, việc tạo nên cấu trúc bài tập còn dựa vào các tính chất của tam giác, tứ giác trong hình học phẳng ở THCS. Do đó, sử dụng thành thạo được các tính chất cơ bản của đường cao, đường trung bình, đường phân giác...của tam giác cũng là thể hiện tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính nhạy cảm của tư duy sáng tạo.
Mặt khác việc phát triển hệ thống bài tập cũng được dựa trên cơ sở vận động của vấn đề, chẳng hạn như: Khi biết 1 đỉnh và 2 đường cao của tam giác, ta xác định được các yếu tố còn lại. Khi cho 2 đường cao thành trung tuyến, phân giác... hay một đường này một đường kia, ta được một hệ thống bài khá hoàn chỉnh về loại này. Loại này đã nói trong ví dụ phần trước.
Sau đây chỉ giải minh hoạ hai bài nói về tính nhuần nhuyễn và nhạy cảm vấn đề trong tư duy sáng tạo:
M' d d A A' B M
Tìm M trên (d) sao cho MA+MB nhỏ nhất, N trên (d) sao cho |NA-NP| lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải: Bài này có liên quan đến phép đối xứng trục đã học ở lớp 8, cho nên học
sinh dễ thấy sẽ phải xét vị trí tương đối của hai điểm A và B so với đường thẳng (d): Ta có d(A).d(B)=(-3)(-9)>0 nên A,B ở cùng 1 phía so với (d)
a) Gọi A' là điểm đối xứng của A qua (d) ⇒ A'=(1,-1). Với ∀M∈(d) thì: MA+MB=MA'+MB > A'B ⇒ (MA+MB)nn=A'B
khi M≡M'=A'B∩(d) ⇒ M'=(3/4,7/4).
* Việc đối xứng điểm A qua (d) để đưa về đường gấp
khúc là một suy luận đã biết, đó cũng là một trong các bước suy luận trong các bước tìm hướng giải bài tốn của Pơlya.
b) Ta có: |NA-NB| > 0 ⇒ |NA-NB|nn=0 khi NA=NB ⇔ N∈(d') trung trực của AB ⇒N=(d)∩(d') ⇒ N=(19/5,24/5).
c) Ta có: |NA-NB| < AB ⇒ |NA-NB|ln =AB khi A,N,B thẳng hàng ⇔ N=AB∩(d) ⇒ N=(-3,-2).
* Hai ý b) và c) thì dễ thấy chỉ là các suy luận đơn giản, nhưng để có các suy luận như vậy cũng phải địi hỏi sự nhuần nhuyễn, nhạy cảm vấn đề trong tư duy.
BT77: Cho ∆ABC vuông cân tại A, biết A=(2,4) và trọng tâm G=(-1,1).
Xác định B, C?
* Đây là một bài tốn có nhiều hướng suy luận, nhiều cách giải. Nhưng nếu linh hoạt trong tư duy, sẽ có cách giải độc đáo trong số các cách suy luận, đó là sử dụng đường trịn ngoại tiếp tam giác vng, suy luận này sẽ hình thành một phương pháp khá độc đáo cho các bài tương tự đối với hình vng, hình chữ nhật, tổng quát hơn là tứ giác nội tiếp một đường tròn (sẽ dùng trong chùm bài tập này ở phần sau).
Giải: Gọi M trung điểm BC, ta có: AG 2GMuuur= uuuur⇒ M=(0,4), AMuuuur=(-3,-1). Do ∆ABC cân nên AM ⊥ BC ⇒ Phương trình BC: 3x+y-4=0, MA= 10 . Vì ∆ABC vng tại A nên đường trịn tâm M bán kính MA cắt BC tại B và C.
M
I
N d A
Đường tròn (M,MA): x2+(y-4)2=10, thay y =4-3x vào và giải hệ có B=(-1,7), C=(1,1).