9. Cấu trúc của luận án
3.2.4. Sử dụng tình huống học tập chia bánh
a) Xác định mục tiêu ĐG: Đánh giá NL sử dụng các phép tính, công thức,
quy tắc, quy trình; NL sử dụng công cụ toán; NL sử dụng các thao tác tư duy, NL sử dụng ngôn ngữ toán và NL mô hình hoá toán học.
b) Xác định các minh chứng cần thu thập: Là các hành vi tính toán của HS
biểu hiện trên sản phẩm phiếu THHT, phiếu trợ giúp, vở nháp.
c) Xác định phương pháp và công cụ ĐG: Chúng tôi thu thập minh chứng
qua quan sát, nghiên cứu sản phẩm học tập, chụp ảnh, quay video clip. Công cụ ĐG là phiếu THHT, phiếu trợ giúp, bảng quan sát.
d) Tổ chức HS trải nghiệm tính toán trên THHT và thu thập minh chứng:
HS lớp Bốn/3 Trường tiểu học Lê Văn Tám (HS1-Hồ Như Phượng, HS2-Lê Thiên Mỹ) trải nghiệm tính toán THHT, thu được minh chứng sau:
Hình 3.7. HS Hồ Như Phượng với THHT chia bánh
Qua quan sát, chúng tôi ghi chép lại quá trình hoạt động tính toán của HS1 như sau: HS1 ước lượng và kẻ 01 đường chia mẩu giấy màu đã phát thành 02 phần bằng nhau, cắt theo đường kẻ. HS1 so sánh 02 sản phẩm vừa cắt và cắt bỏ phần thừa để tạo ra 02 hình bằng nhau, HS1 hình dung đó là 01 hình vuông và 01 hình chữ nhật, để thuận tiện trong quá trình phân tích chúng tôi tạm gọi 01 hình là hình vuông và hình còn lại là hình chữ nhật. HS1 gấp đôi hình chữ nhật và hình tròn,
cắt theo nếp gấp, gấp và cắt hình vuông thành 04 phần bằng nhau; HS1 chia 08 miếng sản phẩm thành 04 phần, mỗi phần 01 miếng phần tư hình vuông và 01 miếng phần hai hình chữ nhật (hoặc hình tròn). HS1 phát hiện 04 phần không đều nhau nên cắt đôi các nửa hình tròn và các nửa hình chữ nhật, xếp 16 miếng thành 04 phần đều nhau và dán sản phẩm. HS1 nhận bánh thật, cắt bánh theo phương án đã đề xuất, chia 03 bánh ra 04 phần đều nhau, mời 03 bạn cùng ăn với mình.
Hình 3.8. HS Lê Thiên Mỹ với THHT chia bánh
Qua quan sát, chúng tôi ghi chép lại quá trình hoạt động tính toán của HS2 như sau: HS2 đo, vẽ 02 cạnh để kết hợp 02 mép mẩu giấy màu đã phát tạo thành 01 hình vuông 3cm3cm; đo, vẽ 01 cạnh để kết hợp 03 mép mẩu giấy màu đã phát tạo thành 01 hình chữ nhật. Cắt theo đường kẻ. Gấp từng hình thành 04 phần bằng nhau. Cắt theo nếp gấp. Dán sản phẩm. Nhận bánh thật, cắt bánh theo phương án đã đề xuất. Chia 03 bánh ra 04 phần có diện tích đều nhau, mời 03 bạn cùng ăn với mình.
e) Xác định mức độ NLTT của HS: HS1 và HS2 cùng đạt mức độ 4. Tuy
nhiên, HS1 chưa nhanh nhạy bằng HS2 vì HS1 xử lí THHT chậm hơn và vướng nhiều khó khăn sai lầm hơn. Cụ thể:
THHT quen thuộc ở chỗ tạo ra 01 hình vuông và 01 hình chữ nhật, chia mỗi mô hình thành nhiều phần bằng nhau bằng thao tác đo, đếm, gấp, vẽ, kẻ, cắt. THHT không quen thuộc ở chỗ HS chỉ quen với phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên có thương là số tự nhiên, chưa tiếp cận với phép chia có thương không phải là số tự nhiên. HS vận dụng thao tác đo, gấp, kẻ, cắt để chia phần trong thực hiện chia mỗi hình trong 03 hình cho 04 bạn. THHT có nội dung tính toán khá đơn giản, nhưng vì THHT này được sử dụng cho HS trải nghiệm khám phá kiến thức phân số và phép chia số tự nhiên, nên đối với HS đây là THHT không quen thuộc.
- NL sử dụng các phép tính, công thức, quy tắc, quy trình (HS1 đạt mức độ 1, HS2 đạt mức độ 2):
Trong THHT, vì mẩu giấy màu đã phát được thiết kế là hình chữ nhật nên việc tạo ra 01 hình vuông và 01 hình chữ nhật cần thực hiện thao tác đo các cạnh của từng hình cần cắt. Tuy nhiên, HS1 không đo đạc mà lại ước lượng, kẻ, cắt mẩu giấy màu đã phát thành 02 hình bằng nhau (sản phẩm chưa đạt yêu cầu) và xem chúng như 01 hình vuông và 01 hình chữ nhật, điều này cho thấy quy trình tạo ra 01 hình vuông và 01 hình chữ nhật bị lệch hướng (mức độ 1). HS1 chỉ thành thạo thao tác đếm, gấp, cắt để chia mỗi mô hình thành nhiều phần bằng nhau.
HS2 thực hiện thành thạo bốn phép tính số học; vận dụng được các phép tính, công thức, quy tắc, quy trình trong tình huống quen thuộc (mức độ 2). Cụ thể: HS2 vận dụng thao tác đo, cắt để tạo ra 01 hình vuông 3cm3cm và 01 hình chữ nhật; thành thạo thao tác đếm, gấp, kẻ, chia mỗi mô hình thành nhiều phần bằng nhau.
- NL sử dụng công cụ toán (HS1 và HS2 cùng đạt mức độ 4):
+ Cả 02 HS sử dụng được các công cụ toán như những gì đã được giới thiệu và thực hành trong tình huống quen thuộc (mức độ 2). Cụ thể: HS1 dùng thước xác định các điểm và kẻ đoạn thẳng chia đôi độ dài mẩu giấy màu đã phát. HS2 dùng thước vẽ các cạnh 3cm của hình vuông và các cạnh của hình chữ nhật từ mẩu giấy màu đã phát. Cả 02 HS đều dùng kéo cắt theo đường kẻ và nếp gấp.
Cả 02 HS sử dụng được các công cụ toán trong tình huống không quen thuộc phức tạp (mức độ 4). Cụ thể: HS biết được hạn chế của thước, kéo và thao tác gấp trong thực hiện chia các chiếc bánh thật, thay vào đó HS dùng dao nhựa để cắt bánh thông qua ước lượng; biết kết hợp thước, gấp hình và cái kéo để thao tác tạo ra 04 phần bằng nhau đối với mỗi hình, sử dụng các mô hình như công cụ trực quan nhằm khám phá ý tưởng chia phần thực tế trong thể hiện ý nghĩa phép chia 3 : 4 .
- NL sử dụng các thao táctư duy (HS1 và HS2 cùng đạt mức độ 4):
+ HS1 điều chỉnh được tư duy sang hướng khác nếu cách tiếp cận tính toán hiện tại không thành công (mức độ 3). Cụ thể: Sau khi sắp xếp 08 miếng sản phẩm đã cắt thành 04 phần mỗi phần 02 miếng (01 miếng phần tư hình vuông, 01 miếng phần hai hình tròn hoặc hình chữ nhật) nhưng 04 phần không đều nhau nên HS1 chuyển sang tính toán theo hướng khác. HS1 xác định cần tiếp tục cắt các miếng
phần hai làm đôi thì sẽ chia được 04 phần đều nhau mỗi phần 03 miếng (01 miếng phần tư hình tròn, 01 miếng phần tư hình vuông, 01 miếng phần tư hình chữ nhật).
Cả 02 HS đều sử dụng được các thao tác tư duy để tìm phương án tính toán trong tình huống không quen thuộc (mức độ 4). Cụ thể: HS biết khái quát hình dạng các chiếc bánh, phân tích để vạch ra phương án chia đều diện tích 03 hình cho 04 bạn, so sánh độ lớn các sản phẩm. HS biết khái quát ý nghĩa của phép chia số tự nhiên cho số tự nhiên có thương không phải là số tự nhiên, khám phá mối liên hệ của phân số và phép chia số tự nhiên.
- NL sử dụng ngôn ngữ toán (HS1 và HS2 cùng đạt mức độ 4):
+ Cả 02 HS giải thích được quá trình và kết quả tính toán; các mối quan hệ hay các phát biểu được rút ra; các biểu diễn toán (mức độ 3). Cụ thể: HS1 sắp xếp các sản phẩm đã cắt vào 04 góc để thể hiện kết quả chia phần 03 hình cho 04 bạn. HS2 ghép các sản phẩm đã cắt về 03 hình ban đầu để thể hiện phương án cắt hình.
+ Cả 02 HS chuyển đổi được ngôn ngữ toán với ngôn ngữ tự nhiên để phản ánh ý nghĩa của kiến thức toán với thực tiễn (mức độ 4). Cụ thể: HS sử dụng ngôn ngữ tự nhiên chia phần thực tế 03 bánh cho 04 bạn để biểu thị phép chia 3 : 4 , sử dụng kết quả 03 phần bánh đã chia để biểu thị kết quả phép chia 3 : 4 không phải là một số tự nhiên mà là phân số 3
4.
- NL mô hình hoá toán học (HS1 và HS2 cùng đạt mức độ 4):
+ Cả 02 HS xác định được các mô hình toán học quen thuộc trong tình huống tương tự (mức độ 2). Cụ thể: HS nhận ra 03 chiếc bánh có hình dạng là hình vuông, hình tròn và hình chữ nhật; áp dụng cách vẽ, gấp và cắt để tạo ra hình vuông và hình chữ nhật đại diện cho hai chiếc bánh có hình dạng tương ứng.
+ Cả 02 HS biết mô hình hoá toán học tình huống không quen thuộc phức tạp (mức độ 4). Cụ thể: HS xây dựng được mô hình thực tế (xác định được vấn đề “chia đều diện tích 03 hình cho 04 bạn”), xây dựng được mô hình toán học (xác định được hình dạng 02 chiếc bánh còn lại (hình vuông, hình chữ nhật), tạo ra 02 hình đó bằng giấy, chọn phương án chia mỗi hình thành 04 phần có diện tích bằng nhau theo cách chia phần thực tế, chuyển được vấn đề thành bài toán “Cắt 02 hình bằng giấy tương ứng hình dạng 02 chiếc bánh còn lại, chia đều diện tích 03 hình cho 04 bạn”), giải
quyết được THHT theo mô hình toán học đã chọn (cắt 02 hình bằng giấy tương ứng hình dạng 02 chiếc bánh còn lại, chia đều diện tích 03 hình cho 04 bạn, trình bày phương án), lí giải được kết quả toán học theo tình huống thực tế (nhận 03 chiếc bánh thật, chia đều cho 04 bạn cùng ăn).
+ Cả 02 HS chuyển đổi được, giải thích được xuôi và ngược giữa mô hình toán học với tình huống (mức độ 4). Cụ thể: HS biết mỗi hình đại diện cho hình dạng một chiếc bánh; khi thực hiện chia phần trên hình, HS liên tưởng thao tác chia phần trên các chiếc bánh; khi nhìn sản phẩm đã dán trong phiếu THHT, HS nhận ra mỗi bạn được 03 phần có diện tích bằng nhau và cảm nhận 03 phần bánh sẽ được ăn ngay sau đó; khi thực hiện chia phần trên các chiếc bánh, HS liên tưởng đến các mô hình và áp dụng đúng các phương án đã đề xuất; khi cắt bánh xong, HS nhận phần bánh của mình đúng như 03 phần đã được chia trên mô hình và ăn vui vẻ.
f) Giải thích sự tiến bộ NLTT của HS
Từ minh chứng trên cho thấy, sau khi trải nghiệm THHT cùng phiếu trợ giúp, NLTT của HS được cải thiện. HS vượt qua nhiều khó khăn sai lầm: HS1 không đo các cạnh của hình cần cắt mà lại ước lượng và kẻ 01 đường chia mẩu giấy màu đã phát thành 02 phần bằng nhau, yêu cầu của THHT là cắt để tạo ra 01 hình vuông và 01 hình chữ nhật mà sản phẩm lại là 02 hình bằng nhau. HS1 chia 08 miếng (02 miếng phần hai hình chữ nhật, có 02 miếng phần hai hình tròn và 04 miếng phần tư hình vuông) thành 04 phần, vì mỗi phần 02 miếng nên HS1 ngộ nhận 04 phần đều nhau. Cả 02 HS đều thiếu kiểm tra các góc vuông của mỗi hình.
HS quen thuộc với phép chia giữa hai số tự nhiên có thương là một số tự nhiên. Sau khi trải nghiệm THHT, HS biết rằng trong phạm vi các số tự nhiên, phép chia một số tự nhiên cho một số tự nhiên (khác không) không phải lúc nào cũng có thương là một số tự nhiên. Với các mô hình trực quan trong THHT và yêu cầu chia đều diện tích 03 hình cho 04 bạn, HS nhận ra nếu chia mỗi bạn 01 hình sẽ có bạn thiếu phần, vậy mỗi bạn sẽ không được trọn 01 hình. Chỉ có thể chia phần thực tế, chia mỗi hình thành 04 phần có diện tích bằng nhau, phát cho từng bạn một phần tư mỗi hình, vậy từng bạn nhận được ba phần tư số hình (tương ứng ba phần tư số bánh). Nhìn dưới góc độ tính toán số học thì trên thực tế đã thực hiện được phép chia 3 : 4 . Do đó, phép chia 3 : 4 có ý nghĩa thực tiễn và được biểu thị bởi phân số
3
4. Lúc này trong tư duy HS khái niệm phân số được chấp nhận, mỗi HS đều hiểu mối liên hệ giữa phân số và phép chia số tự nhiên.
Ý nghĩa chia phần thể hiện rõ ý nghĩa phân số trong thực tế, khi HS hiểu ý nghĩa này thì việc chia bánh để xuất hiện phân số bất kì không còn là vấn đề khó, HS có thể khái quát khái niệm phân số. Một tình huống chia bánh đơn giản nhưng lại mang đến cho HS nhiều cơ hội thể hiện NLTT của bản thân, sự kết hợp tinh tế trong quá trình tính toán làm cho việc học toán trở nên thú vị và ý nghĩa. Về mặt toán học, việc gấp và cắt trên các hình tương đối chính xác, nhưng trên thực tế việc cắt bánh luôn xảy ra tình trạng có những miếng bánh bị rơi vụn ra khi cắt, họa tiết trang trí trên bánh sẽ không đều nhau giữa các phần bánh... Mặc dù vậy, HS ít quan tâm những vấn đề đó, nghĩa là HS biết lí tưởng hóa vấn đề trong tình huống thực tiễn. Đây là vấn đề do thực tiễn đặt ra, để giải quyết HS cần chuyển tình huống thành một dạng toán, lập mô hình và tính toán trên mô hình để thiết lập các quy tắc, xác định các kết nối để sáng tạo nên các lập luận toán học đúng đắn; lí giải kết quả toán học theo tình huống thực tiễn. Nghĩa là HS phải trải qua quá trình toán học hoá cùng các biểu hiện NLTT của bản thân. Cần tập dượt thường xuyên cho HS quá trình toán học hoá để các em tự tin khi đối mặt với các tình huống thực tiễn.