Mỏy tớnh ngày nay cú ảnh hưởng rất lớn đến mọi lĩnh vực trong khoa học kỹ thuật và cơ học nứt cũng khụng là trường hợp ngoại lệ . Việc mụ hỡnh phương phỏp số trở nờn khụng thể thiếu trong cơ học phỏ hủy. Vấn đề xỏc định sự phõn bố ứng suất và biến dạng trọng vật thể chịu tỏc dụng của ngoại lực và cỏc ràng buộc chuyển vị là vụ cựng cần thiết. Trong một số trường hợp giới hạn việc tỡm lời giải giải tớch chớnh xỏc cho ứng suất và biến dạng là cú khả năng. Chẳng hạn như vật thể chịu tải ứng suất phẳng hay biến dạng phẳng và được cấu tạo bởi vật liệu đàn hồi tuyến tớnh đẳng hướng thỡ cú khả năng tỡm được hàm ứng suất để cú được kết quả chớnh xỏc. Tuy nhiờn trong hầu hết cỏc trường hợp thực tế, việc tỡm lời giải giải tớch chớnh xỏc là khụng thể. Do đú ứng suất phõn bố trong vật thể phải được xấp xỉ bằng phương phỏp số. Ngày nay, rất nhiều phương phỏp số đĩ được phỏt triển để giải quyết bài toỏn cơ học phỏ hủy [11]: phương phỏp phần tử hữu hạn, phương phỏp phần tử biờn, phương phỏp phần tử hữu hạn mở rộng, phương phỏp phần tử hữu hạn kết hợp với phương phỏp phần tử biờn cú hiệu chỉnh, phương phỏp khụng lưới, …
2.4.1. Phương phỏp phần tử hữu hạn (Finite Element Method-FEM)
Phương phỏp phần tử hữu hạn nú được bắt đầu phỏt triển bởi Alexvàer Hrennikoff (1941) và Richard Courant (1942). Mặc dự hướng tiếp cận của những người đi tiờn phong là khỏc nhau nhưng họ đều cú một quan điểm chung, đú là chia những miền liờn tục thành những miền con rời rạc. Hrennikoff rời rạc những miền liờn tục bằng cỏch sử dụng lưới tương tự, trong khi Courant chia những miền liờn tục thành những miền cú hỡnh tam giỏc cho cỏch giải thứ hai của phương trỡnh vi phõn từng phần elliptic, xuất hiện từ cỏc bài toỏn về xoắn của phần tử thanh hỡnh trụ. Sự đúng gúp của Courant là phỏt triển, thu hỳt một số người nhanh chúng đưa ra kết quả cho phương trỡnh vi phõn từng phần elliptic được phỏt triển bởi Rayleigh, Ritz, và Galerkin [44].
Phương phỏp phần tử hữu hạn được sử dụng trong cỏc vấn đề khỏc nhau của cơ học rạn nứt. Phương phỏp phần tử hữu hạn ban đầu được sử dụng như một cụng cụ để đạt được trường ứng suất và chuyển vị liờn tục. Sau đú, cỏc phần tử suy biến được đề xuất bởi Barsoum (1974, 1975, 1976a, 1976b, 1977, 1981) và Henshell và Shaw (1975) và triển khai thực hiện cú hiệu quả bởi Fawkes et al.. Owen (1979) và Fawkes (1983) để mụ tả sự suy biến tại đỉnh vết nứt. Sau đú, nú đĩ được chấp nhận
rộng rĩi như là một sự cải tiến lớn về phương phỏp số trong cơ học rạn nứt đàn hồi tuyến tớnh [27-31, 56, 60].
Trong phương phỏp phần tử hữu hạn, vựng cấu trỳc được tớnh toỏn sẽ được chia thành nhiều miền rời rạc gọi là phần tử. Cỏc loại phần tử khỏc nhau sẽ được dựng để giải cỏc bài toỏn cú tớnh chất vật lý khỏc nhau. Cỏc phần tử sẽ được kết nối lại với nhau tại cỏc điểm nỳt sao cho sự liờn tục của phương trỡnh chuyển vị được bảo đảm. Chuyển vị tại cỏc điểm nỳt phụ thuộc vào ma trận độ cứng của phần tử và lực tại cỏc điểm nỳt. Đối với bài toỏn kết cấu, lời giải của bài toỏn bao gồm cỏc kết quả của chuyển vị nỳt. Ứng suất và biến dạng được phõn bố trờn vật thể cũng như cỏc thụng số của bài toỏn nứt như là hệ số cường độ ứng suất sẽ được suy ra từ kết quả chuyển vị tại cỏc điểm nỳt. Một số gúi phần mềm phần tử hữu hạn thương mại như Ansys, MSC Marc, Abaqus, … cú khả năng mụ hỡnh húa vết nứt và tớnh toỏn được cỏc thụng số quan trọng của cơ học phỏ hủy.
Hỡnh 2. 23: Mụ hỡnh phần tử khối kết cấu nhịp tớnh theo phương phỏp PTHH.
2.4.2. Phương phỏp phần tử hữu hạn mở rộng (Extended Finite Method-XFEM)
Phương phỏp phần tử hữu hạn mở rộng được phỏt triển khi phương phỏp chia lưới hữu hạn cực tiểu cho sự phỏt triển vết nứt được giới thiệu. Phương phỏp này được phỏt triển bởi đại học Northwestern. Phương phỏp phần tử hữu hạn mở rộng được giới thiệu vào năm 1999 bởi Belytschko và Black, đĩ rất thành cụng trong việc giải quyết cỏc vấn đề về cơ học vật rắn (vết nứt, tiếp xỳc, cấu trỳc) [37]. Sau đú, Moởs et al. đĩ phỏt triển phương phỏp này [45, 78, 77, 79, 91, 90].
Trong phương phỏp phần tử hữu hạn mở rộng, hàm bất liờn tục và trường chuyển vị tiệm cận đỉnh vết nứt hai chiều được thờm vào sự xấp xỉ phần tử hữu hạn
để giải quyết bài toỏn vết nứt bằng cỏch sử dụng phương phỏp phõn chia đơn vị (partition of unity). Điều này cho phộp miền bao quanh vết nứt được mụ hỡnh bởi phần tử hữu hạn mà khụng đũi hỏi phải chia lưới phức tạp. Dạng hỡnh học ban đầu của vết nứt được đặc trưng bởi cỏc hàm tập mức và sau đú cỏc ơ hàm khoảng cỏch đổi dấu ằ (signed distance function) sẽ được sử dụng để tớnh toỏn cỏc hàm ơ làm giàu ằ (enrichment function) xuất hiện trong trường hợp chuyển vị dựa trờn sự xấp xỉ phần tử hữu hạn. Những hàm ơ làm giàu ằ khụng liờn tục được thờm vào xấp xỉ phần tử hữu hạn để tớnh toỏn sự hiện diện của vết nứt. Phương phỏp này cho phộp vết nứt cú thể được chuyển vị tựy ý bờn trong lưới mặc dự một vài vết nứt dạng cong yờu cầu được chia lưới lại.
Hỡnh 2. 24: Sự lựa chọn nỳt làm giàu.
2.4.3. Phương phỏp phần tử biờn (Boundary Element Method-BEM)
Cỏc bài toỏn trong khoa học và trong kỹ thuật thường được giải chớnh xỏc thụng qua việc xỏc định cỏc điều kiện biờn thớch hợp. Với cỏc điều kiện biờn đĩ được cho trước, về mặt lý thuyết, việc giải ra cỏc kết quả ỏp lực và chuyển vị trờn biờn cũng như cỏc ứng suất, biến dạng và chuyển vị bờn trong vật thể là cú khả năng. Phương phỏp tớch phõn biờn (Boundary Integral Equation Method-BIE) là một kỹ thuật rất hiệu quả khi khi được ỏp dụng để tỡm ra ỏp lực và chuyển vị trờn biờn. Cỏch tiếp cận này cũng cú thể cung cấp cỏc kết quả như ứng suất, chuyển vị tại vựng bờn trong vật thể nhưng khụng hiệu quả bằng sự phõn tớch phần tử hữu hạn. Việc thiết lập cụng thức tớch phõn biờn dẫn đến một loạt cỏc phương trỡnh tớch phõn liờn hệ giữa chuyển vị và ỏp lực trờn biờn. Để giải cỏc ẩn số chưa biết trờn biờn,
biờn vật thể phải được chia thành nhiều phần (gọi là phần tử biờn) và cỏc tớch phõn biờn sẽ được xấp xỉ bởi hệ thống cỏc phương trỡnh đại số. Một khi cỏc thành phần chuyển vị và ỏp lực trờn biờn đĩ được tỡm ra thỡ cỏc ẩn số bờn trong vật thể sẽ được tớnh toỏn thụng qua cỏc kết quả trờn biờn vật thể. Chiều khụng gian của cỏc phần tử biờn sẽ thấp hơn một bậc so với chiều khụng gian của vật thể cần phõn tớch. Chẳng hạn như biờn của một bài toỏn hai chiều sẽ được tạo thành bởi cỏc phần tử biờn một chiều trong khi biờn của một bài toỏn ba chiều sẽ được tạo thành bởi cỏc phần tử biờn hai chiều. Vỡ vậy, việc phõn tớch phần tử biờn vụ cựng hiệu quả đối với cỏc bài toỏn mà cỏc đại lượng trờn biờn cần được quan tõm nhiều. Cú thể thấy nhiều ứng dụng của phương phỏp này ở cỏc bài toỏn biờn trong kỹ thuật như cỏc bài toỏn về trường thế, đàn hồi, dẻo và đàn dẻo, nhiệt, lưu chất, cơ học phỏ hủy, … Do chỉ rời rạc húa và lấy tớch phõn trờn biờn nờn khi dựng BEM, bài toỏn dường như được đơn giản húa bớt đi một phương trong khụng gian. Số ẩn cần thiết thường cú thể giảm đỏng kể. Tuy nhiờn, cơ sở toỏn học và thuật toỏn của BEM tương đối phức tạp hơn FEM, ma trận của hệ phương trỡnh đại số là ma trận đầy. Do xử lý tương đối tốt và đưa ra kết quả chớnh xỏc cao ở những vựng cú yếu tố kỳ dị, BEM hiệu quả khi giải cỏc bài toỏn liờn quan đến cơ học phỏ hủy [22, 36, 41, 54, 74, 75].
Hỡnh 2. 25: Minh họa phương phỏp phần tử biờn.
2.4.4. Phương phỏp phần tử hữu hạn kết hợp với phương phỏp phần tử biờn cú hiệu chỉnh (Scale Boundary Finite Element Method-SBFEM) hiệu chỉnh (Scale Boundary Finite Element Method-SBFEM)
Phương phỏp này được phỏt triển gần đõy bởi Wolf và Song, là một phương phỏp bỏn giải tớch kết hợp cỏc điểm mạnh của FEM và BEM. Chiều khụng gian của bài toỏn được giảm đi một phương tương tự như BEM và phương phỏp này khụng cần sử dụng một lời giải cơ bản của bài toỏn như FEM. Hơn nữa, khả năng ỏp dụng
rộng rĩi của FEM và sự đơn giản trong việc chia lưới lại của BEM đều được giữ lại trong SBFEM. Trong SBFEM, ứng suất kỳ dị tại đỉnh vết nứt trong vật liệu đồng chất hoặc tại bề mặt nứt giữa hai loại vật liệu được thay thế theo phộp giải tớch bởi lời giải ứng suất. Do đú hệ số cường độ ứng suất cú thể được tớnh toỏn trực tiếp từ định nghĩa. Phương phỏp này hiệu quả trong việc giải quyết cỏc ứng suất kỳ dị và bài toỏn khụng liờn tục. Bởi vỡ SBFEM tớnh toỏn hệ số cường độ ứng suất từ kết quả ứng suất tại cỏc nỳt trờn miền biờn hoặc trờn cạnh chung của những miền con nờn sự chia lưới mịn tại đỉnh vết nứt là khụng cần thiết. SBFEM cú thể mụ phỏng sự lan truyền của vết nứt trong vật thể linh động hơn so với FEM và thuật toỏn chia lưới lại trở lại đơn giản như trong BEM. Tuy nhiờn, phương phỏp này cũn khỏ mới mẻ và vẫn đang phỏt triển [55, 88, 100, 99].
Hỡnh 2. 26: Minh họa phương phỏp phần tử biờn cú hiệu chỉnh.
2.4.5. Phương phỏp khụng lưới
Phương phỏp khụng lưới (Mesh Free Method-MFM): Phương phỏp này cũn khỏ mới mẻ và đang trong giai đoạn phỏt triển. Tuy nhiờn, phương phỏp khụng lưới đĩ chứng tỏ nhiều ưu điểm để cú thể trở thành một phương phỏp hiệu quả cho việc giải bài toỏn cơ học phỏ hủy trong tương lai. Trong phương phỏp này, miền bài toỏn sẽ được biểu diễn bởi một tập hợp cỏc điểm nỳt được phõn bố bất kỳ. Việc chia lưới và sử dụng phần tử trờn nờn khụng cần thiết. Mật độ phõn bố của cỏc điểm nỳt cú thể được cho dày đặc tại những vựng bất liờn tục như là vết nứt. Khỏc với phương phỏp phần tử hữu hạn, việc điều chỉnh hỡnh dạng lưới tại vựng đỉnh vết nứt sao cho hiệu quả là khụng cần thiết và điều này giỳp cho sự mụ phỏng vết nứt trở nờn dễ dàng hơn [23].