8. Cấu trúc của luận văn
1.2.3. Quy trình mô hình hóa
Quá trình MHHTH không chỉ cần đến nguyên tắc mà còn cần được thực hiện theo một quy trình. Mặc dù quá trình MHHTH không dễ quy trình hóa, những vẫn cần thiết chỉ ra các bước thực hiện theo một lộ trình nhất định.
Theo Nguyễn Danh Nam trong [16]), có 4 giai đoạn cần thực hiện trong quá trình chung MHHTH (tham khảo Swetz và Hartzler, 1991):
“1. Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống và phát hiện các yếu tố có tác động đến vấn đề đó.
2. Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố sử dụng ngôn ngữ toán học, từ đó phác họa mô hình toán học tương ứng.
3. Áp dụng các PP và công cụ toán học phù hợp để MHH bài toán và phân tích mô hình.
Theo đó, có thể mô tả, hình dung quá trình MHHTH thông qua sơ đồ “khép kín” - tức là thể hiện được thực tiễn vừa là nguồn gốc, động lực vừa là môi trường ứng dụng của toán học như sau:
Sơ đồ 1.1. Quan hệ giữa 4 giai đoạn của MHH toán học
Tham khảo tài liệu [16], chúng tôi thống nhất với quy trình 7 bước thực hiện MHHTH trong DH môn toán do tác giả Nguyễn Danh Nam (2016) đề xuất:
1. Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giản hóa vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thực tế.
2. Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra.
3. Bước 3: Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngôn ngữ toán học mô tả tình huống thực tế cũng như tính toán đến độ phức tạp của nó.
4. Bước 4: Sử dụng các công cụ toán học thích hợp để giải bài toán.
5. Bước 5: Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế.
6. Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính hợp lý và tối ưu của mô hình đã xây dựng.
7. Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xây dựng mô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn.
Ở đề tài này, chúng tôi vận dụng vào phạm vi và đối tượng GV và HS THCS, và giới hạn trong nội dung giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình, trên cơ sở tham khảo [7], chúng tôi cụ thể hóa các hoạt động thực hiện MHHTH theo sáu bước như sau:
Bước 1: Xuất phát từ việc tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức, PP toán học - ở đây là công cụ PT, HPT.
Áp dụng Tình huống thực tiễn Mô hình toán học Kết luận, Thông báo Kết luận toán học Phân tích Quan sát, hiểu và xây dựng mô hình Hiểu và thông dịch
Để tiến hành bước này, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động:
- Chọn một tình huống thực tiễn có liên quan đến yêu cầu tìm, tính toán một vài đại lượng nào đó (chính là dẫn đến nhu cầu ẩn số của PT, HPT);
- Tìm hiểu các mối liên hệ giữa những dữ kiện đã cho và phải tìm (ứng với loại PT, HPT);
- Xác định sự phù hợp về mức độ khó khăn đối với HS THCS khi dùng công cụ PT, HPT (được học - ở đây chỉ hạn chế trong phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn);
Bước 2: Xây dựng giả thuyết - mô phỏng tình huống và cấu trúc đường lối giải quyết;
Để tiến hành bước này, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động:
- Mô tả chi tiết tình huống để xác định câu hỏi đặt ra là gì? Đưa ra các giả thiết phù hợp.
- Nhận ra yếu tố cố định, các đại lượng không đổi và đại lượng biến đổi trong tình huống để biểu diễn các mối quan hệ giữa chúng.
- Thu thập dữ liệu thực tế để cung cấp thêm thông tin cho tình huống, những dữ liệu này sẽ gợi ý loại mô hình toán phù hợp với tình huống.
- Chuyển từ tình huống ban đầu về dạng tình huống thực tiễn có dữ kiện và yêu cầu và cấu trúc rõ ràng bằng cách biểu đạt lại làm cho tình huống trở nên rõ ràng hơn, gần gũi với cấu trúc của một bài toán (cái đã cho - điều phải tìm).
- GV gợi ý mối liên kết giữa tình huống thực tế và toán học; dự kiến những kiến thức, kĩ năng toán học và giúp HS tái hiện, chuẩn bị sử dụng để thiết lập mô hình toán học và giải bài toán.
Bước 3: Xây dựng bài toán toán học;
Để tiến hành bước này, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động:
- Rút gọn, đơn giản hóa tình huống bằng cách lược bỏ những chi tiết không bản chất, cụ thể hóa câu hỏi, vấn đề đặt ra.
- Từ mô hình đã rút gọn - có cấu trúc giả thiết - kết luận, HS nhận dạng loại bài toán toán học tương thích.
- Biểu đạt theo cấu trúc và hình thức của loại bài toán đó bằng cách dùng tư duy và ngôn ngữ, ký hiệu toán học để phát biểu bài toán đã xác định.
Bước 4: Giải bài toán bằng công cụ toán học;
Để tiến hành bước này, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động:
- Ở bước này, GV hướng dẫn HS sử dụng kiến thức và kỹ năng toán học tương ứng để giải bài toán theo PP quen thuộc.
Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu;
Để thấy rõ ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động:
- Tìm hiểu lời giải theo cả hai mặt: mặt cú pháp (theo quy tắc, PP hình thức lôgic), mặt ngữ nghĩa (nghĩa của từng kiến thức, bước biến đổi tính toán và lập luận trong quá trình giải bài toán)
- Đối chiếu với câu hỏi và cách thức giải quyết đời thường để thấy rõ ý nghĩa của mô hình toán học trong hoàn cảnh thực tế.
Bước 6: Kiểm nghiệm đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác.
Để tiến hành bước này, GV hướng dẫn HS thực hiện các hoạt động:
- Đối chiếu mô hình vừa xây dựng với những tình huống thực tế và áp dụng thử để thấy được ưu, nhược điểm, tìm cách chỉnh sửa và rút ra kết luận cần thiết.
Ví dụ 1.1: Tình huống thực tế dẫn đến phương trình bậc nhất.
Bước 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn
Hai bạn An và Bình đi từ Giao Thuỷ đến Nam Định trên quãng đường 50km. An đi bằng xe đạp điện với vận tốc trung bình 20 km/h từ lúc 7g sáng, sau đó vào lúc 8g sáng Bình đi bằng xe xe máy với vận tốc trung bình 40 km/h.
Vậy có thể đặt ra những câu hỏi: Sau bao nhiêu lâu hai bạn gặp nhau trên đường? Địa điểm gặp nhau cách Nam Định bao nhiêu km?
Bước 2: Xây dựng giả thuyết - mô phỏng tình huống và cấu trúc đường lối giải quyết;
GV hướng dẫn HS đơn giản hóa bằng cách lược bỏ: tên người cụ thể chỉ để lại A và B; Giao Thuỷ và Nam Định chỉ để lại khoảng cách 50km; Phương tiện xe đạp điện và xe máy chỉ để lại 2 vận tốc 20 và 40; Thời gian chỉ còn lại 2 thời điểm 7g00 và 8g00. Tức là chỉ mới quan tâm đến mô hình và bài toán “chuyển động cùng chiều với vận tốc khác nhau” theo nghĩa vật lý.
Bước 3: Xây dựng bài toán thuần túy toán học
Bằng cách tiếp tục đơn giản hóa dữ kiện: tốc độ 20 từ lúc 7g; tốc độ 40 từ lúc 8g; thời điểm cách nhau 1 giờ. Như vậy, khoảng cách giữa A và B là 20 km. Từ đó, HS xác định được giả thiết - kết luận của bài toán; cấu trúc bài toán giải bằng cách lập phương trình: đặt ẩn x - lượng thời gian cần thiết để họ gặp nhau, đưa về phương trình 40x = 20x + 20. Rút gọn được: 2x = x+1.
Bước 4: Giải bài toán bằng công cụ toán học
Sử dụng PP toán học (ở đây là giải phương trình bậc nhất): 2x = x+1 Vẽ đồ thị của hai hàm số y = 2x và y = x+1 trên
cùng một hệ tọa độ (1.1).
Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu
Đối chiếu với tình huống thực tế mô hình bài toán vật lý để trả lời câu hỏi cho tình huống ban đầu:
Bước 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác.
HS đánh giá được ưu điểm của công cụ PT, HPT khi giải quyết bài toán thực tế dưới dạng chuyển động trong vật lý.
Điều chỉnh: Trong trường hợp thay đổi vận tốc? Chiều chuyển động hay loại chuyển động không đều ... thì PP giải quyết và kết quả như thế nào?
HS biết chuyển bài toán thành dạng chuyển động ngược chiều, thay đổi dữ kiện về thời điểm, vận tốc, ... và hơn thế là dạng bài toán về năng suất lao động, sản phẩm và thời gian. Mặt khác cũng có thể thay đổi công cụ toán học từ phương trình bậc nhất sang phương trình bậc hai hoặc hệ phương trình, ...