Bài toán này chúng tôi sử dụng để đánh giá các KN: Xác định biến, tham số, hằng số; Thiết lập mệnh đề toán học; Phương pháp tìm GTLN - GTNN;
3.4.2.1. Các chiến lược dự kiến ở học sinh trong bài toán 2
a) Chiến lược 𝐒𝐬𝐨 𝐬á𝐧𝐡: So sánh thời gian đi trong các trường hợp đặc biệt Lời giải 1: Vì nghĩ rằng quãng đường di chuyển tỉ lệ thuận
với thời gian, quãng đường ngắn nhất thì đi nhanh nhất. Vì vậy HS có thể đưa ra phương án di chuyển thứ nhất: chiến sĩ bơi trực tiếp từ A đến mục tiêu B.
Thời gian t1 =S
v = AB
vbơi =1
6≈ 0,166h
Lời giải 2: Yêu cầu của đề là “đến mục tiêu nhanh nhất” và giả thiết cho cả
vận tốc chạy trên bộ. Vì vậy HS có thể nghĩ đến phương án di chuyển thứ hai vừa bơi kết hợp với chạy: chiến sĩ bơi từ A đến C, rồi chạy bộ từ C đến B. BC = √1 − (0,5)2 =√3 2 t2 = AC vbơi+ CB vchạy = 0,5 6 + √3 2 12 = 2 + √3 24 ≈ 0,155h
So sánh thấy t2 < t1 nên HS chọn phương án di chuyển thứ hai.
Lời giải 3: HS có thể nhận ra: Mặc dù phải di chuyển quãng đường dài hơn,
nhưng do vận tốc chạy nhanh gấp đôi vận tốc bơi nên bơi một đoạn và chạy một đoạn vẫn nhanh hơn là bơi trực tiếp.
HS nghĩ tới phương án di chuyển: Bơi từ A đến trung điểm M của BC, rồi chạy từ M đến B, vừa kết hợp giữa bơi và chạy nhưng quãng đường di chuyển sẽ ngắn hơn lời giải 2.
AM = √AC 2+ AB2 2 − BC2 4 = √7 4 km t3 = AM vbơi+ MB vchạy = √7 4 6 + √3 4 12 = 2√7 + √3 48 ≈ 0,146h
Sau khi tìm được 𝑡3, HS so sánh và cho rằng đây là thời gian nhỏ nhất nên kết luận phương án di chuyển thứ ba là tốt nhất.
b) Chiến lược 𝐒𝐥ậ𝐩 𝐡à𝐦 𝐭ì𝐦 𝐆𝐓𝐋𝐍:: Tìm thời gian di chuyển nhanh nhất (bằng cách lập hàm số)
Lời giải 1: Theo cảm giác HS cho rằng phương án di chuyển kết hợp vừa bơi
vừa chạy là nhanh nhất. Tuy nhiên, Nếu điểm M di chuyển trên BC thì biết đâu thời gian sẽ nhỏ hơn? Làm sao để tổng quát cho mọi trường hợp? Suy nghĩ này dẫn HS đến việc đến việc lập hàm số.
Giả sử người đó bơi đến điểm E (nằm giữa BC), rồi chạy từ E đến B. Gọi x = CE (0 ≤ x ≤ √3
2).
Thời gian di chuyển f(x) = √x2+(0,5)2
6 + √3 2−x 12 f(x) đạt GTNN tại x = √3 6 , f (√3 6) = √3 12 ≈ 0,144 h. EB = CB − x =√3 3 ≈ 0,577 km.
HS kết luận: Như vậy phương án di chuyển tốt nhất là người đó bơi sang điểm E bên kia sông, cách mục tiêu khoảng 0,577 km sau đó tiếp tục chạy thẳng tới mục tiêu.
Lời giải 2: Tương tự như LG1, HS chọn phương án di chuyển kết hợp giữa bơi và chạy, nhưng chạy bộ trước và bơi sau.
Gọi F là điểm thuộc AD. Gọi x = AF (0 ≤ x ≤ √3
2), tương tự lời giải 1 lập hàm mục tiêu và tìm được GTNN của HS tại x =
√3 6 , f (√3
6) = √3
12≈ 0,144 h. Kết luận phương án di chuyển tốt nhất là chạy một đoạn bờ bên này trước một đoạn cách vị trí A
đang đứng một khoảng 0,288 km sau đó tiếp tục bơi đến mục tiêu.
Lời giải 3,4,5,6: ứng với các trường hợp đặt x = EB/AE/FD/FB. Các bước lập
hàm mục tiêu và tìm GTNN của hàm số đó sẽ phức tạp hơn. Chúng tôi xin phép không trình bày các lời giải này.
3.4.2.2. Biến và giá trị của biến
V1: Cách cho mô hình toán học: cho sẵn hoặc chưa cho sẵn.
V1a: Mô hình toán học cho sẵn sẽ hạn chế xuất hiện lời giải 1 và 2 ở chiến lược S1 nhanh chóng dẫn đến việc thực hiện chiến lược S2.
V1b: Mô hình toán học không được cho sẵn với những thông tin vừa thừa vừa thiếu sẽ dẫn đến những khó khăn nhất định trong việc tạo dựng mô hình toán học. HS phải lựa chọn thông tin cốt lõi đối với bài toán và đưa ra các giả thuyết bổ sung thêm vào các thông tin cần thiết. Chúng tôi chọn giá trị này trong bài toán 2. Sự chọn lựa này giúp các chiến lược S1 và S2 đều có cơ hội xuất hiện.
V2: Cách hỏi đại lượng cần tìm trong bài, tường minh hay ngầm ẩn. Ví dụ khi hỏi ngầm ẩn “tìm một phương án di chuyển để đến được mục tiêu nhanh nhất” có thể khiến HS ngộ nhận là cần quãng đường di chuyển ngắn nhất chứ không phải thời gian di chuyển nhanh nhất.
3.4.2.3. Thang hướng dẫn đánh giá chi tiết bài toán 2
Từ thang chi tiết đã xây dựng (bảng 2.7) và dự kiến các chiến lược có thể chúng tôi xây dựng thang hướng dẫn đánh giá chi tiết bài toán 2 như sau:
Bảng 3.6. Thang hướng dẫn đánh giá chi tiết bài toán 2
KN Biểu diễn mô hình bằng biểu đồ/hình vẽ chính xác (KN5) Mức
độ
Biểu hiện cụ thể của mỗi mức độ
Mức 4 Bài toán này chỉ yêu cầu KN vẽ hình minh họa ở mức 3, chưa cần mức cao nhất. Vì chỉ đưa về một mô hình toán phù hợp mà thôi (có thể là sẽ vẽ bằng nhiều hình vẽ khác nhau, nhưng tất cả đều đưa về việc một đáp số giống nhau). Vì vậy, HS nào đạt mức 3 là mức cao nhất trong bài này.
Mức 3 • Vẽ được hình minh họa chính xác và biểu diễn chính xác các đại lượng bằng kí hiệu toán học lên hình vẽ đó.
Ví dụ: Gọi A là chiến sĩ, B là mục tiêu; AB = 1km; AC = 0.5km. Ta có hình vẽ minh họa là:
Mức 2 • Vẽ được hình minh họa phù hợp nhưng biểu diễn các đại lượng bằng kí hiệu toán học lên hình vẽ không chính xác.
Mức 1 • Vẽ hình minh họa không phù hợp.
Xác định biến, tham số, hằng số (kèm theo điều kiện) (KN6) Mức
độ
Biểu hiện cụ thể của mỗi mức độ
Mức 4 Liệt kê đầy đủ biến kèm điều kiện ràng buộc chính xác. Ví dụ: Với trường hợp đặt x= CE.
(1) Đặt đúng x bằng một trong ba đại lượng CE/AE/EB. (2) Tìm đúng điều kiện của x. Ví dụ, nếu đặt x = CE, thì điều kiện 0 ≤ x ≤√3
2.
Mức 3 Liệt kê đầy đủ biến, đặt điều kiện chưa chính xác hoàn toàn. Có (1), nhưng (2) chỉ đúng một phần.
Mức 2 Có (1), nhưng không đi tìm (2) hoặc tìm sai hoàn toàn. Mức 1 Không có biến được liệt kê.
KN Thiết lập mệnh đề toán học (KN7)
Mức độ Biểu hiện cụ thể của mỗi mức độ
trình liên quan đến các biến số.
- Thiết lập chính xác hàm mục tiêu cho đại lượng dự kiến đạt GTNN. Ví dụ: Trong trường hợp đặt x = CE
(1) Biểu diễn được EB và AE theo x. Lập được phương trình EB = √3
2 − x;
AE =√x2+ (0,5)2 (2) Thời gian bơi là √x2+(0,5)2
6 ; Thời gian chạy bộ là
√3 2−x
12
(3) Lập được hàm mục tiêu thời gian di chuyển f(x) = √x2+(0,5)2
6 +
√3 2−x
12
Mức 3 Chỉ có (1) và (2). Hàm mục tiêu (3) chưa lập được hoặc lập không chính xác.
Mức 2 Có một số phương trình của (1) (2) nhưng chưa đầy đủ. Chưa có (3) Mức 1 Không thiết lập được phương trình nào.
3.4.2.3. Dàn dựng kịch bản
GV nêu các yêu cầu làm bài tương tự thực nghiệm bài toán 1 trước phát phiếu số 3. Yêu Cầu HS làm trong 40 phút và thu bài.
Phiếu số 3
Trong phần thực hành của môn huấn luyện quân sự có tình huống: Một chiến sĩ đang đứng ở sát bờ bên này một con sông và phải bơi qua sông để tấn công một mục tiêu ở sát phía bờ bên kia. Biết rằng lòng sông rộng 500m và vận tốc bơi của chiến sĩ là 6 km/h, vận tốc chạy trên bộ là 12 km/h, mục tiêu cách chiến sĩ 1 km theo đường chim bay. Giả sử dòng sông là thẳng. Em hãy tư vấn cho chiến sĩ đó một phương án di chuyển để đến được mục tiêu nhanh nhất.
1. Em hãy vẽ hình minh họa cho bài toán và biểu diễn các đại lượng có liên quan lên hình vẽ.
2. Em hãy tư vấn cho chiến sĩ đó một phương án di chuyển để đến được mục tiêu nhanh nhất. Trình bày cụ thể lời giải cho phương án của em.