9. Cấu trúc của luận án
3.2.1. Sử dụng tình huống học tập phân số trên mô hình
a) Xác định mục tiêu ĐG: Đánh giá NL sử dụng các phép tính, công thức,
quy tắc, quy trình; NL sử dụng công cụ toán; NL sử dụng các thao tác tư duy, NL sử dụng ngôn ngữ toán.
b) Xác định các minh chứng cần thu thập: Là các hành vi tính toán của HS
biểu hiện trên sản phẩm phiếu THHT, phiếu trợ giúp, vở nháp.
c) Xác định phương pháp và công cụ ĐG: Chúng tôi thu thập minh chứng
qua quan sát, nghiên cứu sản phẩm học tập, chụp ảnh, quay video clip. Công cụ ĐG là phiếu THHT, phiếu trợ giúp, bảng quan sát.
d) Tổ chức HS trải nghiệm tính toán trên THHT và thu thập minh chứng:
HS lớp Bốn/1 Trường Lê Văn Tám (học sinh 1 (HS1) - Lê Thuý Vy, học sinh 2 (HS2) - Lương Thảo Nguyên) trải nghiệm tính toán THHT:
Hình 3.1. HS Lê Thuý Vy với THHT phân số trên mô hình
Qua quan sát, chúng tôi ghi chép lại quá trình hoạt động tính toán của HS1 như sau: HS1 gấp đôi hình vuông, tô màu 01 phần và xem đó là bước 1. HS1 gấp đôi sản phẩm ở bước 1, tô màu thêm 01 phần, tính tổng: 1 1 2 1 3
2444 4, viết “ta có 03 hình vuông nhỏ được tô màu bên trong 04 hình vuông, vậy ta được phân số
3
4”. HS1 gấp đôi sản phẩm ở bước 2, gấp đôi thêm lần nữa (hình vuông được gấp thành 16 phần bằng nhau), tô màu thêm 01 phần còn 03 phần chưa tô màu, viết vào phiếu THHT “ta có 13 hình tô màu và 03 hình chưa tô màu, vậy ta có 13
3 ”, tính tổng
1 1 1 4 2 1 7
2488888. HS1 xin phiếu trợ giúp, gấp đôi sản phẩm thêm lần nữa, tính tổng
7 1 14 1 15 15 1 30 1 21
,
816161616 1632323232 (kết quả đúng phải là 31
tổng còn lại chưa đúng: 21 1 43, 43 1 87 , 87 1 175
326464 64128128 128256256. HS1 viết vào phiếu trợ giúp các kết quả: 3, , 7 15, 175
4 8 16 256. Gợi ý trong phiếu trợ giúp là “tính nhanh phần tô màu dựa trên phần chưa tô màu và phần cả hình” nhưng HS1 tìm phần chưa tô màu dựa trên phần tô màu và phần cả hình nên tính tổng ở bước 1 và bước 2 là 1 1 1 2 2 , 1 3 1 4 4 , từ đó điều chỉnh các kết quả tổng thành 1 1 1 1 1 , , , , 2 4 8 16 256. HS1 phát hiện nhầm lẫn, theo đó HS1 khám phá cách tính tổng nhanh ở bước 8 là “1 - tổng số hình chưa tô màu”, trình bày lại:
1 1 3 1 7 1 15 1 255
, 1 , 1 , 1 , 1
2 4 4 88 1616 256256. HS1 kiểm tra bài làm, nộp bài.
Hình 3.2. HS Lương Thảo Nguyên với THHT phân số trên mô hình
Qua quan sát, chúng tôi ghi chép lại quá trình hoạt động tính toán của HS2 như sau: HS2 gấp đôi băng giấy, gạch sọc 01 phần và xem đó là bước 1. HS2 tính tổng 1 1 2 1 3
2444 4, gấp đôi sản phẩm ở bước 1, gạch sọc thêm 01 phần. HS2 gấp đôi sản phẩm ở bước 2, gạch sọc thêm 01 phần (băng giấy được gấp thành 08 phần bằng nhau), tính tổng 1 1 1 4 2 1 7
2488888. HS2 gấp đôi sản phẩm ở bước 3, gạch sọc thêm 01 phần, tính tổng 1 1 1 1 8 4 2 1 14 7
đúng phải là 15
16). HS2 viết được các phân số trong tổng ở bước 8, kết quả tổng theo cách quy đồng là 119
128 (chưa chính xác do phân số 1
2 2 2 lặp lại hai lần), kết quả đúng phải là 255
256. HS2 đối chiếu bài làm với sản phẩm mô hình, nhận ra cách tính tổng nhanh và viết: 1 1 3, 1 1 7, 1 1 15, 1 1 127
4 4 8 8 16 16 128 128
. HS2 phát hiện phân
số cuối cùng của tổng ở bước 8 không phải 1
128 mà là 1
256, tính 1 1 255
256 256
, gạch
bỏ cách quy đồng, trình bày lại các tổng theo cách tính nhanh vừa khám phá:
1 1 3 1 7
, 1 , 1
2 4 4 88, 1 1 15, 1 1 255
16 16 256 256
. HS2 kiểm tra bài làm, nộp bài.
e) Xác định mức độ NLTT của HS: HS1 đạt mức độ 2, HS2 đạt mức độ 4.
- NL sử dụng các phép tính, công thức, quy tắc, quy trình (HS1 đạt mức độ 2, HS2 đạt mức độ 4):
HS1 thực hiện thành thạo bốn phép tính số học; vận dụng được các phép tính, công thức, quy tắc, quy trình trong tình huống quen thuộc (mức độ 2). Cụ thể: HS1 quen thuộc với việc quy đồng phân số, cộng nhiều phân số khác mẫu số nhanh và đúng ở các biểu thức tổng có sẵn trong THHT.
Ngoài các biểu hiện như HS1, HS2 còn vận dụng được các phép tính, công thức, quy tắc, quy trình trong tình huống không quen thuộc phức tạp (mức độ 4). Cụ thể: THHT không quen thuộc ở chỗ HS dùng mô hình đã gấp và gạch sọc để khám phá cách tính tổng nhanh (phần gạch sọc bằng 1 trừ phần chưa gạch sọc). HS2 vận dụng quy trình trừ hai phân số bằng cách quy đồng khi không có sẵn phép trừ trong biểu thức tổng từng bước, biểu thức tổng ở bước 8 phức tạp và không có sẵn.
- NL sử dụng công cụ toán (HS1 đạt mức độ 2, HS2 đạt mức độ 4):
HS1 sử dụng được các công cụ toán như những gì đã được giới thiệu và thực hành trong tình huống quen thuộc (mức độ 2). Cụ thể: HS1 quen thuộc với việc gấp hình, kẻ đậm nếp gấp bằng thước và bút, tô màu, diễn đạt “03 hình vuông được tô màu trong tổng số 04 hình vuông, vậy ta có phân số 3
4”.
tình huống không quen thuộc phức tạp (mức độ 4). Cụ thể: HS2 sử dụng mô hình đã gấp và gạch sọc như một công cụ trực quan hỗ trợ khám phá ý tưởng tính tổng nhanh từ sự tương phản màu (phần gạch sọc bằng 1 trừ phần chưa gạch sọc).
- NL sử dụng các thao tác tư duy (HS1 đạt mức độ 2, HS2 đạt mức độ 4): HS1 trình bày đúng thứ tự thực hiện các phép tính trong biểu thức (mức độ 2). Cụ thể: HS1 thực hiện đúng thứ tự các phép tính trong biểu thức tổng ở bước 2 và 3.
Ngoài các biểu hiện như HS1, HS2 còn bộc lộ thêm các biểu hiện sau: + HS2 điều chỉnh được tư duy sang hướng khác nếu cách tiếp cận tính toán hiện tại không thành công (mức độ 3). Cụ thể: HS2 gạch bỏ cách quy đồng để tính tổng nhanh theo phần bù của phân số cuối cùng trong tổng.
+ HS2 sử dụng được các thao tác tư duy để tìm phương án tính toán trong tình huống không quen thuộc (mức độ 4). Cụ thể: HS2 khái quát được cách viết các phân số trong tổng ở bước n bất kì, trình bày được biểu thức tổng ở bước 8 gồm 08 phân số, mỗi phân số đều có tử số là số 1, mỗi mẫu số gấp mẫu số liền trước 01 thừa số 2, phân số thứ 8 trong tổng có mẫu số gồm 08 thừa số 2. Tuy nhiên, vì mới làm quen với THHT dạng này nên việc trình bày biểu thức tổng có chút sai sót
( 1
2 2 2 lặp lại 02 lần dẫn đến kết quả tổng chưa đúng). HS2 phân tích, so sánh kết quả tổng đã tính ở bước 1, 2, 3 đồng thời đối chiếu với sản phẩm mô hình và nhận ra việc tính tổng bằng cách quy đồng dài dòng, cần tính tổng nhanh qua phần bù của phần chưa gạch sọc, phần chưa gạch sọc thể hiện phân số cuối cùng trong tổng, từ đó định hướng tính tổng nhanh khái quát bằng 1 trừ phân số cuối cùng trong tổng. Mặc dù theo cách quy đồng, kết quả tổng ở bước 4 và bước 8 đều sai nhưng HS2 vẫn khám phá được cách tính tổng nhanh, cho thấy HS2 tổng quát được cách tính tổng nhanh ở bước n bất kì mà không phụ thuộc biểu thức tổng ở bước đó.
- NL sử dụng ngôn ngữ toán (HS1 đạt mức độ 2, HS2 đạt mức độ 4):
+ HS1 nói hoặc viết được tên các kiến thức toán đã học (mức độ 2). Cụ thể: HS1 viết phân số 3
4 chỉ số phần đã tô màu ở bước 2.
giữa các biểu diễn (mức độ 2). Cụ thể: HS1 diễn đạt “03 hình vuông nhỏ được tô màu trong tổng số 04 hình vuông, vậy ta có phân số 3
4”, chuyển giá trị phân số trên mô hình sang kí hiệu phân số tương ứng.
Ngoài các biểu hiện như HS1, HS2 còn bộc lộ thêm các biểu hiện sau: + HS2 hiểu và xử lí được các ngôn ngữ, hình thức diễn đạt trong tình huống không quen thuộc (mức độ 4). Cụ thể: HS2 hiểu và xử lí kí hiệu n ở bước n, vì phân số thứ n có mẫu số gồm n thừa số 2 nên phân số thứ 8 là 1
256.
+ HS2 kết hợp được các biểu diễn để sáng tạo cách tính toán trong GQVĐ (mức độ 4). Cụ thể: HS2 kết hợp biểu diễn phân số trên mô hình và sự tương phản giữa phần gạch sọc và phần chưa gạch sọc để sáng tạo cách tính tổng nhanh (lấy cả mô hình trừ phần chưa gạch sọc sẽ bằng phần gạch sọc), đồng thời chuyển ý tưởng đó trên mô hình về kí hiệu phép trừ các phân số tương ứng.
f) Giải thích sự tiến bộ NLTT của HS
Đây là THHT không quen thuộc, HS trải qua nhiều khó khăn, sai lầm: Cả 02 HS đều bắt đầu tính tổng theo cách quy đồng quen thuộc. Ở bước 3, do bất cẩn, HS1 thực hiện không đúng trình tự các yêu cầu nên không định hướng được cách tính toán (gấp hình liên tiếp 02 lần mà tô màu chỉ có 01 phần, còn 03 phần chưa tô màu và viết “ta có 13 hình tô màu và 03 hình chưa tô màu, vậy ta có 13
3 ”). HS1 tính tổng ở bước 5 là 15 1 30 1 21
1632 323232 (quy đồng đúng, cộng sai, kết quả đúng phải là 31
32), các tổng còn lại sai theo: 21 1 43, 43 1 87 , 87 1 175
3264 64 64128128 128256 256. Do HS1 đọc chưa kĩ các gợi ý trong phiếu trợ giúp nên HS1 nhầm thông tin, gợi ý trong phiếu trợ giúp là “tính nhanh phần tô màu dựa trên phần chưa tô màu và phần cả hình” mà HS1 thực hiện ngược lại, nghĩa là “tìm phần chưa tô màu dựa trên phần tô màu và phần cả hình” nên tính: 1 1 1, 1 3 1
2 2 4 4
. HS1 đối chiếu bài làm với phiếu trợ giúp và sản phẩm mô hình, phát hiện nhầm lẫn, từ đó khám phá cách tính tổng nhanh và giải quyết thành công THHT. HS2 vừa gấp hình vừa gạch sọc vừa tính tổng từng bước theo cách quy đồng, chưa định hướng được cách tính tổng nhanh từ sản phẩm mô hình. HS2 tính
tổng ở bước 4 chưa đúng: 1 1 1 1 8 4 2 1 14 7
248 16 16161616168 (cộng nhầm, kết quả đúng phải là 15
16). HS2 viết biểu thức tổng ở bước 8 có chút sai sót do phân số
1
2 2 2 lặp lại hai lần, dẫn đến kết quả tổng 119
128 thiếu chính xác, kết quả đúng phải là
255
256. HS2 đối chiếu bài làm với sản phẩm mô hình, nhận ra cách tính tổng nhanh thông qua phần bù của phân số cuối cùng trong tổng, từ đó điều chỉnh bài làm theo cách tính nhanh vừa khám phá.
Như vậy, sau khi trải nghiệm THHT cùng phiếu trợ giúp, NLTT của HS được cải thiện. Cả 02 HS đều vượt qua những khó khăn sai lầm và tích luỹ kinh nghiệm tính toán cho THHT dạng này (không quy đồng dài dòng, cần tính tổng nhanh thông qua phần bù của phân số cuối cùng trong tổng, tính tổng nhanh không phụ thuộc biểu thức tổng mà phụ thuộc phân số cuối cùng trong tổng). Mỗi HS có NL khác nhau, quá trình trải nghiệm trên THHT là cơ hội để HS tự mình và trực tiếp hoạt động gấp hình, tô màu, gạch sọc, kẻ đậm nếp gấp, tính tổng, kiểm tra quá trình và kết quả, thử và sửa sai, tự mình hoàn thành THHT. Sự hỗ trợ của biểu diễn trực quan đã tập trung chú ý của HS đến sự tương phản giữa phần tô màu/gạch sọc và phần chưa tô màu/chưa gạch sọc trong tổng thể một mô hình, đó là điểm tựa để HS liên tưởng mối liên hệ bù nhau giữa tổng và phân số thứ n, từ đó dự đoán cách tính tổng nhanh (phần tô màu bằng 1 trừ phần chưa tô màu). Những gợi ý trong phiếu trợ giúp đã định hướng HS tính toán thành công THHT. Vậy THHT mà chúng tôi thiết kế thể hiện ý nghĩa, bản chất của tổng cũng như cách tìm kết quả của nó.