8. Cấu trúc của luận văn
2.3.3. Biện pháp 3: Sử dụng PP MHH trong DH vận dụng kiến thức
2.3.3.1. Cơ sở khoa học và ý nghĩa của biện pháp
Trong DH vận dụng kiến thức, PP MHH tỏ ra đặc biệt hữu hiệu, bởi lẽ kiến thức toán học ở dạng lý thuyết không dễ dàng vận dụng được vào thực tiễn, cho dù chỉ là “giả định”. Vì vậy, nhiều ưu điểm của PP MHH, GV có thể khai thác PP này trong tổ chức những HĐ giúp HS vận dụng được kiến thức mới, không chỉ trong giải bài tập toán thuần túy, mà còn rèn luyện những kỹ năng quan trọng để vận dụng toán học vào giải quyết những vấn đề gặp phải khi học các môn học khác, trả lời các câu hỏi từ thực tế cuộc sống đặt ra ...
2.3.3.2. Cách thức thực hiện biện pháp
a) Quy trình sử dụng PP MHH tổ chức HS vận dụng kiến thức lý thuyết về
giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình:
Bước 1: MHH những tình huống, câu hỏi và bài toán (có nội dung thực tiễn) gặp phải để đưa về dạng bài toán giải bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.
Bước 2: Đối chiếu quy tắc, PP giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình với những tình huống, câu hỏi và bài toán gặp phải để lựa chọn và sử dụng công cụ toán học phù hợp giải bài toán.
Bước 3: Đối chiếu với câu hỏi ở tình huống ban đầu để chuyển kết quả bài toán (dưới dạng các nghiệm của PT, HPT) và trả lời câu hỏi thực tiễn.
b) Vận dụng quy trình để DH giải bài toán tìm 2 đại lượng khi biết các mối quan hệ giữa chúng
Ví dụ 2.15: Một chi tiết máy có hình một tam giác vuông, tìm độ dài hai cạnh ngắn của nó biết rằng người ta đo được tổng độ dài là 14 (dm), và độ dài của cạnh huyền 10 (dm).
Bước 1: Mô hình hóa toán học
Áp dụng MHH toán học đối với bài toán đã cho:
Vẽ hình (Hình 2.10) để chuyển về bài toán tìm các cạnh của tam giác vuông. Khi đó HS sử dụng tính chất tam giác vuông và
nhận ra bài toán số học “khá quen thuộc” “Tìm hai số biết tổng của chúng và tổng các bình phương của chúng”.
Từ đó các em thu gọn và phát biểu dưới một trong hai dạng:
- Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn; - Giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn;
Bước 2: Lựa chọn công cụ và giải bài toán
Cách 1: Sử dụng công cụ hệ phương trình 2 ẩn.
- Thiết lập hệ phương trình:
+ Nếu ta đặt độ dài của các cạnh cần tìm là x (x>0) và y (y>0) thì ta có x+y = 14; + Mặt khác, theo định lý Pitago, ta có x2+y2 = 102. + Từ đó ta có hệ phương trình 100 14 2 2 y x y x
- Giải hệ phương trình bằng PP cộng hoặc thế, tìm được một nghiệm (6;8) thỏa mãn điều kiện (x,y>0).
Cách 2: Sử dụng công cụ phương trình bậc hai.
- Nếu ta đặt độ dài của một cạnh cần tìm là x (x>0) thì cạnh thứ hai sẽ là (14-x); - Mặt khác, theo định lý Pitago, ta có x2+(14-x)2 = 102.
- Từ đó ta có phương trình bậc hai x2+(14-x)2=100.
- Giải phương trình bậc hai này theo quy tắc, ta tìm được 2 nghiệm x = 6, x = 8 (thỏa mãn điều kiện đối với ẩn x).
Bước 3: Căn cứ vào tình huống ở bài toán ban đầu. HS kết luận và trả lời: Chi tiết máy hình tam giác vuông đã cho có độ dài các cạnh là 6 (dm), 8 (dm) và 10 (dm).
Bước 4: Vận dụng MHH toán học để khai thác, phát triển bài toán.
Đây là loại toán bậc hai, để tạo những bài toán tương tự, ta có thể thay đổi dữ kiện và tình huống, chẳng hạn:
1. Tìm 2 số biết hiệu hai số và tổng các bình phương của chúng;
2. Tìm 2 số biết tổng (hiệu) hai số và tổng (hiệu) các nghịch đảo của hai số; 3 - Mở rộng tìm ba số thỏa mãn …
4 - Đưa vào bài toán hình học đối với hình chữ nhật (chứa các tam giác vuông với cạnh là các cạnh và đường chéo của hình chữ nhật, ...).
b) Vận dụng quy trình để DH giải bài toán về chuyển động
Ví dụ 2.16: Hai người đi xe đạp trên hai con đường vuông góc với nhau, cùng một thời điểm xuất phát và hướng tới một ngã tư. Vận tốc của bạn An là 12km/h, của bạn Bình là 10 km/h. Hiện tại bạn An cách cách ngã tư là 40 km, còn bạn Bình cách ngã tư là 30 km. Hỏi sau bao nhiêu lâu thì hai người còn cách nhau 20 km (tính theo đường chim bay)?
Bước 1: Mô hình hóa toán học
Áp dụng MHH toán học đối với bài toán đã cho:
HS vẽ sơ đồ (Hình 2.11) biểu thị tình huống chuyển động dưới dạng mô hình tam giác vuông ABC đỉnh A, trong đó cạnh AB thể hiện khoảng cách 40 km, cạnh AC thể hiện khoảng cách 30 km. Bạn An đang ở vị trí của điểm B, bạn Bình đang ở vị trí của điểm C. Khoảng cách ban đầu giữa họ cũng như trong suốt quá trình chuyển động chính là là độ dài cạnh huyền BC (trong thay đổi là B'C').
Từ đó các em lược bỏ những chi tiết không quan trọng, thu gọn, sử dụng ngôn ngữ và ký hiệu toán học để phát biểu dưới dạng toán giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn như sau:
Tình huống này đòi hỏi tìm lượng thời gian t (giờ), điều này gợi chúng ta nghĩ đến gọi thời gian cần tìm là t, khi đó các khoảng cách giữa An và Bình so với điểm gặp nhau tại ngã tư lần lượt là: (40 - 12t) km và (30 - 10t) km.
Chú ý rằng: Thời gian để An đến ngã tư là
40/12 = 3 giờ 20 phút; Thời gian để Bình đến ngã tư là 30/10 = 3 giờ, nên thời gian 0 < t 3.
Theo định lý Pitago, ta có: (40-12t)2+(30-10t)2=(BC)2.
Vì vậy, để thỏa mãn yêu cầu khoảng cách giữa họ là 20 (km) thì ta cần tìm t trong mối quan hệ (40-12t)2+(30-10t)2=(20)2. Nói cách khác, về mặt toán học ta cần phải giải phương trình bậc hai ẩn t sau: (40-12t)2+(30-10t)2=400.
Bước 2: Lựa chọn công cụ và giải bài toán
Đến đây, GV hướng dẫn HS sử dụng quy tắc giải phương trình bậc hai để tìm nghiệm. Sau khi đối chiếu với điều kiện 0 < t 3, ta thu được một nghiệm t 1,935, thỏa mãn điều kiện đối với ẩn t.
Bước 3: Căn cứ vào tình huống ở bài toán ban đầu. HS kết luận và trả lời cho câu hỏi ban đầu: Hai bạn sẽ ở vị trí cách nhau 20 (km) sau khi họ đã đi được gần 2 giờ ( 1,935 giờ).
Bước 4: Vận dụng MHH toán học để khai thác, phát triển bài toán.
Đây là loại toán bậc hai, để tạo những bài toán tương tự, ta có thể thay đổi dữ kiện và tình huống, chẳng hạn:
+ Chỉ thay đổi các số liệu trong bài toán trên, các yếu tố thực tế khác về cơ bản vẫn giữ nguyên: Hai người đi ô tô trên hai con đường vuông góc với nhau, cùng xuất phát một thời điểm và đi về phía một ngã tư là giao lộ của hai con đường đó. Vận tốc của người thứ nhất là 50 km/h, của người thứ hai là 60 km/h. Hiện tại người thứ nhất cách cách ngã tư là 80 km, còn người thứ hai cách ngã tư là 60 km. Hỏi sau bao nhiêu lâu thì hai người còn cách nhau 40 km (tính theo đường chim bay)?
C Hình 2.11 B B' C' A
+ Thay đổi một số yếu tố khác ở bài toán trên: chẳng hạn đưa vào tình huống đối với tam giác vuông nhưng sử dụng hệ thức lượng đối với đường cao thuộc cạnh huyền, hình chiếu của các cạnh góc vuông ... (Hình 2.12).
d) Vận dụng quy trình để DH giải bài toán về năng suất
Ví dụ 2.17:
GV đưa ra tình huống: Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ. Thu hoạch tất cả được 460 tấn thóc. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên 1 ha là bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa giống mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa giống cũ là một tấn.
GV gợi ý để HS thực hiện các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình như sau:
Gọi năng suất trên 1 ha của lúa giống mới là x (tấn), điều kiện (x > 0); Gọi năng suất trên 1 ha của lúa giống cũ là y (tấn), điều kiện (y > 0). Ta có hệ phương 1 3 4 460 40 60 x y y x
Dùng quy tắc giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn trên, ta tìm được x=5; y=4. Trả lời: Năng suất của lúa giống mới là 5 tấn/1 ha.
Năng suất của lúa giống cũ là 4 tấn/1 ha.
Bài toán 2:
a) Tình huống thực tiễn:
GV đưa ra tình huống: Một phân xưởng may lập kế hoạch may một lô hàng, theo đó mỗi ngày phân xưởng phải may xong 90 áo. Nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật, phân xưởng đã may được 120 áo mỗi ngày. Do đó, phân xưởng không những đã hoàn thành kế hoạch trước thời hạn 9 ngày mà còn may thêm được 60 áo. Hỏi theo kế hoạch phân xưởng phải may bao nhiêu chiếc áo?
b) Mô hình hóa toán học:
GV hướng dẫn HS phân tích bài toán: Trong tình huống trên có những đại lượng nào? Quan hệ của chúng ra sao? Lập mô hình toán học đối với tình huống để biểu diễn mối quan hệ giữa các đại lượng đó?
Trong bài toán trên ta gặp các đại lượng: Số áo may trong một ngày (đã biết). - Theo kế hoạch và thực tế đã thực hiện. Mối quan hệ giữa chúng: Số các đại lượng số áo may trong một ngày số ngày may = Tổng số áo may
- MHHTH: Để toán học hóa các đại lượng và mối quan hệ giữa chúng ta chọn ẩn là một trong các đại lượng chưa biết. Ta chọn x là số ngày may theo kế hoạch, khi đó tổng số áo may là 90x, nhưng nhờ cải tiến kỹ thuật nên số ngày may là x-9 và tổng số áo may là: 120(x-9).
Từ thông tin đã cho ở đề bài, ta có quan hệ giữa tổng số áo đã may được và số áo may theo kế hoạch được biểu thị bởi PT bậc nhất: 120(x-9) = 90x+60.
c) Sử dụng công cụ toán học giải bài toán: Rút gọn về 12(x-9) = 9x+6 và giải phương trình trên bằng quy tắc giải phương trình bậc nhất, ta tìm được x=38. (Hình 2.13)
d) Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời: Vậy kế hoạch may áo ban đầu của xưởng may là trong 38 ngày.
e) Khai thác bài toán:
Có thể đưa ra và giải cho các bài toán tương tự về tăng trưởng kinh tế, tăng hàng hoá xuất khẩu, … Chẳng hạn:
Tình huống thực tiễn:
Năm ngoái hai đơn vị sản xuất nông nghiệp thu hoạch được 720 tấn thóc. Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức 15%, đơn vị thứ hai làm vượt mức 12% so với năm ngoái. Do đó cả hai đơn vị thu hoạch được 819 tấn thóc. Hỏi mỗi năm, mỗi đơn vị thu hoạch được bao nhiêu tấn thóc?
Mô hình hóa toán học:
Gọi x (tấn) và y (tấn) là số tấn thóc mà hai đơn vị thu hoạch được trong năm ngoái (ĐK: x>0, y>0). Theo điều kiện đầu bài ta có:
Năm ngoái, hai đơn vị sản xuất thu hoạch được 720 tấn thóc, nghĩa là: x+y=720 (1)
Năm nay, đơn vị thứ nhất làm vượt mức15%, nghĩa là đơn vị thứ nhất thu hoạch được: x+ 100 115 100 15x x (tấn)
Khi đó, đơn vị thứ hai thu hoạch được: y+
100 112 100
12y y
(tấn) Cả hai thu hoạch được 819 tấn, có nghĩa là:
819 100 112 100 115x y (2) Ta có hệ phương trình: ) 2 ( 819 100 112 100 115 ) 1 ( 720 y x y x
Sử dụng công cụ toán học giải bài toán:
Dùng PP giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, ta tìm được nghiệm: (x=420; y=300)
(Hình 2.14)
Đối chiếu với tình huống ban đầu để trả lời:
Vậy năm ngoái đơn vị thứ nhất thu hoạch được 420 tấn thóc,đơn vị thứ hai thu thu hoạch được 300 tấn thóc.
Năm nay đơn vị thứ nhất thu hoạch được 483 tấn thóc, đơn vị thứ hai thu hoạch được 336 tấn thóc.