Về nội dung về bất đẳng thức (BĐT) trong chơng trình toán ở trờng THCS hiện nay còn rất ít và hạn chế về số lợng. Trong SGK hiện hành chỉ nêu lên đợc khái niệm và đa ra một số tính chất cơ bản của BĐT.
Mặc dù đã đợc làm quen, đợc đề cập đến ở các lớp dới, nhng Chủ đề Bất đẳng thức vẫn là một trong những chủ đề rất khó đối với học sinh ở các lớp bậc THCS. Tuy nhiên, các bài toán về BĐT lại có nhiều lợi thế trong việc lồng ghép vào để giải những bài toán khác hoặc ứng dụng vào một số bộ môn khoa học khác hay có ứng dụng trong thực tiễn, chẳng hạn: Ngay trong mục đầu tiên "Số thực dơng, số thực âm". Ta có thể đề cập sự liên hệ: "Một ngời X nào đó suy cho cùng, hoặc là không có tiền (X không có đồng tiền nào cả) hoặc có tiền (X có một số tiền nào đó) hoặc đang nợ tiền.
Và nh vậy ta có thể gán số 0 với trờng hợp X không có tiền, số dơng với trờng hợp X có tiền và số âm với trờng hợp X đang nợ tiền.
Nếu có sự liên hệ gần gũi kiểu nh thế thì việc nắm vững những kiến thức của Mục này và những kiến thức của các mục tiếp theo dễ dàng hơn rất nhiều. Chẳng hạn, các kiến thức "Nếu a > 0, b > 0 thì a+ b > 0", "Phủ định của mệnh đề "x > 0" là mệnh đề "x ≤ 0"" thì việc liên hệ để hiểu, để nhớ kiến thức là khá dễ dàng.
Sự liên hệ trên cũng giúp học sinh nắm vững các khái niệm, tính chất của Bất đẳng thức, chẳng hạn: Tính chất "a > b và b > c ⇒ a > c" ta có thể liên hệ "Anh A có số tiền lớn hơn anh B và anh B có số tiền lớn hơn anh C" thì bằng thực tế, học sinh dễ dàng nói đợc một cách chắc chắn rằng anh A có số tiền lớn hơn anh C. Một Tính chất khá quan trọng mà Luận văn muốn nhấn mạnh sự liên hệ trên
đó là " " 0 c nếu bc ac 0 c nếu bc ac b a < < > > ⇔ >
Có thể minh họa để học sinh dễ hiểu, dễ nhớ nh sau:
a, b lần lợt là số ngời của 2 nhóm A và B, a > b (số ngời nhóm A lớn hơn số ngời nhóm B).
Nh vậy:
Nếu nhân số ngời mỗi nhóm với một số tiền nào đó thì số tiền nhóm A thu đợc lớn hơn số tiền nhóm B.
Nếu nhân số ngời mỗi nhóm với một số tiền nợ nào đó thì số tiền nhóm A nợ sẽ nhiều hơn số tiền nhóm B nợ.
Sau khi có sự liên hệ trên, ta cho học sinh Quy tắc:
Nếu nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dơng, ta đợc một bất đẳng thức cùng chiều và tơng đơng.
Nếu nhân hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm, ta đợc một bất đẳng thức trái chiều và tơng đơng.
Sự liên hệ trên giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và đặc biệt có sự liên tởng, kiểm nghiệm tính đúng đắn mỗi khi sử dụng.
Một nội dung khá quan trọng trong Chủ đề này mà Luận văn xem có nhiều lợi thế cho việc lồng ghép các bài toán thực tiễn là Bất đẳng thức Côsi.
Bất đẳng thức Côsi có vai trò quan trọng trong dạy học Toán, điều đó đợc thể hiện ở các khía cạnh sau:
- Do có nhiều tiềm năng có thể khai thác, nên nó là cơ hội để giáo viên lấy những ví dụ và bài tập, góp phần tích cực hóa hoạt động học tập cũng nh cho học sinh làm quen dần với các tình huống thực tiễn.
- Dạng toán ứng dụng Bất đẳng thức Côsi giúp học sinh có ý thức và khả năng tối u hóa trong suy nghĩ cũng nh trong hành động, luôn coi trọng tiết kiệm và hiệu quả công việc.
- Góp phần rèn luyện kỹ năng chứng minh Bất đẳng thức cho học sinh.
Ví dụ 1: Sau khi học sinh đợc trang bị về khái niệm, một số tính chất cơ bản về BĐT và một vài phơng pháp chứng minh BĐT; có thể lấy ví dụ nh sau:
b) 1 1 4
a b+ ≥ a b
+ với mọi a, b dơng. Dấu “=” xảy ra khi nào? Ví dụ 2: Sau khi trình bày nội dung Bất đẳng thức Côsi, có thể lấy ví dụ thực tiễn sau đây:
a) Một cánh đồng hình chữ nhật với diện tích cho trớc phải có dạng nh thế nào để chiều dài hàng rào của nó là ít nhất?
b) Một cánh đồng hình chữ nhật với chiều dài hàng rào cho trớc phải có dạng nh thế nào để diện tích của nó là lớn nhất?
Nh vậy, các bài toán vê bất đẳng thức góp phần giúp học sinh lĩnh hội kiến thức một cách sâu sắc và có cái nhìn vê toán học rộng hơn cũng nh việc khai thác các ứng dụng kiến thức Toán học nói chung và BĐT nói riêng để giải các bài toán khác hay bài toán thuộc lĩnh vực khác hoặc có nội dung thực tiễn.