3.4.1. Giới thiệu bài toán 2
Khi xem xét chủ đề GTLN - GTNN trong SGK chúng tôi tìm thấy một bài toán liên quan đến tìm phương án di chuyển tối ưu:
Bài 1.30 (Bài tập Giải Tích 12 nâng cao, 2008, tr.16)
Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 5km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng là 7 km. Người canh hải đăng có thể chèo đò từ A đến điểm M trên bờ biển với vận tốc 4 km/h rồi đi bộ đến C với vận tốc 6 km/h. Xác định vị trí của điểm M để người đó đến kho nhanh nhất.
Bài toán này đã rất sát với bài toán toán học, thậm chí đã cho sẵn mô hình toán. Cho nên chúng tôi đã cải biên bài toán trên thành bài toán sau để phù hợp cho việc đánh giá các một số KN trong nhóm NL (2).
Bài 2: Trong phần thực hành của môn huấn luyện quân sự có tình huống: Một
chiến sĩ đang đứng ở sát bờ bên này một con sông và phải bơi qua sông để tấn công một mục tiêu ở sát phía bờ bên kia. Biết rằng lòng sông rộng 500m và vận tốc bơi của chiến sĩ là 6 km/h, vận tốc chạy trên bộ là 12 km/h, mục tiêu cách chiến sĩ 1 km theo đường chim bay. Giả sử dòng sông là thẳng. Em hãy tư vấn cho chiến sĩ đó một phương án di chuyển để đến được mục tiêu nhanh nhất.
Bài toán này không yêu cầu cao các KN ở NL (1). Vì vậy, chúng tôi cho rằng HS có thể vượt qua bước 1 của qua trình MHH để bộc lộ các KN ở NL (2) để đánh giá được các KN: Biểu diễn mô hình bằng biểu đồ/hình vẽ; Xác định biến, tham số, hằng số; Thiết lập mệnh đề toán học;
3.4.2. Phân tích tiên nghiệm bài toán 2
Bài toán này chúng tôi sử dụng để đánh giá các KN: Xác định biến, tham số, hằng số; Thiết lập mệnh đề toán học; Phương pháp tìm GTLN - GTNN;
3.4.2.1. Các chiến lược dự kiến ở học sinh trong bài toán 2
a) Chiến lược 𝐒𝐬𝐨 𝐬á𝐧𝐡: So sánh thời gian đi trong các trường hợp đặc biệt Lời giải 1: Vì nghĩ rằng quãng đường di chuyển tỉ lệ thuận
với thời gian, quãng đường ngắn nhất thì đi nhanh nhất. Vì vậy HS có thể đưa ra phương án di chuyển thứ nhất: chiến sĩ bơi trực tiếp từ A đến mục tiêu B.
Thời gian t1 =S
v = AB
vbơi =1
6≈ 0,166h
Lời giải 2: Yêu cầu của đề là “đến mục tiêu nhanh nhất” và giả thiết cho cả
vận tốc chạy trên bộ. Vì vậy HS có thể nghĩ đến phương án di chuyển thứ hai vừa bơi kết hợp với chạy: chiến sĩ bơi từ A đến C, rồi chạy bộ từ C đến B. BC = √1 − (0,5)2 =√3 2 t2 = AC vbơi+ CB vchạy = 0,5 6 + √3 2 12 = 2 + √3 24 ≈ 0,155h
So sánh thấy t2 < t1 nên HS chọn phương án di chuyển thứ hai.
Lời giải 3: HS có thể nhận ra: Mặc dù phải di chuyển quãng đường dài hơn,
nhưng do vận tốc chạy nhanh gấp đôi vận tốc bơi nên bơi một đoạn và chạy một đoạn vẫn nhanh hơn là bơi trực tiếp.
HS nghĩ tới phương án di chuyển: Bơi từ A đến trung điểm M của BC, rồi chạy từ M đến B, vừa kết hợp giữa bơi và chạy nhưng quãng đường di chuyển sẽ ngắn hơn lời giải 2.
AM = √AC 2+ AB2 2 − BC2 4 = √7 4 km t3 = AM vbơi+ MB vchạy = √7 4 6 + √3 4 12 = 2√7 + √3 48 ≈ 0,146h
Sau khi tìm được 𝑡3, HS so sánh và cho rằng đây là thời gian nhỏ nhất nên kết luận phương án di chuyển thứ ba là tốt nhất.
b) Chiến lược 𝐒𝐥ậ𝐩 𝐡à𝐦 𝐭ì𝐦 𝐆𝐓𝐋𝐍:: Tìm thời gian di chuyển nhanh nhất (bằng cách lập hàm số)
Lời giải 1: Theo cảm giác HS cho rằng phương án di chuyển kết hợp vừa bơi
vừa chạy là nhanh nhất. Tuy nhiên, Nếu điểm M di chuyển trên BC thì biết đâu thời gian sẽ nhỏ hơn? Làm sao để tổng quát cho mọi trường hợp? Suy nghĩ này dẫn HS đến việc đến việc lập hàm số.
Giả sử người đó bơi đến điểm E (nằm giữa BC), rồi chạy từ E đến B. Gọi x = CE (0 ≤ x ≤ √3
2).
Thời gian di chuyển f(x) = √x2+(0,5)2
6 + √3 2−x 12 f(x) đạt GTNN tại x = √3 6 , f (√3 6) = √3 12 ≈ 0,144 h. EB = CB − x =√3 3 ≈ 0,577 km.
HS kết luận: Như vậy phương án di chuyển tốt nhất là người đó bơi sang điểm E bên kia sông, cách mục tiêu khoảng 0,577 km sau đó tiếp tục chạy thẳng tới mục tiêu.
Lời giải 2: Tương tự như LG1, HS chọn phương án di chuyển kết hợp giữa bơi và chạy, nhưng chạy bộ trước và bơi sau.
Gọi F là điểm thuộc AD. Gọi x = AF (0 ≤ x ≤ √3
2), tương tự lời giải 1 lập hàm mục tiêu và tìm được GTNN của HS tại x =
√3 6 , f (√3
6) = √3
12≈ 0,144 h. Kết luận phương án di chuyển tốt nhất là chạy một đoạn bờ bên này trước một đoạn cách vị trí A
đang đứng một khoảng 0,288 km sau đó tiếp tục bơi đến mục tiêu.
Lời giải 3,4,5,6: ứng với các trường hợp đặt x = EB/AE/FD/FB. Các bước lập
hàm mục tiêu và tìm GTNN của hàm số đó sẽ phức tạp hơn. Chúng tôi xin phép không trình bày các lời giải này.
3.4.2.2. Biến và giá trị của biến
V1: Cách cho mô hình toán học: cho sẵn hoặc chưa cho sẵn.
V1a: Mô hình toán học cho sẵn sẽ hạn chế xuất hiện lời giải 1 và 2 ở chiến lược S1 nhanh chóng dẫn đến việc thực hiện chiến lược S2.
V1b: Mô hình toán học không được cho sẵn với những thông tin vừa thừa vừa thiếu sẽ dẫn đến những khó khăn nhất định trong việc tạo dựng mô hình toán học. HS phải lựa chọn thông tin cốt lõi đối với bài toán và đưa ra các giả thuyết bổ sung thêm vào các thông tin cần thiết. Chúng tôi chọn giá trị này trong bài toán 2. Sự chọn lựa này giúp các chiến lược S1 và S2 đều có cơ hội xuất hiện.
V2: Cách hỏi đại lượng cần tìm trong bài, tường minh hay ngầm ẩn. Ví dụ khi hỏi ngầm ẩn “tìm một phương án di chuyển để đến được mục tiêu nhanh nhất” có thể khiến HS ngộ nhận là cần quãng đường di chuyển ngắn nhất chứ không phải thời gian di chuyển nhanh nhất.
3.4.2.3. Thang hướng dẫn đánh giá chi tiết bài toán 2
Từ thang chi tiết đã xây dựng (bảng 2.7) và dự kiến các chiến lược có thể chúng tôi xây dựng thang hướng dẫn đánh giá chi tiết bài toán 2 như sau:
Bảng 3.6. Thang hướng dẫn đánh giá chi tiết bài toán 2
KN Biểu diễn mô hình bằng biểu đồ/hình vẽ chính xác (KN5) Mức
độ
Biểu hiện cụ thể của mỗi mức độ
Mức 4 Bài toán này chỉ yêu cầu KN vẽ hình minh họa ở mức 3, chưa cần mức cao nhất. Vì chỉ đưa về một mô hình toán phù hợp mà thôi (có thể là sẽ vẽ bằng nhiều hình vẽ khác nhau, nhưng tất cả đều đưa về việc một đáp số giống nhau). Vì vậy, HS nào đạt mức 3 là mức cao nhất trong bài này.
Mức 3 • Vẽ được hình minh họa chính xác và biểu diễn chính xác các đại lượng bằng kí hiệu toán học lên hình vẽ đó.
Ví dụ: Gọi A là chiến sĩ, B là mục tiêu; AB = 1km; AC = 0.5km. Ta có hình vẽ minh họa là:
Mức 2 • Vẽ được hình minh họa phù hợp nhưng biểu diễn các đại lượng bằng kí hiệu toán học lên hình vẽ không chính xác.
Mức 1 • Vẽ hình minh họa không phù hợp.
Xác định biến, tham số, hằng số (kèm theo điều kiện) (KN6) Mức
độ
Biểu hiện cụ thể của mỗi mức độ
Mức 4 Liệt kê đầy đủ biến kèm điều kiện ràng buộc chính xác. Ví dụ: Với trường hợp đặt x= CE.
(1) Đặt đúng x bằng một trong ba đại lượng CE/AE/EB. (2) Tìm đúng điều kiện của x. Ví dụ, nếu đặt x = CE, thì điều kiện 0 ≤ x ≤√3
2.
Mức 3 Liệt kê đầy đủ biến, đặt điều kiện chưa chính xác hoàn toàn. Có (1), nhưng (2) chỉ đúng một phần.
Mức 2 Có (1), nhưng không đi tìm (2) hoặc tìm sai hoàn toàn. Mức 1 Không có biến được liệt kê.
KN Thiết lập mệnh đề toán học (KN7)
Mức độ Biểu hiện cụ thể của mỗi mức độ
trình liên quan đến các biến số.
- Thiết lập chính xác hàm mục tiêu cho đại lượng dự kiến đạt GTNN. Ví dụ: Trong trường hợp đặt x = CE
(1) Biểu diễn được EB và AE theo x. Lập được phương trình EB = √3
2 − x;
AE =√x2+ (0,5)2 (2) Thời gian bơi là √x2+(0,5)2
6 ; Thời gian chạy bộ là
√3 2−x
12
(3) Lập được hàm mục tiêu thời gian di chuyển f(x) = √x2+(0,5)2
6 +
√3 2−x
12
Mức 3 Chỉ có (1) và (2). Hàm mục tiêu (3) chưa lập được hoặc lập không chính xác.
Mức 2 Có một số phương trình của (1) (2) nhưng chưa đầy đủ. Chưa có (3) Mức 1 Không thiết lập được phương trình nào.
3.4.2.3. Dàn dựng kịch bản
GV nêu các yêu cầu làm bài tương tự thực nghiệm bài toán 1 trước phát phiếu số 3. Yêu Cầu HS làm trong 40 phút và thu bài.
Phiếu số 3
Trong phần thực hành của môn huấn luyện quân sự có tình huống: Một chiến sĩ đang đứng ở sát bờ bên này một con sông và phải bơi qua sông để tấn công một mục tiêu ở sát phía bờ bên kia. Biết rằng lòng sông rộng 500m và vận tốc bơi của chiến sĩ là 6 km/h, vận tốc chạy trên bộ là 12 km/h, mục tiêu cách chiến sĩ 1 km theo đường chim bay. Giả sử dòng sông là thẳng. Em hãy tư vấn cho chiến sĩ đó một phương án di chuyển để đến được mục tiêu nhanh nhất.
1. Em hãy vẽ hình minh họa cho bài toán và biểu diễn các đại lượng có liên quan lên hình vẽ.
2. Em hãy tư vấn cho chiến sĩ đó một phương án di chuyển để đến được mục tiêu nhanh nhất. Trình bày cụ thể lời giải cho phương án của em.
3.4.3. Phân tích hậu nghiệm kết quả bài toán 2
Trên 80% HS vẽ được hình minh họa cho bài toán và bắt đầu với chiến lược
Chiến lược Slập hàm tìm GTLN. Vì không dùng để so sánh đối chiếu kết quả từng HS
với thang tổng quát như bài toán 1, nên chúng tôi chỉ thống kê kết quả chung của 31 HS qua bảng sau:
Bảng 3.7. Thống kê các mức NL của KN5, KN6, KN7 theo thang chi tiết.
KN thành phần Số HS Mức 1/tỉ lệ Số HS Mức 2/tỉ lệ Số HS Mức 3/tỉ lệ Số HS Mức 4/tỉ lệ
Biểu diễn mô hình bằng biểu đồ/hình vẽ minh họa
(KN5) 2/6,5% 4/12,9% 25/80,64% Chưa đánh giá được Xác định biến, tham số, hằng số (KN6) 6/19,4% 6/19,4% 10/32,3% 9/29.0% Thiết lập mệnh đề toán học (KN7) 3/9,7% 8/25,8% 7/22,9% 13/41,9%
Trong 3 KN 5,6,7 thì KN6 có trên 19% HS ở mức 1 (tương đương với KN đó bằng 0). Điều này chứng tỏ kỹ năng xác định biến, tham số, hằng số của HS còn yếu kém. Ngoài ra, trong quá trình thực nghiệm, chúng tôi nhận ra, chỉ cần HS chọn đúng đối tượng để đặt biến, và thiết lập được quan hệ giữa các biến thì sẽ giải quyết được bài toán. Nghĩa là nếu các em có “tư duy về tối ưu” để nhận ra mối quan hệ giữa các đại lượng biến thiên trong thực tế và thiết lập được hàm số biểu diễn mối quan hệ đó thì sẽ thành công trong việc MHH bài toán này.
3.5. Kết luận chương 3
Thực nghiệm đã xây dựng minh họa cho việc sử dụng Thang đánh giá năng lực mô hình hóa gắn với chủ đề GTLN, GTNN của hàm số ở lớp 12 để đánh giá chi tiết từng KN của mỗi NL thành phần.
Kết quả thực nghiệm bài toán 1 đã giúp chúng tôi chỉ ra một điểm bất cập trong thang đánh giá tổng quát của Ludwig và Xu, phần nào kiểm chứng được giả thuyết “thang đánh giá tổng quát của Ludwig và Xu chưa hẳn đã cho phép đánh giá NL MHH của HS”. Một số HS có cùng mức độ NL khi đánh giá bằng thang tổng quát, nhưng khi kiểm chứng bằng thang chi tiết thì mức độ từng KN có sự phân bố khác nhau.
Kết quả thực nghiệm cả hai bài toán cho thấy ưu điểm của thang chi tiết là chỉ ra được mức độ NL của từng kĩ năng thành phần, giúp người đánh giá hiểu rõ hơn trong các NL thành phần của NL MHH bài toán tìm GTLN - GTNN, HS đang yếu kém ở KN nào, trong NL thành phần nào?... Hạn chế của thang chi tiết là chỉ so sánh trên từng kĩ năng, đánh giá và quan sát được sự tiến bộ của mỗi cá nhân nhưng việc xếp hạng hai HS chỉ mang tính tương đối và một số từ ngữ dùng mô tả mức độ biểu hiện chưa thật sự trong sáng, dễ hiểu như “nhận ra”, “phát biểu vấn đề”...
Ngoài ra, chúng tôi nhận thấy KN mấu chốt để HS giải các bài toán MHH trong chủ đề này là KN xác định biến, tham số, hằng số (kèm điều kiện) và thiết lập mệnh đề toán học, cụ thể là thiết lập được hàm mục tiêu. KN này thuộc NL (2) “xây dựng mô hình toán học từ mô hình mô tả vấn đề thực tế”. Điều này làm chúng tôi khá bất ngờ. Vì trước khi tiến hành thực nghiệm chúng tôi cho rằng các KN thuộc NL (1) “hiểu các vấn đề thực tế để xây dựng mô hình mô tả vấn đề thực tế” giữ vai trò quyết định để HS có thể tiến hành quá trình MHH. Vì bước chuyển từ “mô hình thực tế” vào “mô hình mô tả vấn đề thực tế” là bước chuyển quan trọng. Nhưng khi thực nghiệm chúng tôi nhận ra sức mạnh của “hộp công cụ toán” giữ vai trò lớn, chi phối các nhóm NL còn lại, vì HS có khuynh hướng thiết lập một mô hình phù hợp để có thể đưa về kiến thức toán mà mình biết, vì vậy các KN khác như Đưa ra giả định hay Đơn giản giả thiết…sẽ được phát biểu sao cho phù hợp để thiết lập mô hình đó. Kể cả việc liên hệ lại thực tiễn, dù cho bản thân HS thấy được điểm chưa hợp lí nhưng để phù hợp với đáp số toán học, HS vẫn “lờ” đi các yếu tố thực tiễn.
Hạn chế của thực nghiệm: Thực nghiệm chỉ mới đánh giá được 7 trên 10 KN thành phần đã xây dựng thuộc các NL (1), NL (2), NL (4) và chỉ mới tiến hành trên 31 HS, vì việc này đòi hỏi rất nhiều thời gian cho việc phân tích kết quả thực nghiệm. Cần có thêm nhiều thực nghiệm để minh họa cách sử dụng và kiểm chứng tính khả thi của toàn bộ thang đánh giá.
KẾT LUẬN
Kết quả nghiên cứu đã cung cấp thêm một công cụ để đánh giá NL MHH của HS, góp phần đáp ứng yêu cầu giáo dục theo định hướng đổi mới phát triển NL của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo. Cụ thể, các kết quả thu được của chúng tôi qua từng chương như sau:
- Trong chương I: Để trả lời câu hỏi 1 và 2, chúng tôi đã phân tích chi tiết các khái niệm liên quan đến: NL, NL MHH; cấu trúc NL, cấu trúc NL MHH; Qui trình đánh giá NL và NL MHH; Các quan điểm và các cách tiếp cận để đánh giá NL và NL MHH của các nhà nghiên cứu. Kết quả nghiên cứu đã tổng hợp được một số phương pháp xây dựng và thang đánh giá NL MHH đã và đang sử dụng trên thế giới, kết quả này là cơ sở lí luận cho việc xây dựng thang đánh giá chi tiết NL MHH ở chương II.
- Chương II: Qua việc phân tích các yếu tố liên quan đến MHH, NL MHH gắn với chủ đề GTLN - GTNN trong Chương trình hiện hành, chương trình mới, sách khoa và sách bài tập Toán 12, trong đề thi THPT Quốc Gia từ năm 2017 đến 2019, chúng tôi đã trả lời được câu hỏi 3: “Liên quan đến vấn đề hình thành, phát triển NL