3.3.1. Giới thiệu bài toán 1
Xuất phát từ bài toán Chuồng Bò của tác giả Nguyễn Thị Tân An (2014)
Anh Dân dự định dựng một cái chuồng hình chữ nhật để nuôi bò và sẽ tận dụng một mặt tường nhà để làm chuồng. Bức tường nhà anh dài 15 m. Hiện tại anh có các thanh sắt đủ để làm hàng rào dài 24 m, cao 0,8 m. Em hãy tư vấn cho anh Dân cách thiết kế chuồng bò sử dụngvừa đủ lượng sắt hiện có để rào phần còn lại của chuồng nhưng tạo ra diện tích sử dụng lớn nhất. Giải thích cách làm của em (Nguyễn Thị Tân An, 2014, tr.126).
Chúng tôi thiết kế một bài toán thực nghiệm như sau:
Bài toán 1: Một người nông dân dự định dựng một cái chuồng để nuôi bò và
sẽ tận dụng một mặt tường nhà để làm chuồng. Bức tường nhà ông dài 15 m. Hiện tại ông có các thanh sắt thẳng đủ để làm hàng rào kiên cố dài 24 m, cao 0,8 m. Với lượng sắt hiện có, em hãy tư vấn cho người nông dân cách thiết kế chuồng bò
để có thể nuôi được nhiều bò nhất.
Chúng tôi đã cố tình thay đổi các từ ngữ của bài toán cũ với mục đích:
- Không nói rõ chuồng hình gì và thay đổi yêu cầu “dựng chuồng có diện tích lớn nhất” thành “dựng chuồng nuôi được nhiều bò nhất” để kiểm tra KN đưa ra giả định của HS. Cụ thể HS cần phải đưa ra hai giả định cốt lõi (giả định phải có mới tiếp tục được quá trình MHH) là:
+ Giả sử hình dạng chuồng bò là…
+ Giả sử diện tích lớn nhất sẽ nuôi được nhiều bò nhất.
Giả định khác như: Cần giữ nguyên chiều cao “hàng rào 0,8 m để con bò không thể nhảy ra ngoài”…cũng cần có nhưng không phải giả định cốt lõi. Vì dù HS không quan tâm giả định này, cho rằng đây là điều hiển nhiên, hoặc HS đưa giả
định “có thể cưa đôi chiều cao hàng rào để rào được nhiều, chỉ cần chiều cao 0,4 m thì con bò cũng không nhảy qua được” thì HS vẫn tiếp tục tiến hành được quá trình MHH.
- Thêm vào từ ngữ “thanh sắt thẳng, hàng rào kiên cố” nghĩa là không được bẻ cong thanh sắt để dựng chuồng là nửa hình tròn (đây là yếu tố giúp bác bỏ phương án dựng chuồng nửa hình tròn dù diện tích có lớn hơn), dẫn HS đến việc thực hiện phương án chúng tôi mong muốn là tìm chuồng hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
- Từ ngữ “sử dụng vừa đủ lượng sắt” có thể sẽ khiến HS hiều nhầm là sử dụng hết lượng sắt nên chúng tôi thay đổi thành “với lượng sắt hiện có”.
3.3.2. Phân tích tiên nghiệm bài toán 1
Trong một tình huống thực tế, đôi khi có những thông tin chỉ nhằm mục đích mô tả, làm cho tình huống cụ thể hơn, nhưng không cần thiết khi giải quyết tình huống. Mặt khác, trong nhiều tình huống thực tế, đôi khi các thông tin được cung cấp không đủ để giải quyết tình huống. Vì vậy, HS cần lựa chọn những thông tin phù hợp và đặt ra những giả thuyết ứng với mục đích của mình để giải quyết vấn đề.
Đối với tình huống này các thông tin cốt lõi mà HS cần phải rút ra được là: “tận dụng 15 m mặt tường nhà để làm chuồng”, “sử dụng lượng sắt hiện có” (dài 24 m, cao 0,8 m) và “nuôi được nhiều bò nhất”.
Thông tin thứ nhất mà HS phải xử lí là “tận dụng 15 m mặt tường nhà để
làm chuồng”. Thông tin này có thể được HS hiểu và xử lí theo nhiều hướng, chẳng hạn: sử dụng đúng 15 m mặt tường nhà để làm một mặt chuồng hoặc chỉ sử dụng một phần của 15 m mặt tường nhà để làm chuồng, hoặc sử dụng hết 15 m mặt tường nhà để làm một phần mặt chuồng.
Thông tin thứ hai “sử dụng lượng sắt hiện có (dài 24 m, cao 0,8 m)” HS
hiểu và xử lí theo nhiều hướng, chẳng hạn như: sử dụng hết lượng sắt hiện có; sử dụng một phần lượng sắt hiện có hoặc thao tác lại lượng sắt hiện có (ví dụ như cắt đôi chiều dài cao hàng rào).
Thông tin thứ ba “nuôi được nhiều bò nhất” có thể được HS hiểu thành tạo
ra chuồng bò có diện tích lớn nhất hoặc tạo ra chuồng bò thể tích lớn nhất, vì trong giả thiết có thông tin “... hàng rào ... cao 0,8 m”. HS thường có thói quen sử dụng tất
cả các thông số trong giả thiết vào giải toán, thói quen này đã được hình thành từ nhỏ đến lớn, từ những bài tập toán mà các em đã gặp. Vì vậy, khi đọc tình huống, một số HS đã phân vân không biết nên tính diện tích hay thể tích của chuồng bò.
Ngoài ra bài toán không đề cập đến hình dạng hình học của chuồng bò, do đó HS cần đưa ra các giả thuyết liên quan đến hình dạng của chuồng bò cần tìm, chẳng hạn “hình vuông”, “hình chữ nhật”, “hình tam giác”, “hình thang” và “hình tròn”.
Như vậy quá trình giải quyết bài toán trên có thể đánh giá được bốn KN như:
1. Làm rõ được mục tiêu: Mục tiêu ban đầu (có thể rút ra được sau khi đọc
bài toán) là cần đưa ra một phương án thiết kế chuồng bò theo tiêu chí nuôi được nhiều bò nhất với các dữ kiện cho sẵn: Bức tường dài 15 m, hàng rào dài 24 m, cao 0,8 m. Từ mục tiêu này sau khi phân tích bài toán và kết hợp các KN đơn giản giả thiết, đưa ra giả định…HS cần đến được mục tiêu cụ thể: phải tìm được các đối
tượng trung gian là kích thước các cạnh của một cái chuồng (không cần che mái phía trên) để diện tích chuồng lớn nhất (chứ không phải thể tích) với dữ kiện: Bức tường dài 15 m (không đồng nghĩa với một mặt chuồng 15 m), hàng rào dài 24 m (không nhất thiết sử dụng hết), cao 0,8 m (không thể cưa ngắn hơn).
2. Đưa ra giả định: Hình dạng chuồng có thể là…, nuôi được nhiều bò nhất
có thể là diện tích chuồng lớn nhất, chiều cao hàng rào tối thiểu để con bò không nhảy ra được có thể là…
3. Đơn giản giả thiết: Yêu cầu “có thể nuôi được nhiều bò nhất”, nghĩa là diện tích chuồng lớn nhất hay thể tích chuồng lớn nhất? Nếu không có KN đơn giản đi giả thiết, HS sẽ bị yếu tố gây nhiễu là “hàng rào ... cao 0,8 m” và thói quen cần tính toán dựa trên tất cả các thông số trong giả thiết làm HS liên tưởng đến thể tích chuồng. HS có thể sẽ hiểu cụm từ “tận dụng một mặt tường nhà để làm chuồng” theo nghĩa “tận dụng toàn bộ một mặt tường nhà để làm một mặt chuồng, chứ không hiểu được “tận dụng một mặt tường nhà để làm chuồng nghĩa là để tiết kiệm vật liệu xây một mặt chuồng” sẽ sử dụng bức tường có sẵn, tuy nhiên dùng bao nhiêu mét tường thì tùy thuộc vào kích thước chuồng mà người nông dân cần dựng.
4. Liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn (thông dịch kết quả toán học với tình huống thực tế ban đầu, kiểm tra và phản hồi lời giải thực tế để cải tiến mô hình)
Sau mỗi lần thiết kế được một chuồng có diện tích lớn hơn, HS cần nhìn lại hình dạng chuồng này có phù hợp với thực tế, phù hợp với yêu cầu bài toán đặt ra. Thứ nhất, HS cần liên hệ, trên thực tế con bò có thể nhảy qua hàng rào 0,4 m, vì vậy không thể cắt đôi chiều cao hàng rào. Thứ hai, giả thiết bài toán cho vật liệu làm chuồng là các thanh sắt thẳng, nên khó có thể bẻ cong để làm một cái chuồng là nửa đường tròn. Thứ ba, yêu cầu nuôi được nhiều bò nhất có phải chỉ cần quan tâm đến việc xây dựng một chuồng bò có diện tích lớn nhất? (Có chắc diện tích chuồng lớn nhất sẽ nuôi được nhiều bò nhất? Ví dụ nếu dựng chuồng là hình tam giác thì diện tích ở những góc nhọn của chuồng, sẽ không được tận dụng để sử dụng được (con bò có thể không chui lọt vào góc đó). Như vậy cần cân nhắc nhiều yếu tố như diện tích chiếm đóng của một con bò tối đa là bao nhiêu? Góc nhọn của chuồng tối thiểu là bao nhiêu? Nếu vật liệu làm chuồng có thể bẻ cong thì sao?...
3.2.2.1. Các chiến lược dự kiến ở học sinh trong bài toán 1
a) Chiến lược 𝐒𝐬𝐨 𝐬á𝐧𝐡: So sánh diện tích chuồng trong các trường hợp đặc biệt
Lời giải LG1: Dựng chuồng hình vuông sử dụng vừa đủ bức tường làm một mặt chuồng
HS có thể xử lí thông tin “tận dụng 15 m mặt tường nhà để làm chuồng” theo hướng “tận dụng hết 15m mặt tường nhà để làm chuồng”. Căn cứ vào một kiến thức được học ở lớp 10: “trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất” do đó hình vuông có thể là hình mà HS chọn đầu tiên để dựng chuồng bò.
Phương án xây dựng chuồng HS tư vấn cho anh nông dân là: dùng hàng rào sắt bao quanh bức tường theo hình vuông có cạnh là 15m, khi đó diện tích của chuồng bò là 152 = 225 (m2). Rõ ràng, phương án mà HS đề xuất cho anh nông dân là không khả thi vì
theo phương án này thì cần anh nông dân phải cần đến 15 + 15 + 15 = 45m sắt. Do đó, với 24m sắt không thể dựng chuồng được theo phương án này.
Theo chúng tôi, lời giải này là lời giải xuất hiện đầu tiên với HS. HS có một căn cứ về mặt lý thuyết làm nền tảng cho lập luận của họ. Tuy nhiên, nếu HS thừa
nhận lời giải trên cho phép chúng tôi xác nhận được rằng HS đã bỏ qua một trong ba thông tin cốt lõi về chiều dài tối đa của hàng rào sắt để làm căn cứ đánh giá KN đơn giản giả thiết của HS.
Lời giải LG2: Dựng chuồng hình chữ nhật sử dụng vừa đủ bức tường làm một mặt chuồng
Lời giải này xuất hiện khi HS nhận ra rằng cần dựng ba mặt chuồng còn lại sao cho chỉ sử dụng tối đa 24m sắt.
HS đặt x là chiều rộng của hình chữ nhật, nên có x + 15 + x = 24. Vậy x = 4,5. HS kết luận phương án thứ hai xây dựng chuồng tư vấn cho anh
nông dân là: dùng hàng rào sắt bao quanh bức tường theo hình chữ nhật có kích thước chiều dài là 15m và chiều rộng là 4,5m với diện tích chuồng bò là 15 × 4,5= 67,5 (m2).
Phương án thứ hai của HS xây dựng đảm bảo thỏa mãn hai thông tin cốt lõi thứ nhất và thứ hai, nhưng thông tin thứ ba “nuôi được nhiều bò nhất” còn là vấn đề cần tranh luận. Rõ ràng, đây chưa phải là phương án tốt nhất.
Lời giải LG3: Dựng chuồng hình vuông sử dụng một phần bức tường làm một mặt chuồng
Nếu HS hiểu rõ thông tin cốt lõi thứ hai “sử dụng lượng sắt hiện có” HS có thể đề xuất phương án dựng chuồng bò hình vuông và sử dụng tùy ý nhưng tối đa 15m mặt tường để làm chuồng. Vậy cần phải tìm cạnh của hình vuông. Đặt biến x là
cạnh của hình vuông. Do chỉ có 3 mặt cần dựng nên cần x + x + x = 24m sắt hay x = 8m sắt.
Phương án thứ ba xây dựng chuồng tư vấn cho anh nông dân là: dùng hàng rào sắt bao quanh bức tường theo vuông có kích thước 8m mỗi cạnh và diện tích chuồng bò là 82 = 64 (m2).
Lời giải LG4: Dựng (thử sai) chuồng hình chữ nhật sử dụng một phần bức tường làm một mặt chuồng
HS có thể sử dụng phương pháp “thử sai”. Tức là dựng nhiều hình chữ nhật khác nhau biểu thị cho chuồng bò với một mặt tường nhà được sử dụng tùy ý nhưng
tối đa 15m và tổng kích thước ba mặt còn lại là 24m sao cho diện tích chuồng bò lớn nhất.
Lời giải này có thể đưa đến phương án thứ hai xây dựng chuồng tư vấn cho anh nông dân là: dùng hàng rào sắt bao quanh bức tường theo hình chữ nhật có kích thước chiều dài là 12m và chiều rộng là 6m và diện tích chuồng bò là 12 × 6= 72 (m2).
Lời giải LG5: Dựng chuồng là tam giác cân sử dụng vừa đủ bức tường làm một mặt chuồng
Lời giải này có thể xuất hiện nếu HS chưa xử lí được thông tin “tận dụng 15m mặt tường nhà để làm chuồng”, ngoài trường hợp đặc biệt chuồng là hình vuông (lời giải 1) và hình chữ nhật (lời giải 2), HS có thể nghĩ đến chuồng hình tam giác cân và hình thang cân hoặc nửa đường tròn.
x + x = 24 hay x = 12 h = √122 − 7,52 = 3√39 2 Vậy S = 1 2 .3√39 2 . 15 = 45√39 4 ≈ 70,25 m2
Phương án này bị loại vì chưa kể đến việc cần liên hệ lại thực tiễn thì diện tích chuồng đã nhỏ hơn LG5.
Lời giải LG6: Dựng chuồng là hình thang cân sử dụng vừa đủ bức tường làm một mặt chuồng h = √62− 1,52 = 3√15 2 S = 1 2 . (12 + 15) . 3√15 2 = 81√15 4 ≈ 78,4 m2
Phương án này có thể là phương án thích hợp nhất với HS. Tuy nhiên ở đây cần phải bàn luận thêm nhiều yếu tố khác. Ví dụ yêu cầu nuôi được nhiều bò nhất
có phải chỉ cần quan tâm đến việc xây dựng một chuồng bò có diện tích lớn nhất?.. (đã phân tích ở phần đánh giá KN liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn). Hơn nữa, HS không biết chắc rằng còn có chuồng hình thang khác có diện tích lớn hơn hay không.
Lời giải LG7: Dựng chuồng là nửa hình tròn sử dụng vừa đủ bức tường
Ở nhóm lời giải dựng chuồng nửa hình tròn, HS cần xử lí giả thiết vật liệu làm chuồng là các thanh sắt thẳng, kiên cố nên khó có thể bẻ cong để làm một cái chuồng nửa đường tròn. Đây cũng là yếu tố giúp đánh giá KN liên hệ lại vấn đề trong thực tiễn.
Trường hợp 1: Dựng chuồng là nửa hình tròn sử dụng vừa đủ bức tường
Diện tích: S = 𝜋𝑟2
2 = 7,5 2𝜋
2 ≈ 88,31 m2
Nửa chu vi = 𝜋𝑟 = 7,5𝜋 ≈ 23,56 𝑚
Trường hợp 2: Dựng chuồng là nửa hình tròn sử dụng hết chiều dài hàng rào
Nửa chu vi hình tròn 𝜋. 𝑟 = 24 hay r = 24 𝜋 ≈ 7,63 S = 1 2 𝜋𝑟2 = 1 2 𝜋 (24 𝜋)2 ≈ 288 m2 Cần bức tường dài: 2r = 15,27 m2
Do vậy, đã vượt quá chiều dài tường nên không xây được.
Lời giải LG8: Dựng chuồng là nửa hình tròn sử dụng hết bức tường làm một phần mặt chuồng và sử dụng hết chiều dài hàng rào.
Nửa chu vi hình tròn 𝜋. 𝑟 = 24 – x nên r = 24−𝑥 𝜋 . Ta có r = 15+𝑥 2 = 24−𝑥 𝜋 . Giải được x ≈0,17 => r = 7,585. Diện tích S = 1 2𝜋𝑟2 ≈90, 38 m2
b) Chiến lược 𝐒𝐥ậ𝐩 𝐡à𝐦 𝐭ì𝐦 𝐆𝐓𝐋𝐍: Dựng chuồng hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng cách lập hàm diện tích và tìm GTLN của hàm số này
Lời giải LG9: Tìm hình chữ nhật sử dụng một phần bức tường làm một mặt chuồng
Gọi x và y là các là kích thước của hình chữ nhật, với 0 < y < 15; x + y + x = 24 và S = xy đạt giá trị lớn nhất.
Giải bài toán trên
Ta có 2x + y = 24 ⇔ y = 24 − x Vậy S = x(24 − 2x) = 24x − x2 Xét hàm số f(x) = 24x − 2x2 với x ∈ [4,5; 12] f′(x) = 24 − 4x , f′(x) = 0 ⇔ x = 6 f(0) = 0; f(6) = 72; f(12) = 0 Hàm số đạt GTLN là 72 khi x = 6.
Vậy phương án xây chuồng tư vấn cho anh nông dân là: dùng hàng rào sắt bao quanh bức tường theo hình chữ nhật có kích thước chiều dài 12m và chiều rộng 6m và diện tích chuồng bò là 72 (m2).
Lời giải LG10: Tìm hình chữ nhật sử dụng một phần bức tường làm một phần mặt chuồng
Tình huống có khả năng xảy ra một cạnh của hình chữ nhật lớn hơn 15m. Ta có: 2x + 2y +15 = 24 hay x + y = 9 2 𝑣ớ𝑖 𝑥 ≥ 0; 𝑦 > 0 Khi đó 𝑆 = (15 + 𝑥)𝑦 = (13 + 𝑥)(9 2− 𝑦) Vẽ đồ thị hàm số 𝑓(𝑥) = (13 + 𝑥)(9 2− 𝑦), ta thấy diện tích lớn nhất S = 67,5m2 khi x = 0, y = 4,5 Vì diện tích nhỏ hơn lời giải 8 nên loại phương án này.
V1: Cách cho mô hình toán học: cho sẵn hoặc chưa cho sẵn.
V1a: Mô hình toán học cho sẵn sẽ hạn chế xuất hiện một số lời giải chuồng là