PHƯƠNG, TÂM ĐẲNG PHƯƠNG
1. Phương tích của một điểm đối với đường tròn
Định nghĩa: Cho đường tròn (O,R) và một điểm M, một cát tuyến qua M cắt (O)
tại A,B thì đại lượng MA.MB khơng đổi gọi là phương tích của M đối với đường trịn (O,R). Kí hiệu: PM/(O). Ta có: PM/(O)= MA.MB =d2-R2, với d=OM.
2. Trục đẳng phương, tâm đẳng phương
2.1. Định lý: Tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với hai đường trịn
khơng đồng tâm là một đường thẳng.
Đường thẳng đó gọi là trục đẳng phương của hai đường tròn đã cho.
Nếu 3 điểm có cùng phương tích đối với hai đường trịn thì 3 điểm đó thẳng hàng.
2.2. Định lý: Cho 3 đường trịn (O1), (O2), (O3) có các tâm khơng thẳng hàng.
Giả sử ∆1, ∆2, ∆3 lần lượt là các trục đẳng phương của các cặp đường tròn: (O2), (O3); (O3), (O1); (O1), (O2). Khi đó ∆1, ∆2, ∆3 đồng quy tại một điểm, gọi là tâm đẳng phương của ba đường tròn đã cho.
GO1 O1 C A A' B M A H D C' B' E
- Nếu (O1), (O2) cắt nhau thì trục đẳng phương của hai đường trịn là đường nối hai giao điểm.
- Nếu (O1), (O2) tiếp xúc nhau thi trục đẳng phương là đường thẳng qua tiếp điểm và vng góc đường nối tâm.
- Nếu (O1), (O2) khơng có điểm chung thì dựng đường trịn (O3) cắt hai đường trịn trên, hai trục đẳng phương của các cặp đường tròn (O1), (O3) và (O2), (O3) cắt nhau tại I (là tâm đẳng phương của 3 đường tròn). Đường thẳng qua I và vng góc đường nối tâm O1O2 là trục đẳng phương của hai đường trịn.
Nếu kẻ được hai tiếp tuyến chung thì đường nối trung điểm hai tiếp tuyến đó là trục đẳng phương của hai đường trịn.
Bài 1: Cho ∆ABC trọng tâm G. Gọi (O1), (O2), (O3) lần lượt là các đường tròn ngoại tiếp các ∆GBC, ∆GCA, ∆GAB. Chứng minh: PA/(O1)=PB/(O2)=PC/(O3).
Giải: Gọi M trung điểm BC, A' là giao điểm của AM với (O1), A'≠G. Ta có: A ngồi (O1) nên: PA/(O1)=AG. AA' =AG(AM+MA')=
=AG.AM+AG.MA'=2 3AM 2+2MG.MA'= =2 3AM 2+2MB.MC = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2(b c ) a 1 1 . 2. a (a b c ) 3 4 4 3 + − + = + + . Tương tự cũng có: PB/(O2)=PC/(O3)= 1(a2 b2 c )2 3 + + .
Bài 2: Cho ∆ABC, một đường thẳng song song với BC cắt AB,AC tại E và F.
Xác định trục đẳng phương của các đường trịn đường kính BE, CD.
Giải: Gọi AA', BB', CC' là các đường cao của ∆ABC, H là trực tâm ∆ABC. Giả sử các đường trịn đường kính BE, CD là (C1), (C2). Vì các tứ giác HA'CB' và HA'BC' nội tiếp nên ta có:
AB'.AC AH.AA ' AB'.AC AC'.AB AC'.AB AC'.AB = ⇒ = = .
FE E N B A M H S Mặt khác theo Talet ta có: AC AB AD AE =
Vậy: AB'.AE AC'.AD= ⇒ PA/(C1)=PA/(C2)
⇒ A thuộc trục đẳng phương của (C1) và (C2). Mặt khác dễ thấy đường nối tâm của
(C1) và (C2) vng góc AA'.
Vậy AA' là trục đẳng phương của (C1) và (C2).
Bài 3: Cho M là một điểm nằm trên nửa đường
trịn đường kính AB. Hạ MH ⊥ AB.
Đường trịn đường kính MH cắt nửa đường tròn tại N, cắt MA, MB tại E,F.
Chứng minh AB, MN, EF đồng quy.
Giải: Theo giả thiết: AMB HEM HFM· =· = · =900⇒ MEHF là hình chữ nhật ⇒ EFM HMF· =· .
Mặt khác: HMF EAB· = · (Cạnh tương ứng vng góc) Vậy: EFM EAB· = · ⇒ AEFB là tứ giác nội tiếp.
Gọi (C1), (C2), (C3) là đường trịn đường kính
AB, MH và đường trịn ngoại tiếp tứ giác AEFB. Ta có: EF là trục đẳng phương của (C2), (C3).
AB là trục đẳng phương của (C3), (C1). MN là trục đẳng phương của (C1), (C2).
Vậy EF, AB, MN đồng quy tại tâm đẳng phương của (C1), (C2), (C3).
Bài 4: Cho hai đường tròn (O1), (O2) ngoài nhau, MN là một tiếp tuyến chung
ngoài, PQ là một tiếp tuyến chung trong của chúng. Chứng minh MP, NQ, O1O2 đồng quy.
Giải: Đặt K=MN∩PQ, L=MP∩NQ. Ta có: KO1⊥KO2 (phân giác hai góc kề
bù)⇒ MP ⊥ NQ hay MLN PLQ· = · =900.
Gọi (C1), (C2) là các đường trịn đường kính MN, PQ. Theo trên thì L∈(C1) và (C2), nên PL/(C1)=PL/(C2)=0.
OA A
I K
J1
I1
Mặt khác: O1M, O1P theo thứ tự tiếp xúc với (C1),(C2) nên: PO1/(C1)=O1M2 =OP2=PO1/(C2).
Tương tự: PO2/(C1)=PO2/(C2).
Vậy L,O1,O2 thẳng hàng. Hay MP, NQ, O1O2 đồng quy.
