những món nợ! trong năm qua chàng dũng sĩ ấy không thực hiện nổi lấy được một trong những ý đồ của ông ta! và thực tế ông ta đã rơi xuống thấp đến mức Bi-xmác nổi lên như một đối thủ của ông ta!
ở đây cái chết của Pan-mớc-xtơn rõ ràng đã có ý nghĩa. Nếu như ông ta còn sống thì viên toàn quyền Ai-rơ sẽ nhận được huân chương "vì công lao"!
Phrai-li-grát cũng kết thúc năm này với điều phiền muộn lớn. Lão chủ Rây-nắc người Do Thái đã nổi giận chấm dứt công việc ở đây, vì việc đó đã đích thân tới Luân Đôn. Thêm vào đó đối với Phrai-li-grát, ngoài việc nợ tiền ngân hàng, còn xảy ra thêm một tai họa nữa là ba ngày trước khi Rây-nắc đầy uy lực đến, một trong những nhân viên của ông ta đã bỏ trốn với 150 p.xt.. Nhưng mặt khác, ông này có được sự che chở rất mạnh có thể dựa dẫm được. Bạn bè theo phái Plông-Plông của ông ta ở Pa- ri (như cựu đại tá Kít-sơ, người lấy con gái của cựu bộ trưởng Pháp Tu-vơ-nen, một nhà triệu phú hiện nay đứng đầu một công ty cổ phần cực lớn) sẽ tìm được cho ông ta một công việc mới nào đó.
Xin chúc mừng năm mới! Cho tôi gửi lời chúc mừng tới chị Li-di.
C.M. của anh
Công bố lần đầu trong cuốn sách: "Der Briefwechsel zwischen F. Engels und K. Marx". Bd. III, Stuttgart, 1913
In theo bản viết tay Nguyên văn là tiếng Đức
78
Mác gửi Ăng-ghen 187 ở Man-se-xtơ
[Luân Đôn, cuối năm 1865 - đầu năm 1866]
Phụ lục
Trong chuyến đi gần đây tới Man-se-xtơ173 có lần anh đã đề nghị tôi giải thích phép vi phân. Qua thí dụ sau đây anh có thể thấy rõ vấn đề đó. Phép vi phân đầu tiên xuất hiện từ phép tính vạch các đường tiếp tuyến qua một điểm nào đó trên đường cong bất kỳ. Chính trên thí dụ này tôi muốn giải thích cho anh rõ thực chất vấn đề.
Giả thiết mAo - là đường cong bất kỳ, mà bản chất đường này (là đường pa-ra-bôn hoặc ê-líp v.v.) chúng ta chưa biết, và tại điểm
m trên đó cần kẻ một tiếp tuyến.
Ax là trục. Chúng ta hạ đường thẳng góc mP (tung độ) xuống hoành độ Ax. Giờ đây hãy hình dung là điểm n - điểm gần sát của đường cong cạnh m. Nếu tôi hạ xuống trục một đường thẳng góc
np, thì p phải là điểm gần nhất đối với P, còn np - là đường song song gần nhất đối với mP. Bây giờ hãy kẻ đường thẳng góc ngắn
mR xuống np. Nếu anh coi hoành độ AP là x, tung độ mP là y thì
np=mP (hoặc Rp), được tăng bằng gia số nhỏ nhất (nR), hoặc (nR)
= dy (vi phân của y) còn mR = (Pp) = dx. Bởi vì phần mn của tiếp tuyến nhỏ nên có trùng lặp với phần tương ứng của đường cong. Do đó tôi có thể coi mnR là (tam giác), còn các mnR và mTP cũng là tam giác. Vì vậy: dy = nR : dx ( = mR) = y (= mP) : PT (mà có tiếp ảnh cho tiếp tuyến Tn). Do đó, tiếp ảnh PT = ydx
dy. Đó chính là phương trình vi phân tổng quát đối với tất cả các tiếp điểm của tất cả các đường cong. Nếu như giờ đây tôi cần tính toán tiếp với phương trình ấy và qua đó xác định giá trị tiếp ảnh PT (khi có giá trị rồi tôi chỉ cần nối điểm T và m bằng đường thẳng để có được tiếp tuyến) thì tôi cần phải biết đặc điểm của đường cong. Tương quan với đặc tính của nó (như pa-ra-bôn, ê-líp, xi-xsit và v.v.) nó có phương trình chung xác định được cho tung độ của nó và hoành độ của từng điểm, mà ta biết được căn cứ vào hình học đại số. Ví dụ, nếu đường cong mAo là pa-ra- bôn, thì tôi biết được là y2 (y - trung độ của điểm bất kỳ) =
ax, a - tham số pa-ra-bôn, còn x - hoành độ tương ứng với tung độ y.
Nếu tôi đặt giá trị ấy cho y vào phương trình PT = ydx
dy thì tôi
phải trước hết tìm dy, tức là tìm vi phân của y (biểu thức cho y với gia số nhỏ). Nếu y2 = ax thì tôi biết được từ phép vi phân là d(y2) =
d (ax) (tôi phải lấy vi phân cả hai vế của phương trình) sẽ cho 2y dy = adx (d ở mọi chỗ ký hiệu vi phân). Do đó, dx = 2ydy
a . Nếu tôi đặt
giá trị ấy cho dx vào công thức PT = ydx
dy , thì tôi sẽ có PT =
2 2
2y dy 2y
ady a = (vì y
2 = ax) = 2ax
a . Hoặc: tiếp ảnh cho mỗi điểm m
của pa-ra-bôn bằng hoành độ kép của chính điểm đó. Các đại lượng vi phân sẽ hết trong phép toán.
Công bố lần đầu In theo bản viết tay
Nguyên văn là tiếng Đức