Hệ thống bài tập phần này được xây dựng trên các kiến thức cơ bản của khái niệm và các phép tốn về vectơ.
Đặc biệt có thể khái qt hố được nhiều dạng toán trong phần này để làm cơ sở xây dựng hệ thống bài tập như: Phân tích vectơ theo cơ sở để xây dựng nên hệ thống bài tập chứng minh 3 điểm thẳng hàng, vng góc, song
GM M H O B C A B'
song... hoặc hệ thống bài trọng tâm hệ điểm, tâm tỉ cự của hệ điểm được xây dựng trên cơ sở suy luận tổng quát và tương tự .
Sau đây là một số bài minh hoạ:
BT1: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O), trực tâm H, trọng tâm G. Gọi B'
là điểm đối tâm của B. Chứng minh:
a) AH B'Cuuur uuuur= và AB' HCuuur =uuur; b) OA OB OC OHuuur uuur uuur uuur+ + = c) HA HB HC 2HOuuur uuur uuur+ + = uuur;
d) Chứng minh G,H,O thẳng hàng và tính OG:OH. ( Đường thẳng Ơle)
Giải: a) Ta có: AH⊥BC, B'C⊥BC ⇒ AH//B'C CH⊥AB, B'A⊥AB ⇒ HC//AB'
Vậy AHCB' là hbh ⇒ đpcm. b) Ta có:OA OB OC OHuuur uuur uuur uuur+ + = ⇔ ⇔2OM OH OAuuuur uuur uuur= − ⇔2OM AHuuuur uuur=
Điều này đúng vì: 2OM B'C AHuuuur uuuur uuur= = , theo a).
c) Ta có: HA HB HC 3HO OA OB OC 3HO OH 2HOuuur uuur uuur+ + = uuur uuur uuur uuur+ + + = uuur uuur+ = uuur. d) Ta có theo b): OA OB OC OHuuur uuur uuur uuur+ + = và OA OB OC 3OGuuur uuur uuur+ + = uuur
⇒ OH 3OGuuur = uuur. Vậy OH:OG=3.
* Qua lời giải bài tốn trên ta thấy, ngồi các thành phần của tư duy sáng tạo đã được thể hiện, trong đó tính nhuần nhuyễn được thể hiện khá rõ nét, cụ thể: - Việc chứng minh hai vectơ bằng nhau, khi đã nắm được định nghĩa, ta đưa về chứng minh tứ giác AHCB' là hình bình hành, khi đó thì dễ thấy có điều phải chứng minh.
- Ở phần b) sử dụng phương pháp tương đương để biến đổi đẳng thức vectơ rồi sử dụng phép trừ cũng thể hiện được tính nhuần nhuyễn trong suy luận.
- Trong phần c), thể hiện rõ việc chèn điểm vế trái để dẫn đến vế phải, không những thể hiện được sự nhuần nhuyễn trong tư duy, mà cịn thể hiện được tính nhạy cảm khi kết hợp được kết quả ý b).
- Ngồi ra, sự nhuần nhuyễn và nhạy cảm cịn thể hiện rất rõ trong ý d) khi kết hợp được các kết quả trên với nhau.
BT17: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, F, K là các điểm được xác định bởi:
AI= αAB;AF= βAC;AK= γAD uur uuur uuur uuur uuur uuur
, với αβγ≠0.
Chứng minh điều kiện cần và đủ để I,F,K thẳng hàng là: 1 = +1 1 β α γ.
Giải: Chọn cơ sở ( AB,AD)uuur uuur
. Ta có: IF
uur
= IAuur+ AFuuur=-αABuuur
+βACuuur
=-αABuuur
+β( ABuuur+ ADuuur)=(β-α) ABuuur+βADuuur IK
uur
= IAuur+ AKuuur=-αABuuur (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
+γADuuur . Ta thấy I,F,K thẳng hàng ⇔ β − α = −α β γ ⇔ ⇔ β α γ1= +1 1.
* Trên cơ sở bài tốn này có thể xây dựng hàng loạt bài toán ở dạng cụ thể khi cho α, β, γ các giá trị cụ thể, nhằm củng cố kỹ năng thực hành phân tích vectơ cho học sinh.