5) Toạ độ hoá
2.2.1.1. Hệ thống bài tập về đẳng thức vectơ
BT1: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H, trọng tâm G. Gọi B' là điểm đối tâm của B. Chứng minh:
a) AH B'Cuuur uuuur= và AB' HCuuur =uuur; b) OA OB OC OHuuur uuur uuur uuur+ + = c) HA HB HC 2HOuuur uuur uuur+ + = uuur;
d) Chứng minh G, H, O thẳng hàng và tính OG:OH (Đường thẳng Ơle)
BT2: Cho 2 điểm A, B phân biệt, G trung điểm AB.
a) Chứng minh: GA GB 0uuur uuur r+ = ; b) ∀M ta có: MA MB 2MGuuuur uuuur+ = uuuur.
BT3: Cho ∆ABC, trọng tâm G.
a) Chứng minh: GA GB GC 0uuur uuur uuur r+ + = ; b) ∀M: MA MB MC 3MGuuuur uuuur uuuur+ + = uuuur.
BT4: Cho tứ giác ABCD, G là trọng tâm.
a) Chứng minh: GA GB GC GD 0uuur uuur uuur uuur r+ + + = b) ∀M: MA MB MC MD 4MGuuuur uuuur uuuur uuuur+ + + = uuuur
BT5: Ta có bài tốn tổng quát sau: Cho n điểm A1, A2,...,An, n > 2, G là trọng
tâm của hệ điểm, thì: a) n i i 1 GA 0 = = ∑uuur r b) ∀M: n i i 1 MA n.MG = = ∑uuuur uuuur.
BT6: Cho ∆ABC và ∆A'B'C'.
a) Chứng minh hai tam giác có cùng trọng tâm ⇔ AA' BB' CC' 0uuuur uuuur uuuur r+ + = b) Gọi G và G' là trọng tâm hai tam giác, chứng minh:
GG' <1
3(AA'+BB'+CC').
BT về bất đẳng thức Tính chính xác
BT7: Cho lục giác ABCDEF, gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm các
cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.
BT8: Cho ∆ABC. Gọi A', B', C' lần lượt là các điểm thoả mãn điều kiện:
A'A 2A 'B 3A 'C 0;2B'A 3B'B B'C 0;3C'A C'B 2C'C 0+ + = + + = + + = uuuur uuuur uuuur r uuuuuur uuuur uuuur r uuuuur uuuur uuuur r
a) Chứng minh 6 trung tuyến của ∆ABC và ∆A'B'C' đồng quy.
b) Chứng minh mỗi trung tuyến của tam giác này thì song song với một cạnh tương ứng của tam giác kia.
BT9: Cho ∆ABC, M trung điểm AB, N∈AC thoả mãn: NC=2NA, E trung
điểm MN, F trung điểm BC. Chứng minh: a) AE 1AB 1AC
4 6
= +
uuur uuur uuur
; b) AF 1AB 1AC
4 3
= +
uuur uuur uuur .
BT10: Cho ∆ABC có các trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh:
AM.BC BN.CA CP.AB 0+ + = uuuuruuur uuur uuur uuuruuur
BT11: Cho ∆ABC đều tâm O, điểm M bất kỳ trong tam giác. Gọi D, E, F là
hình chiếu của M lên BC, CA, AB. Chứng minh: MD ME MF 3MO 2
+ + =
uuuur uuur uuur uuuur .
BT12: Cho 4 điểm A, B, C, D bất kỳ. Chứng minh:
AB.CD AC.DB AD.BC 0+ + = uuur uuur uuur uuur uuur uuur
.(Hệ thức Ơle) Suy ra định lý: Trong một tam giác thì 3 đường cao đồng quy.
BT13: Cho ∆ABC, các điểm I, J, K được xác định như sau: 1
IB 2IC;JC JA 2 −
= =
uur uur uur uur
; KAuuur= −KAuuur. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
BT14: Cho ∆ABC, điểm J chia BCuuur thẻo tỉ số -3, điểm N chia ACuuur theo tỉ số -1, điểm K chia BAuuur theo tỉ số 3.
a) Chứng minh J, N, K thẳng hàng.
BT15: Cho ∆ABC, 3 điểm M, N, P trên 3 cạnh BC, CA, AB chia 3 đoạn đó
theo tỉ lệ α, β, γ. Tìm điều kiện của α, β, γ để M, N, P thẳng hàng.
BT16: Cho hình bình hành ABCD, H∈BC, K∈BD: BH 1BC; 5 = uuur uuur 1 BK BD 6 = uuur uuur . Chứng minh A, H, K thẳng hàng.
BT17: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, F, K là các điểm được xác định bởi:
AI= αAB;AF= βAC;AK= γAD uur uuur uuur uuur uuur uuur
, với αβγ≠0.
Chứng minh điều kiện cần và đủ để I,F,K thẳng hàng là: 1 = +1 1 β α γ.
BT18: Cho tứ giác ABCD, các điểm X,Y,Z,T lần lượt là trọng tâm các tam
giác BCD, CDA, DAB, ABC. Chứng minh các đường thẳng AX, BY, CZ, DT đồng quy tại trọng tâm tứ giác.
BT19: Cho 2 điểm phân biệt A,B và hai số thực α,β thoả mãn α+β≠0, thì: a) Tồn tại duy nhất điểm I sao cho: IAα + β =uur IB 0uur r
b) ∀M: MAαuuuur+ βMB (uuuur= α + β)MIuuur
Điểm I gọi là tâm tỉ cự của hệ 2 điểm A,B theo bộ số (α,β).
BT20: Cho ∆ABC và 3 số thực α,β,γ thoả mãn: α+β+γ≠0, thì:
a) Tồn tại duy nhất điểm I sao cho: IAα + β + γ =uur IBuur IC 0uur r b) ∀M: MAαuuuur+ βMBuuuur+ γMC (uuuur= α + β + γ)MIuuur.
Điểm I gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A,B,C theo bộ số (α,β,γ).
BT21: (Tổng quát) Cho n điểm A1, A2,...,An, n > 2 và n số thực α1, α2,...,αn thoả mãn: α1+α2+...+αn≠0, thì:
a) Tồn tại duy nhất điểm I sao cho: n i i 1 IA 0 = = ∑uur r b) ∀M: n i 1 2 n i 1 MA ( ... )MI = = α + α + + α ∑uuuur uuur 2.2.2.2. Hệ thống bài tập về tập hợp điểm
BT22: Cho ∆ABC. Tìm tập hợp M thoả mãn:
1) MA MB MC 0uuuur uuuur uuuur r− + = ; 2) MA MB MC 0uuuur uuuur uuuur r− + = 3) MA MB 2MC 0uuuur uuuur+ − uuuur r= 4) MA MB 2MC 0uuuur uuuur+ + uuuur r= 5) MA MB MCuuuur uuuur uuuur+ = 6) | MA MB | | MC |uuuur uuuur uuuur− = 7) | MA MB | 2 | MC |uuuur uuuur+ = uuuur
BT23: Cho ∆ABC, tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:
1) MA 2MB 3MC 0uuuur+ uuuur+ uuuur r= 2) MA 2MB 3MC 0uuuur+ uuuur− uuuur r=
BT24: Cho tứ giác ABCD, tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:
1) MA 2MB MC 2MD 0uuuur+ uuuur uuuur− + uuuur r= ; 2) MA 2MB 5MC 2MD 0uuuur+ uuuur− uuuur+ uuuur r=
BT25: Cho ∆ABC, tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:
1) | 3MA 2MB MC | | MB MA |uuuur− uuuur uuuur uuuur uuuur+ = − 2) 2 | MA MB MC | 3| MB MC |uuuur uuuur uuuur+ + = uuuur uuuur+
3) | MA 3MB 2MC | | 2MA MB MC |uuuur+ uuuur− uuuur= uuuur uuuur uuuur− − 4) 2 | MA MB MC | | MA 2MB 3MC |uuuur uuuur uuuur uuuur+ + = + uuuur+ uuuur ; 5) | 2MA MB | | 4MB MC |uuuur uuuur+ = uuuur uuuur−
BT26: Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn:
1) | MA MB MC MD | | MA MB 2MC |uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur+ + + = + − uuuur
2) 4 | 2MA MB 3MC MD | 3| 2MB 3MC MD |uuuur uuuur− + uuuur uuuur− = uuuur+ uuuur uuuur−
BT27: Cho ∆ABC vuông tại A, M là điểm thay đổi trong tam giác; D,E,F là hình chiếu của M lên BC, CA, AB.
Tìm tập hợp các điểm M sao cho: | MD ME MF | | MA |uuuur uuur uuur+ + = uuuur .
BT28: Cho ∆ABC nhọn nội tiếp trong đường trịn (O). Tìm điểm M thuộc (O) sao cho biểu thức | MA MB MC |uuuur uuuur uuuur+ − đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
BT29: Cho 2 điểm cố định A,B, k là số thực.
BT30: Cho điểm A cố định, vectơ ar≠0r
không đổi, k là một số thực. Tìm tập hợp điểm M thoả mãn: AM.a kuuuurr = .
BT31: Cho 2 điểm A,B phân biệt và số dương k≠1.
Tìm tập hợp điểm M sao cho MA:MB=k.
BT32: Cho ∆ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
1) (MB MC)(MA 2MB 3MC) 0uuuur uuuur uuuur+ + uuuur+ uuuur =
2) (MA MB MC)(MA 2MB 3MC) 0uuuur uuuur uuuur uuuur+ + + uuuur− uuuur =
BT33: Cho ∆ABC. Tìm tập hợp điểm M sao cho: AM.AB AC.ABuuuuruuur uuur uuur= BT34: Cho tứ giác ABCD, I, J là trung điểm các cạnh AB, CD.
Tìm tập hợp các điểm M sao cho: 1 2 MA.MB MC.MD IJ
2
+ =
uuuuruuuur uuuuruuuur
BT35: Cho ∆ABC. Tìm tập hợp điểm M sao cho: MA.MB 1 2 = uuuuruuuur
(MC2-MA2-MB2).
BT36: Cho ∆ABC đều cạnh a nội tiếp đường trịn (O,R). Tìm tập hợp các
điểm M thoả mãn: MB.MC MC.MA MA.MB 3auuuuruuuur uuuuruuuur uuuuruuuur+ + = 2.
BT37: Cho hình vng ABCD cạnh a.
Tìm tập hợp các điểm M sao cho: MA2+MB2+MC2-3MD2= 4 3 − a2.
BT38: Cho ∆ABC, tìm tập hợp M thoả mãn:
1) MB.MC MB.MG ABuuuuruuuur uuuuruuuur− = 2, G trọng tâm tam giác. 2) ( 2MA 3MB)(MA 2MB) 0uuuur− uuuur uuuur− uuuur = ;
3) (2MA 3MB)(MA MB MC) 0uuuur− uuuur uuuur uuuur uuuur+ + = 4) MB2+MC2=3 MB.MCuuuuruuuur; 5) 2MA2+MB2=2MC2.