* Trong chùm bài tập này, nếu khơng sử dụng được tính chất của đường trịn và cơnic kết hợp với phương pháp toạ độ thì bài tốn trở nên rất phức tạp. Điều này cũng thể hiện đầy đủ các thành phần của tư duy sáng tạo. Bài tập phần này nhiều bài khá phức tạp, đặc biệt về đường cônic. Do vậy việc sử dụng các thành phần của tư duy sáng tạo tốt sẽ giúp cách giải bài toán gọn nhẹ hơn.
BT95: Cho đường trịn (C): (x+2)2+(y-3)2=9. Viết phương trình đường thẳng qua A=(1,1) và cắt (C) theo một dây cung có độ dài ngắn nhất.
Giải : (C) có tâm I=(2,3), R=3. Dễ thấy A nằm trong đường tròn (C).
Giả sử đường thẳng (d) qua A cắt (C) tại M,N. Gọi H là trung điểm của MN thì ta có: AM.AN=(MH-AH)(NH+AH)=MH2-AH2=R2-(IH2+AH2)=
=R2-IA2=const, vì A cố định . Vậy MN=AM+ AN nhỏ nhất khi AM=AN ⇔ A trung điểm dây MN ⇔ MN ⊥ IA .
Ta có: AIuur=(1,1) là pháp tuyến (d) và (d) qua A ⇒ Phương trình (d) là: x+y-2=0.
* Qua bài toán này, ta thấy việc suy luận để tích AM.AN khơng đổi khơng có gì xa lạ trong
phần đường tròn ở lớp 9. Nhưng điều quan trọng là
biết dùng nó để đánh giá MN nhỏ nhất là một thể hiện rõ nét tính nhạy cảm vấn đề, tính hồn thiện trong tư duy sáng tạo.
BT114: Viết phương trình các cạnh hình vng ngoại tiếp (E):
2 2x y x y
1 6 + 3 = . Dễ thấy cạnh hình vng ABCD ngoại tiếp (E) phải có hệ số góc a≠0. Giả sử cạnh AB: y=ax+b ⇔ ax-y+b=0 ⇒ cạnh CD//AB: ax-y+b'=0 Cạnh AD⊥AB: x+ay+b1=0, cạnh BC//AD: x+ay+b1'=0
và 6+3a2=b12; 6+3a2=b1'2⇒ b1=-b1' Lấy M=(0,b)∈AB, N=(-b1',0).
Vì ABCD là hình vng nên d(M,CD)=d(N,AD)
⇔ 1 1 2 2 | b b' | | b b ' | a 1 a 1 − = − + + ⇒ b 2=b12. Thay vào trên được: a2=1, b2=9.
Vậy phương trình các cạnh hình vng là: y= x 3± ± .
* Đối với bài toán trên, nếu phương trình AB để ở dạng tổng quát cũng được cách giải gọn nhẹ. Trong cách giải đã thể hiện sự nhuần nhuyễn của tư duy khi định dạng tứ giác ABCD để nó là hình vng và ngoại tiếp elip.