8. Cấu trúc của luận văn
2.3.2. Biện pháp 2: Sử dụng PP MHH trong DH kiến thức mới
2.3.2.1. Cơ sở khoa học và ý nghĩa của biện pháp
Khi hình thành kiến thức mới, để hiểu rõ và có hứng thú học tập cũng như thấy được lợi ích tác dụng của kiến thức toán học, HS cần biết đến nguồn gốc của kiến thức đó trong thực tiễn. Vì vậy PP MHH sẽ giúp cho GV và HS xây dựng kiến thức mới bằng cách tìm hiểu nhu cầu, hoàn cảnh thực tế dẫn đến kiến thức - “gần giống với hoàn cảnh, con đường, cách thức” mà loài người đã tìm đến, thu được kiến thức đó trong lịch sử. Sau đó GV tổ chức HS khái quát hóa để có kiến thức, quy luật toán học (điều đó cũng tương tự như quá trình loài người hình thành kiến thức toán học đó trong lịch sử).
2.3.2.2. Cách thức thực hiện biện pháp
Việc sử dụng PP MHH hỗ trợ hình thành kiến thức mới cần được tiến hành đồng bộ với những PPDH (cả truyền thống và không truyền thống) thường được dùng trong môn Toán. Điểm lưu ý ở đây chỉ là: PP MHH lồng ghép vào đặt trong sự kết hợp các PPDH, với mục đích, tác dụng cụ thể là “giúp HS được tiếp cận với kiến thức không phải là ở dạng có sẵn, mà tìm tòi phát hiện kiến thức mới trong những tình huống có nội dung, nguồn gốc từ thực tiễn. Khi đó, GV phối hợp sử dụng các PPDH với PP MHH để thiết kế, khai thác những tình huống thực tiễn, tổ chức hướng dẫn HS học kiến thức mới theo con đường khám phá, GQVĐ.
Minh họa thông qua hình thành phương trình bậc nhất và PP giải
Ví dụ 2.9: Tình huống thực tiễn về chuyển động với các vận tốc khác nhau.
a) Tình huống thực tiễn:
Một ôtô dự định đi quãng đường AB dài 60km trong một thời gian nhất định. Trên nửa quãng đường đầu, do đường xấu nên mỗi giờ ôtô chỉ đi được với vận tốc ít hơn dự định là 6km. Để đến B đúng dự định, trên nửa quãng đường còn lại, ôtô cần phải đi với vận tốc cao hơn dự định 10km mỗi giờ. Tìm thời gian dự kiến ban đầu để ôtô đi hết quãng đường.
b) Mô hình hóa toán học:
Nếu ta đặt ẩn là cái cần tìm (thời gian dự định) thì phương trình lập được rất cồng kềnh. Ta thay đổi bằng cách đặt ẩn phụ là vận tốc dự định. Khi đó việc phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ đại số dễ dàng hơn. Tìm được vận tốc dự định ta có ngay thời gian vì đã biết quãng đường. Vậy ở bài toán này ta tiến hành MHHTH như sau:
- Vận tốc dự định của ôtô là x (x>0). Khi đó lượng thời gian dự định đi sẽ là
(60)
x . Vận tốc thực ở nửa quãng đường đầu sẽ là (x-6) và thời gian đi là 6 30
x
- Vận tốc cần đi ở nửa quãng đường sau là (x+10) và thời gian cần đi nửa quãng
đường sau là 10 30
x . Như vậy, để đến được B đúng thời điểm dự kiến thì phải có:
x x x 60 10 30 6 30 (1)
c) Sử dụng công cụ toán học giải bài toán:
Phương trình (1) là ở dạng phương trình chứa ẩn ở mẫu. Ta biến đổi đưa về dạng phương trình bậc nhất 3x-90 = 0 và tìm được x=30. (Hình 2.6)
d) Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời:
Vì quãng đường là 60 km mà vận tốc dự kiến là 30 (km/h) nên suy ra thời gian
dự định là 60/30 = 2 giờ. Như vậy, ban đầu người ta dự định mất khoảng thời gian 2 giờ để vượt qua quãng đường AB.
Ví dụ 2.10:
a) Tình huống thực tiễn:
GV đưa ra tình huống: Ở một khu du lịch có dự kiến trang bị hệ thống cáp treo để chở khách tham quan. Qua khảo sát thì có thể lắp đặt được 36 cabin gồm 2 loại cabin: loại chở được 2 người và loại chở được 4 người. Thời gian để mỗi cabin di chuyển hết một vòng là 1 giờ. Để mỗi giờ công ty du lịch chở được tối đa 100 khách thì phải lắp mỗi loại cabin bao nhiêu chiếc? (Hình 2.7)
b) Mô hình hóa toán học:
GV vấn đáp HS để phân tích tình huống và tiến hành MHHTH như sau:
- Nếu ta xem x là số cabin chở được 2 người thì 36x là số ca bin chở được 4 người. Chú ý: x phải là số nguyên không âm (x0).
- Số người do 36 cabin chở được là 2x36x4.
Khi đó, chúng ta có bài toán: Tìm x sao cho 2x36x4. = 100 (thực chất là giải phương trình bậc nhất).
c) Sử dụng công cụ toán học giải bài toán:
Đây là dạng toán giải phương trình. Biến đổi phương trình, ta có: 2x = 144 - 100 = 44, tức là x = 22 (thỏa mãn điều kiện thực tế đặt ra ban đầu ở tình huống).
Chú ý: Thực chất, bài toán này chính là một dạng biểu đạt khác đi của bài toán cổ “Gà, Chó” ... Ở đây GV cũng có thể đưa về dạng bài toán giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (x - số cabin chở 2 người; x - số cabin chở 4 người):
x+y = 36 (1) và 2x+4y = 100 (2)
Nhờ vậy, GV dùng được hình ảnh đồ thị để giải thích bản chất của kết quả tìm được (Hình 2.8).
d) Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời:
Và nhờ vậy, ta có thể trả lời được câu hỏi ban đầu: Cần lắp đặt 22 cabin loại chở được 2 người và 36-22 = 14 cabin loại chở được 2 người. Nhờ công cụ toán học, ta tính được số cabin của từng loại và lượng người chở được (ở đây là 100) ăn khớp với số lượng cabin, nhờ thế mà khai thác được tối đa năng suất của mỗi cabin, không thừa, cũng không thiếu.
e) Hình thành kiến thức mới:
Sau khi phân tích và giải được bài toán, GV gợi ý HS so sánh, đối chiếu với bài toán “Gà, chó” giải bằng PP số học đã học ở tiểu học để thấy ta có thể giải bài toán theo cách trên một cách đơn giản, ngắn gọn hơn.
GV tóm tắt lại quá trình giải và giúp HS rút ra khái niệm về phương trình bậc nhất một ẩn cùng với cách giải loại phương trình mới này.
Minh họa thông qua hình thành kiến thức về phương trình bậc hai và PP giải
Ví dụ 2.11: Tình huống thực tiễn về năng suất, thời gian và tổng sản phẩm
Một xí nghiệp lắp máy dự định sản suất 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do thi đua xí nghiệp đó đã tăng năng suất thêm 1 sản phẩm mỗi ngày và do đó đã hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 6 ngày. Tính năng suất dự định ban đầu của xí nghiệp đó.
Trước hết ta có thể hướng dẫn học sinh kí hiệu x là năng suất dự kiến của xí nghiệp (ở đây điều kiện x là số nguyên dương). Bằng cách gọi ra mối liên hệ “năng suất dự kiến cộng thêm 1 bằng năng suất thực tế, ta có thể biểu thị năng suất thực tế qua năng xuất dự kiến là x+1. Trên cơ sở giúp học sinh phát hiện mối liên hệ “Tổng sản lượng bằng năng suất nhân với thời gian sản xuất", các em biểu thị được thời gian dự kiến là
x
120
và thời gian sản xuất sẽ thực tế là
1 120
x .
Bằng cách gợi ý mối liên hệ “Thời gian dự kiến bớt đi 6 ngày bằng thời gian sản xuất thực tế”, ta có thể giúp học sinh đi đến lập phương trình: x 120 - 6 = 1 120 x
Biến đổi về dạng phương trình bậc hai, ta sử dụng quy tắc giải đối với phương trình:
6x2+6x-120=0 và tìm được 2 nghiệm x = 4 và x = -5. Đối chiếu với điều kiện x nguyên dương, và thử lại: (120/4) - 6 = (120/5) đúng. Ta có câu trả lời: Năng suất dự kiến của xí nghiệp là 4 sản phẩm trong một ngày. (Hình 2.9)
Ví dụ 2.12: Tình huống thực tiễn về chuyển động với các phương án khác nhau
a) Tình huống thực tiễn:
Một ca nô xuôi một khúc sông dài 90km rồi ngược về 36km. Biết thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc
khi ngược dòng là 6km/h. Hỏi vận tốc thực tế của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng là bao nhiêu km/h?
b) Mô hình hóa toán học:
Đề bài có các phần khá rõ và mỗi phần đều có thể phiên dịch sang ngôn ngữ đại số dễ dàng như sau:
Vận tộc ca nô lúc ngược dòng Vận tốc ca nô lúc xuôi dòng
Thời gian xuôi dòng nhiều hơn ngược dòng 2 giờ x (x km/h, x > 0) x+6 2 36 6 90 x x (2)
Biến đổi phương trình (2) về phương trình: x2-21x+108=0,
c) Sử dụng công cụ toán học giải bài toán:
Đây là loại phương trình bậc hai. Giải phương trình này theo quy tắc, ta có: x1=9; x2= 12
d) Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời:
Cả hai khả năng x = 9 và x = 12 đều thoả mãn điều kiện bài toán ban đầu. Như vậy, ta có hai phương án trả lời như sau:
a) Trường hợp 1: Vận tốc lúc ngược dòng là 9km/h và xuôi dòng là 9+6=15km/h
b) Trường hợp 2: Vận tốc lúc ngược dòng là 12km/h và xuôi dòng là 12+6=18km/h.
e) Khai thác, mở rộng bài toán:
+ Thay “ thời gian xuôi dòng nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2giờ” bằng “ tổng thời gian cả xuôi dòng và ngược dòng là 10 giờ”. Còn các phần khác của bài toán thì giữ nguyên.
+ Thay “Hỏi vận tốc của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng?” bằng “Hỏi thời gian của ca nô lúc xuôi dòng và lúc ngược dòng?” các khác thì vẫn giữ nguyên.
+ Phát triển bài toán (dành cho học sinh là HS từ khá trở lên):
Một chiếc xuồng nhỏ chở những người du lịch phải hoàn thành một cuộc đi chơi dọc trên sông từ địa điểm A đến B và ngược trở lại mà không vượt quá 3 giờ. Chiếc xuồng đó phải có vận tốc riêng như thế nào, nếu vận tốc của nước sông là 5km/h, Khoảng cách từ A đến B là 28 km và xuồng dừng lại ở điểm B trong 40 phút.
GV gợi ý để HS lập được bất PT như sau:
- Gọi vận tốc riêng của xuồng là: x(km/h). Khi đó xuồng sẽ chạy xuôi dòng với vận tốc là (x+5) km/h và xuồng sẽ chạy ngược dòng với vận tốc là (x-5) km/h.
- Do vậy, thời gian dành cho toàn bộ cuộc hành trình (kể cả thời gian dừng lại ở điểm B) sẽ là: t =( 5 28 x 3 2 5 28 x ) giờ.
- Theo yêu cầu đề ra là tổng thời gian không vượt quá 3 (giờ), cho nên:
- Ta có bất phương trình 3 3 2 5 28 5 28 x x (x+5)(x-5)(x2-24x+25) 0 - Biết rằng vận tốc của xuồng lớn hơn vận tốc của nước, nghĩa là: x>5. Khi đó các số (x+5), (x-5) đều dương. Sử dụng các phép biến đổi tương đương ta chuyển về bất PT bậc hai: x2-24x-25 0. Để tìm được vận tốc riêng của xuồng thì ta phải giải bất PT trên.
- Giải bất PT bậc hai trên theo quy tắc, ta tìm được x25 hoặc x-1. Do điều kiện x>5 nên ta suy ra x25. Tức là để thời gian hành trình không quá 3 giờ thì vận tốc riêng tối thiểu của xuồng phải là 25 km/h.
Ví dụ 2.13: Tình huống liên môn
a) Tình huống thực tiễn: (Từ tình huống về khối lượng riêng trong môn Vật lý 6 và tỷ khối và số mol trong Hoá học 8)
Người ta hoà lẫn 8 gam chất lỏng này với 6 gam chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ hơn nó 200kg/m3 để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3. Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.
b) Mô hình hóa toán học:
Chú ý rằng bài tập đề cập đến vấn đề liên quan đến kiến thức vật lý, cụ thể ta phải chú ý công thức liên quan đến khối lượng riêng. Khi đó ta có thể phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ đại số như sau:
Gọi khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là x (x đo bằng kg/m3, x>200) thì khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai sẽ là (x-200).
Hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3. Sau khi đổi đơn vị g sang kg, dùng kiến thức Vật lý, ta có hệ thức: 700 014 , 0 200 006 , 0 008 , 0 x x (1)
c) Sử dụng công cụ toán học giải bài toán:
Từ (1) biến đổi đưa về dạng phương trình bậc hai rút gọn: 1,4x2-1260x+112000 = 0
Giải phương trình bậc hai ta có nghiệm x1= 800, x2 = 100 (loại).
d) Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời:
Suy ra khối lượng riêng của chất lỏng thứ nhất là 800kg/m3, và khối lượng riêng của chất lỏng thứ hai là 600kg/m3.
e) Khai thác bài toán:
Thay đổi điều kiện ta có bài toán tương tự, chẳng hạn thay câu a được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700kg/m3 “bằng” được một hỗn hợp có thể tích 0,2 lít, các phần còn lại giữ nguyên, … hoặc chỉ đơn giản là chuyển các số liệu trong đề bài toán trên sang đơn vị đo lường khác trong vật lý: 8g 0,008 kg; 200kg/m3 200g/lít; ...
Minh họa thông qua hình thành khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và PP giải
Ví dụ 2.14: Tình huống thực tiễn về tài chính
a) Tình huống thực tiễn: GV tăng cường khai thác các ví dụ thuộc lĩnh vực thống kê tài chính, ngân hàng, chi tiêu, … (gần gũi với thực tế xung quanh HS)
Một người mua hai loại hàng và phải trả tổng cộng 2,17 triệu đồng, kể cả thuế gía trị gia tăng (VAT) với mức 10% đối với loại hàng thứ nhất và 8% đối với loại hàng thứ hai. Nếu thuế VAT là 9% đối với cả hai loại hàng thì người đó phải trả tổng cộng 2,18 triệu đồng. Hỏi nếu không kể thuế VAT thì người đó phải trả bao nhiêu tiền cho mỗi loại hàng?
b) Mô hình hóa toán học:
Giả sử không kể thuế VAT, người mua hàng phải trả x (triệu) đồng cho loại hàng thứ nhất; y (triệu) đồng cho loại hàng thứ hai.
- Khi đó số tiền phải trả cho loại hàng thứ nhất (kể cả thuế VAT 10%) là x
100 110
(triệu) đồng, cho loại hàng thứ hai (kể cả thuế VAT 8%) là y
100 108 (triệu) đồng. - Ta có phương trình: 2,17 100 108 100 110 x y 1,1x+1,08y=2,17 (1)
- Khi thuế VAT là 9% cho cả hai loại hàng thì số tiền phải trả là ( ) 2,18 100 109 x y hay 1,09x+1,09y = 2,18 (2) - Kết hợp (1) và (2) ta có hệ phương trình: 18 , 2 09 , 1 09 , 1 17 , 2 08 , 1 1 , 1 y x y x
c) Sử dụng công cụ toán học giải bài toán:
Ở đây HS nhận dạng bài toán giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, sau đó dùng những PP đã biết (cộng hoặc thế) để giải hệ, tìm được một nghiệm (x=0,5; y=1,5).
d) Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời:
Vậy nếu không kể thuế VAT thì người mua hàng phải trả 0,5 triệu đồng cho loại hàng thứ nhất và 1,5 triệu đồng cho loại hàng thứ hai.