8. Cấu trúc của luận văn
1.4. Kết luận chương 1
Chương 1 đã trình bày những kết quả nghiên cứu lý luận và thực tiễn, bao gồm: Hệ thống hóa được một số vấn đề về cơ sở lý luận của đề tài:
- Cụ thể hóa một số khái niệm: mô hình toán học, mô hình hóa, mô hình hóa toán học, toán học hóa, năng lực mô hình hóa, phương pháp mô hình hóa.
- Tìm hiểu mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn;
- Cụ thể hóa quy trình vận dụng PP MHH trong DH Toán.
Tìm hiểu thực trạng DH nội dung giải bài toán bằng cách lập PT, HPT: - Kết quả dạy và học chủ đề, trong đó có yêu cầu gắn môn Toán với thực tiễn; - Tình hình sử dụng PP MHH trong DH chủ đề này (những khó khăn và nguyên nhân). Những kết quả nghiên cứu về lý luận và thực tiễn ở chương 1 cho thấy:
- PP MHH có nhiều ưu điểm trong DH toán nhằm thực hiện đổi mới giáo dục tập trung vào phát triển năng lực HS. Đặc biệt là năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn.
- Nội dung “giải bài toán bằng cách lập PT, HPT” được đưa vào môn toán THCS với nội dung và thời lượng không nhiều. Tuy nhiên đây là một nội dung toán học có nhiều cơ hội để GV và HS liên hệ với thực tiễn, tạo điều kiện khá tốt để vận dụng PP MHH. Thực trạng dạy và học chủ đề này hiện nay ở trường THCS cho thấy vẫn còn những khó khăn, bất cập hạn chế về nhiều phía ... Những kết quả nghiên cứu lý luận và thực tiễn này giúp chúng tôi rút ra kết luận: cần thiết và có cơ hội vận dụng PP MHH để thực hiện đổi mới PPDH, góp phần phát triển năng lực vận dụng thực tiễn của HS, nâng cao chất lượng DH nội dung này ở trường THCS.
CHƯƠNG 2
THIẾT KẾ VÀ TỔ CHỨC MỘT SỐ HOẠT ĐỘNG MÔ HÌNH HÓA TRONG DẠY HỌC GIẢI BÀI TOÁN
BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH 2.1. Định hướng và nguyên tắc thiết kế hoạt động mô hình hóa
2.1.1. Định hướng
Để thiết kế hoạt động MHHTH, chúng tôi tiến hành theo định hướng:
1 - Lựa chọn, sưu tầm, tìm hiểu và khai thác một số tình huống thực tiễn có ngữ cảnh gắn với bài toán giải bằng cách lập PT, HPT trong SGK, sách bài tập, tài liệu tham khảo và các nguồn tài liệu trên mạng;
2 - Xây dựng mô hình toán học (sử dụng mô hình theo Nguyễn Danh Nam [14])
- ở đây là dạng bài toán giải bằng cách lập PT, HPT.
3 - Dựa trên 6 nguyên tắc và 7 bước thiết kế hoạt động MHH (tham khảo [14]).
2.1.2. Nguyên tắc
Trong PP MHH, một khâu mang tính quyết định là thiết kế hoạt động MHHTH. Theo Lesh & Doerr, 2003 (dẫn theo [14, trang 120-121]), thiết kế hoạt động MHH dựa trên 6 nguyên tắc:
Nguyên tắc 1: Nguyên tắc xây dựng mô hình;
Nguyên tắc 2: Nguyên tắc thực tế;
Nguyên tắc 3: Nguyên tắc tự đánh giá;
Nguyên tắc 4: Nguyên tắc xây dựng tài liệu;
Nguyên tắc 5: Nguyên tắc chia sẻ, khái quát hóa;
Nguyên tắc 6: Nguyên tắc hiệu quả, đơn giản.
Vận dụng trong thực tế DH Toán THCS ở Việt Nam, chúng tôi tập trung vào 3 nguyên tắc sau đây khi thiết kế hoạt động MHHTH:
Nguyên tắc 1: Các hoạt động MHH vừa phải đảm bảo tính khoa học, chính xác, chặt chẽ của toán học nhưng cũng cần bám sát nội dung chương trình SGK và
nhất là khả năng ứng dụng vào thực tiễn của kiến thức và phương pháp mà HS được học trong môn toán ở THCS.
Nguyên tắc 2: Các hoạt động MHH phải chú trọng rèn luyện thói quen và kỹ năng giải quyết vấn đề thực tế cho HS.
Nguyên tắc 3: Các hoạt động MHH phải có tính khả thi và tính vừa sức (cả về vốn kiến thức và khả năng nhận thức) với đối tượng HS đồng thời phù hợp với phương tiện, điều kiện dạy và học môn toán ở THCS.
Các hoạt động và bài tập MHH tình huống thực tiễn cần được sắp xếp từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Việc HS tự mình giải quyết được một bài toán có ý nghĩa rất lớn về mặt tâm lý. Ngược lại, việc thất bại ngay từ bài toán đầu tiên dễ làm cho HS mất nhuệ khí, dễ gây tâm trạng bất lợi cho quá trình tổ chức hoạt động tiếp theo. Do đó, trong khi thiết kế các hoạt động và hệ thống bài tập MHH, GV cần chú ý đến các các cấp độ sau đây:
- Cấp độ 0: HS không hiểu tình huống và không thể vẽ, phác thảo hay viết bất cứ cái gì cụ thể về vấn đề.
- Cấp độ 1: HS chỉ hiểu tình huống thực tiễn nhưng không cấu trúc và đơn giản tình huống hoặc không thể tìm sự kết nối đến một ý tưởng toán học nào.
- Cấp độ 2: Sau khi tìm hiểu vấn đề thực tiễn, HS tìm mô hình thật qua cấu trúc và đơn giản hóa, nhưng không biết chuyển đổi thành một vấn đề toán học.
- Cấp độ 3: HS có thể tìm ra không chỉ mô hình thật, mà còn phiên dịch nó thành vấn đề toán học, nhưng không thể làm việc với nó một cách rõ ràng trong thế giới toán học.
- Cấp độ 4: HS có thể thiết lập vấn đề toán học từ tình huống thực tiễn, làm việc với bài toán với kiến thức toán học và có kết quả cụ thể.
- Cấp độ 5: HS có thể trải nghiệm quá trình MHH toán học và kiểm nghiệm lời giải bài toán trong mối quan hệ với tình huống đã cho.
Tùy từng đối tượng HS mà GV giao nhiệm vụ ở những cấp độ phù hợp, vừa sức, đảm bảo đúng trình độ của HS nhằm nâng cao hiệu quả của hoạt động MHH vấn
2.2. Thiết kế hoạt động mô hình hóa
2.2.1. Chủ đề 1: Phương trình bậc nhất một ẩn Ví dụ 2.1: Ví dụ 2.1:
Bước 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và PP thuộc PT, HPT. Tình huống: Giao thông (đường bộ, đường thuỷ, ...) với các phương tiện khác nhau, vận tốc khác nhau, quãng đường cũng có thể khác nhau, ...
Bước 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết;
Lược bỏ những chi tiết không bản chất toán học để đưa về dạng toán giải PT, HPT Bài có hai phương tiện tham gia chuyển động là Ca nô và Ô tô. Hướng dẫn học sinh lập bảng gồm các dòng, các cột như trên hình vẽ. Cần tìm vận tốc của chúng. Vì thế có thể chọn vận tốc của ca nô hay ô tô làm ẩn x (x>0). Từ đó điền các ô thời gian, quãng đường theo số liệu đã biết và công thức nêu trên. Vì bài toán đã cho thời gian nên lập phương trình ở mối quan hệ quãng đường.
Công thức lập phương trình: Sôtô -Scanô = 10
Bảng 2.1. Bảng tổng hợp thời gian - vận tốc - quãng đường của Ca nô và Ô tô
t(h) v(km/h) S(km) Ca nô 3h20'=10 3 h x 10 3 x Ô tô 2 x+17 2(x+17)
Bước 3: Xây dựng bài toán
Đường sông từ A đến B ngắn hơn đường bộ AB là 10km, từ A đến B ca nô đi hết 2 giờ 20 phút, còn ô tô đi hết 2 (giờ). Vận tốc ca nô nhỏ hơn vận tốc ô tô là 17 km mỗi giờ. Tính vận tốc của ca nô và ô tô?
Bước 4: Giải bài toán bằng cách lập PT, HPT bậc nhất
Dùng PP giải bài toán bằng cách lập PT, HPT
Gọi vận tốc của ca nô là x km/h (x>0). Vận tốc của ô tô là: x+17 (km/h). Quãng đường ca nô đi là: 10
3 x (km). Quãng đường ô tô đi là: 2(x+17) (km).
2(x+17) - 10
3 x =10. Giải phương trình ta được x = 18 (thỏa mãn ĐK).
Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu;
- Mặt cú pháp: Quy tắc giải phương trình bậc nhất
- Mặt ngữ nghĩa: Tìm số chưa biết thỏa mãn một đẳng thức dựa trên tính chất của các phép tính.
- Chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời
Vậy vận tốc ca nô là 18 (km/h) và vận tốc ô tô là 18 + 17 = 35 (km/h). (Hình 2.1.)
Bước 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác
- Mô hình bài toán chuyển động, đưa về lập và giải phương trình bậc nhất.
- Vận dụng tương tự:
Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 33km với vận tốc xác định. Khi đi từ B đến A, người đó đi bằng con đường khác dài hơn trước 29km, nhưng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi là 3km/h.Tính vận tốc lúc đi, biết thời gian đi nhiều hơn thời gian về là 1h30'?
2.2.2. Chủ đề 2: Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Ví dụ 2.2: Ví dụ 2.2:
Tìm vận tốc và chiều dài của một đoàn tàu hoả biết đoàn tàu ấy chạy ngang qua văn phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây. Cho biết sân ga dài 378m và thời gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25 giây.
Bước 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và PP về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.
Tình huống: Chuyển động của tàu hỏa khi vào và ra khỏi ga. Bước 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết;
Xem xét mối quan hệ giữa quãng đường - thời gian - vận tốc của chuyển động; xác định đường lối đưa về mô hình toán học phương trình, hệ phương trình.
Bước 3: Xây dựng bài toán
Gọi x (m/s) là vận tốc của đoàn tàu khi vào sân ga (x>0), gọi y (m) là chiều dài của đoàn tàu (y>0).
Tàu chạy ngang ga mất 7 giây nghĩa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y(m) mất 7 giây. Ta có phương trình: y = 7x (1)
Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378m cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga mất 25 giây nghĩa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y+378(m) mất 25 giây. Ta có phương trình: y + 378 = 25x (2) Kết hợp (1) và (2) ta được hệ phương trình x y x y 25 378 7 Như vậy, chúng ta đã chuyển được về bài toán: Giải hệ phương trình x y x y 25 378 7 (bài toán 1)
Bước 4: Giải bài toán bằng cách lập HPT bậc nhất hai ẩn
Giải hệ phương trình bằng PP thế, ta có: x=21 ; y= 147 (thỏa mãn ĐK)
(Hình 2.2)
Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu;
- Mặt cú pháp: Quy tắc giải HPT bậc nhất hai ẩn
- Mặt ngữ nghĩa: Tìm 2 số chưa biết thỏa mãn hai đẳng thức dựa trên tính chất của các phép tính.
- Chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời
Vậy vận tốc của đoàn tàu là 21m/s, Chiều dài của đoàn tàu là: 147m
Bước 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác
- Mô hình bài toán chuyển động, đưa về lập và giải phương trình bậc nhất.
- Vận dụng tương tự: Có thể thay thế tàu hỏa bởi ô tô, tàu thuỷ hoặc phương tiện giao thông khác và giữ nguyên các dữ kiện con số; hoặc chuyển sang dạng bài toán về diện tích của vật hình chữ nhật (cũng có mối quan hệ S = ab tương tự với S = vt).
Bài toán 2:
Tìm vận tốc và chiều dài của một chiếc tàu thuỷ biết con tàu ấy chạy ngang qua bến Ninh Kiều (Cầu Thơ) tính từ mũi tàu đến đuôi tàu mất 7 giây. Cho biết bến tàu dài 378m và thời gian kể từ khi mũi tàu bắt đầu vào bến cho đến khi đuôi tàu rời khỏi bến là 25 giây.
Bài toán 3:
Một xe công - ten - nơ chạy ngang qua một trạm soát vé tự động (không dừng) mất 2 giây. Cho biết chiều dài toàn bộ của trạm 30 m và thời gian kể từ khi đầu xe bắt đầu đi vào trạm cho đến khi đuôi xe rời khỏi trạm là 3 giây. Tìm vận tốc và chiều dài của xe công - ten - nơ?
2.2.3. Chủ đề 3: Phương trình bậc hai một ẩn
Ví dụ 2.3: Tình huống thực tế dẫn đến lập và giải phương trình bậc hai
Bước 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và PP thuộc phương trình bậc hai.
Tình huống: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng bé hơn chiều dài 4 m và diện tích bằng 320 m2. Tính chiều dài và chiều rộng mảnh đất (Toán 9, tiết 54)
Bước 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết; (Hình 2.3) Bước 3: Xây dựng bài toán
- Gọi chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là x (m), x > 0 thì chiều dài sẽ là (x + 4)
- Diện tích mảnh vườn là 320 m2 nên ta có phương trình: x(x + 4) = 320 x2 + 4x - 320 = 0
- Ta có bài toán giải phương trình bậc hai một ẩn x2 + 4x - 320 = 0 (bài toán 1). Bước 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai
' = 22 + 320 =324 => ' = 18
x1 = -2 - 18 = -16 (loại vì không thoả mãn ĐK) x2 = -2 + 18 = 16.
x+4 x
4
Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu;
- Mặt cú pháp: Quy tắc giải phương trình bậc hai
- Mặt ngữ nghĩa: Tìm số chưa biết thỏa mãn đẳng thức dựa trên tính chất của các phép tính.
- Chuyển đổi về câu hỏi ban đầu để trả lời.
Chiều rộng mảnh vườn là 16m; khi đó chiều dài là 16+4 = 20 (m)
Bước 6: Đánh giá và điều chỉnh mô hình để tiếp tục vận dụng vào giải các bài toán thực tiễn khác
- Mô hình bài toán diện tích hình chữ nhật, đưa về lập và giải phương trình bậc hai. - Vận dụng tương tự: Có thể xây dựng bài toán tương tự về chuyển động, năng suất lao động, nhiệt lượng tỏa ra trong dây dẫn tỷ lệ với bình phương dòng điện chạy qua trong Vật lý, ....
Bài toán 2: (Dạng tình huống công việc làm chung - làm riêng)
Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ II được điều đi làm việc khác, tổ I đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ xong công việc đó?
Ví dụ 2.4:
Tình huống thực tiễn ở môn học khác làm xuất hiện nhu cầu dẫn đến phương trình bậc hai: MHH để hình thành PT bậc hai trong môn Toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu một tình huống thực tiễn có chứa kiến thức và PP thuộc phương trình bậc hai.
Tình huống: Trong cuộc sống, một dây dẫn có dòng điện chạy qua sẽ sinh ra nhiệt lượng, người ta đo đạc được nhiệt lượng đó tỷ lệ với điện trở, thời gian và cường độ dòng điện. Vậy làm như thế nào để tính được nhiệt lượng? tính được cường độ dòng điện? ...
Bước 2: Mô phỏng tình huống và xác định đường lối giải quyết;
Tình huống trên được nghiên cứu trong Vật lý, và người ta biết nhiệt lượng (Jun) toả ra ở một dây dẫn có điện trở cố định R (ôm) trong thời gian t (giây) phụ thuộc vào cường độ dòng điện I (ampe) theo công thức: Q = 0,24 I2Rt. Hãy tính xem
khi người ta cần đến một nhiệt lượng 216 jun trong thời gian 1 giây đối với một điện trở R = 100 ôm thì cần đến dòng điện I là bao nhiêu ampe?
Bước 3: Xây dựng bài toán
- Gọi x (x>0) là cường độ dòng điện cần tìm, khi đó ta thay thế các giá trị đã biết vào công thức Vật lý Q = 0,24 I2Rt thu được: 216 = 0,24 x2 100 1
- Ta có bài toán giải phương trình bậc hai một ẩn 24x2
= 216 hay x2 = 9
Bước 4: Giải bài toán bằng quy tắc giải PT bậc hai
Dùng quy tắc giải phương trình bậc hai, ta tìm được 2 nghiệm x = 3 (Hình 2.4)
Bước 5: Hiểu lời giải bài toán theo cả 2 mặt cú pháp và ngữ nghĩa để trả lời cho câu hỏi ở tình huống thực tiễn ban đầu;
- Mặt cú pháp: Bài toán giải phương trình bậc hai, 2 nghiệm là 3, đối chiếu với điều kiện ta có một nghiệm x = 3;