II. Đối với các biểu thức phân có TXĐ là R Để tìm GTLN hay GTNN của các biểu thức dạng này ta áp dụng tính chất:
2. Các ví dụ:
2.3. Sử dụng hệ thống bài tập BĐT và cực trị trong Đại số cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THCS nhằm rèn luyện kĩ năng giải Toán và tăng cờng mối liên hệ
giỏi cuối cấp THCS nhằm rèn luyện kĩ năng giải Toán và tăng cờng mối liên hệ giữa Toán học với thực tiễn
Khi sử dụng HTBT bất đẳng thức và cực trị cho HS nói chung và cho HS khá, giỏi nói riêng, chúng ta thờng dùng các con đờng suy diễn lôgic, cụ thể là dùng Ph- ơng pháp tiên đề: Xuất phát từ những khái niệm nguyên thuỷ và các tiên đề rồi dùng các quy tắc lôgic để định nghĩa các khái niệm và chứng minh các mệnh đề khác.
Nếu nhìn Toán học trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi và phát minh, thì trong phơng pháp của nó vẫn có tìm tòi, dự đoán, vẫn có “thực nghiệm” và “quy nạp”.
Nhà toán học và là nhà s phạm nổi tiếng ngời Mỹ - G. Pôlya - đã phát biểu: “Toán học đợc coi nh là một môn khoa học chứng minh. Tuy nhiên, đó mới chỉ là một khía cạnh của nó. Toán học hoàn chỉnh, đợc trình bày dới hình thức hoàn chỉnh, đợc xem nh chứng minh thuần tuý, chỉ bao gồm các chứng minh. Nhng Toán học trong quá trình hình thành gợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại trong quá trình hình thành. Bạn phải dự đoán về một định lý toán học trớc khi bạn chứng minh nó. Bạn phải dự đoán về ý của chứng minh trớc khi tiến hành chứng minh chi tiết (...). Nếu việc dạy Toán phản ánh ở mức độ nào đó việc hình thành Toán học nh thế nào, thì trong việc giảng dạy đó, phải dành chỗ cho dự đoán, cho suy luận có lý” [109, tr. 6].
Các tác giả của Giáo dục học môn Toán nhận xét: “Trong việc giảng dạy và học tập môn Toán, việc tách rời giữa suy luận quy nạp và suy diễn là một nguyên nhân rất cơ bản của việc kìm hãm sự phát triển t duy sáng tạo của HS” [66, tr. 90].
Tuy nhiên, “trong việc dạy Toán ở nhà trờng hiện nay, do chỉ chú ý truyền thụ kiến thức mà không chú ý dạy cho HS ‘‘tìm tòi” kiến thức nên các phơng pháp thực nghiệm, quy nạp bị coi rất nhẹ”.
Lời nhận xét trên đây của Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn đã phần nào cho thấy thực trạng dạy học Toán của trờng phổ thông hiện nay.
Thật vậy, phải thừa nhận rằng, hiện nay có nhiều giáo viên tâm huyết với nghề, luôn trăn trở để có đợc những bài giảng sinh động, hiệu quả. Nhng vẫn không ít giáo viên cha cải tiến đợc phơng pháp dạy học của mình - kiểu dạy học cũ - hiệu quả không cao. Theo kiểu dạy học đó, dờng nh không có những pha để HS dự đoán. Đơng nhiên họ cũng có cái “lý” riêng: Nếu để HS dự đoán thì sẽ tốn nhiều thời gian, khối lợng kiến thức truyền thụ đợc sẽ bị hạn chế (!?).
Thực ra, cho HS dự đoán, tìm tòi, mò mẫm đúng là có tốn thời gian thật, nhng “sẽ đợc đền bù nhanh chóng khi t duy độc lập của HS đã đợc phát triển”.
Kiểu dạy học cũ đa đến kết quả là, HS thờng gặp khó khăn, thậm chí bó tay tr- ớc những bài toán tìm tòi (toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong Đại số, ...).
Cần lu ý thêm một tồn tại nữa trong phơng pháp dạy học của nhiều giáo viên - sự “áp đặt” đối với những thao tác nh kẻ đờng phụ; biến đổi, thêm, bớt biểu thức;
phân chia thành những trờng hợp riêng; ... - những điều mà lẽ ra giáo viên cần cho HS hiểu vì sao lại làm nh thế.
Ví dụ sau đây sẽ góp phần làm rõ thêm những điều vừa nói ở trên: Khi dạy bất đẳng thức, có thể cho HS giải Bài toán:
“Giả sử x và y là 2 số thay đổi nhng luôn luôn thoả mãn điều kiện x + y = 6, x ≥ 4. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2+ y2 ”.
Thực tiễn s phạm cho thấy, quá nhiều HS không giải đợc bài này. Bên cạnh đó, cũng có nhiều HS giải nh sau:
áp dụng Bất đẳng thức Bunhiakôvxki cho 2 bộ số (1; 1) và (x; y) ta có:
(1x + 1y)2 ≤ (12 + 12)(x2 + y2) ⇒ (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) ⇒ x2 + y2 ≥ 12 (x + y)2. Nh- ng x + y = 6 nên x2 + y2 ≥18. Vậy giá trị nhỏ nhất của x2 + y2 là 18.
Sai lầm của lời giải này là HS cha sử dụng hết các điều kiện ràng buộc của bài toán, cha hiểu một cách thấu đáo rằng: nếu biểu thức A luôn có giá trị ≥ a thì cha đủ để kết luận giá trị nhỏ nhất của nó là a (khi cha khẳng định đợc dấu “=” có thể xẩy ra).
Chúng ta còn thấy nhiều HS giải bài toán này nh sau:
Trớc hết, họ chứng minh x2 + y2 ≥18 (cũng chứng minh nh trên), sau đó họ đi tìm x và y thoả mãn điều kiện đã nêu trong bài toán sao cho x2 + y2 = = 18. Do nhận
thấy hệ = + ≥ = + 18 y x 4 x 6 y x 2 2
vô nghiệm nên HS kết luận rằng: Biểu thức x2 + y2 không có giá
trị nhỏ nhất (!?).
Sai lầm của lời giải nằm ở chỗ, HS cho rằng nếu A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng a thì giá trị nhỏ nhất của A, nếu có, chỉ có thể là a. Mà bây giờ A không thể bằng a đợc, cho nên nó không có giá trị nhỏ nhất.
Thực ra, nếu A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng a thì vẫn có thể A còn luôn lớn hơn hoặc bằng một số b nào đó lớn hơn a, mặc dầu A không thể bằng a nhng lại có thể bằng b.
Nếu HS có thói quen mò mẫm, dự đoán, thì họ sẽ biết thử một số trờng hợp, từ đó hình thành nên một điều dự đoán - mà điều dự đoán ấy sẽ làm cơsở cho việc tìm ra lời giải của bài toán:
Ta cho (x; y) một số cặp giá trị, tự nhiên nhất là hãy lần lợt cho x nhận các giá trị từ nhỏ đến lớn. Đầu tiên, theo điều kiện đã nêu, ta cho x = 4, khi đó y = 2 và x2 + y2 = 16 + 4 = 20.
Tiếp theo, một cách ngẫu nhiên ta xét x = 4,1; khi đó y = 1,9 và ta có: x2 + y2 = 20,42.
Tiếp nữa ta xét x = 4,5; khi đó x2 + y2 = 22,5.
Có thể lấy thêm một số trờng hợp nữa, có trờng hợp x là số nguyên và cũng có cả trờng hợp x là sốthập phân.
Ta nhận thấy rằng, dờng nh x càng lớn thì x2 + y2 cũng càng lớn. Mặt khác, x càng lớn tức là x - y càng lớn. Vì vậy, ta có dự đoán rằng nếu x - y càng lớn thì x2 + y2 cũng càng lớn.
Nhng đó vẫn chỉ là dự đoán! Làm sao có thể khẳng định hoặc bác bỏ đợc điều dự đoán này?. Ta hãy thử biểu diễn x2 + y2 (là biểu thức mà ta đang quan tâm) qua các đại lợng: x + y (cái xuất hiện trong giả thiết) và x - y (là cái có liên quan đến dự đoán của chúng ta).
Đơng nhiên là, để xuất hiện các lũy thừa bậc 2, ta cần thực hiện phép bình ph- ơng đối với x + y và x - y để có đợc (x + y)2 và (x - y)2. Với ý nghĩ cần phải biểu diễn x2 + y2 thông qua (x + y)2 và (x - y)2, ta nhận ra rằng
2 ) ) y x ( ) y x ( y x 2 2 2 2 + = + + − ,
và trở lại với bài toán ban đầu: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 + y2.
Vì (x + y)2 = 36 nên yêu cầu của bài toán đợc chuyển thành: Tìm giá trị nhỏ nhất của
21 1
(x - y)2 + 18. Với những điều kiện ràng buộc trong bài toán, ta luôn phải lu ý rằng x ≥ 4, y ≤ 2. Sự lu ý đó cho phép ta nhận thấy: Giá trị nhỏ nhất của (x - y)2
là 4, và cuối cùng đi đến khẳng định: Giá trị nhỏ nhất của x 2 + y2 bằng 20.
Trên đây mô phỏng lại quá trình tìm tòi của một em HS có “óc dự đoán” khi đứng trớc Bài toán. Sự mò mẫm, dự đoán đã giúp em đó phát hiện và giải quyết vấn đề một cách hoàn chỉnh - điều mà nhiều em khác đã không thể làm đợc!
Nhìn lại lời giải có thể thấy rằng, khâu mấu chốt nhất, cái “nút” chính là ở chỗ: biết biểu diễn
2 ) ) y x ( ) y x ( y x 2 2 2
2 + = + + − . Tại sao có rất nhiều cách biểu diễn x2 + y2, ta không dùng, mà lại dùng đến cách đó? (là bởi vì, chính quá trình dự đoán đã gợi ý
lên điều đó)
Tuy nhiên, trong thực tế dạy học ở trờng phổ thông, khi dạy HS giải bài toán này, có không ít giáo viên đã chủ động nêu ra sự biểu diễn ấy một cách độc đoán.
Nghĩa là, lập tức viết ngay lên bảng: Ta có 2 ) y x ( ) y x ( y x 2 2 2 2+ = + + − . Do x + y = 6 nên (x + y)2 = 36. Do x ≥ 4 nên y ≤ 2, vậy (x - y)2≥ 4 ..v..v...
Đơng nhiên thầy giải đúng, nhng không phải là tốt về phơng diện phơng pháp dạy học. G. Pôlya đã từng nhận xét: “Khi đọc sách Toán có hai điều mong muốn:
Thứ nhất là xác nhận đợc bớc chứng minh đang đọc là đúng, thứ hai là điều rõ đợc mục đích của bớc đó’’.
Ngời nghe thông minh khi nghe giảng Toán cũng có điều mong muốn nh vậy. Một ông thầy hay một tác giả thông minh phải có ý thức về hai điều đó. Tất nhiên cần phải viết và nói đúng, nhng nh thế cha đủ. Một sự suy lý trình bày đúng trong sách hay trên bảng vẫn có thể khó hiểu và chẳng có bổ ích gì, nếu nh ngời đọc và ngời nghe không thể hiểu tác giả làm cách nào để có đợc sự chứng minh nh vậy”.
Nếu trớc khi giải bài toán này, học sinh cha đợc giải một bài nào có dạng tơng tự, thì khi dạy giải bài toán, tuỳ hoàn cảnh cụ thể, nên sử dụng hình thức thuyết trình phát hiện và giải quyết vấn đề hoặc vấn đáp phát hiện và giải quyết vấn đề.
Hệ thống bài tập đợc xem là cơ sở quan trọng trong việc lồng ghép những bài toán thực tiễn vào dạy học. Tuỳ vào từng chơng, từng bài hay từng mục, từng chi tiết cụ thể mà ta có kế hoạch dạy học, rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn một cách phù hợp nhất. Những bài toán trong Hệ thống bài tập có thể chỉ vận dụng vào bài dạy mang tính chất điểm tựa, để bài dạy thêm sinh động, tận dụng đợc nhiều cơ hội liên hệ thực tế hơn. Trong nhiều trờng hợp ta cần sáng tạo thêm một số bài toán khác đơn giản hơn, cụ thể hơn, sát thực
đời sống thực tế hơn nhng không phức tạp trong việc giải chúng. Cụ thể khi sử dụng và giảng dạy Hệ thống bài tập cần chú ý những điểm sau đây:
Thứ nhất: Về việc khai thác Hệ thống bài tập trong giảng dạy
Mặc dù Hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn đợc lựa chọn, cân nhắc một cách thận trọng về nội dung cũng nh hình thức và số lợng theo từng chủ đề kiến thức Toán trong Chơng trình THCS; nhng trong quá trình giảng dạy cần chú ý vận dụng linh hoạt vào từng trờng hợp cụ thể, chẳng hạn:
+) Đối với những chủ đề cha có bài tập trong Hệ thống, ta có thể sáng tạo các bài toán có lời văn mang nội dung thực tiễn hoặc các bài toán khác làm ví dụ minh họa cho học sinh:
Ví dụ 1: ở bài “Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng SGK Đại Số 8 - Tập II” , ta có thể đa vào ví dụ: “Cho a > b và c > d. Chứng minh: a + c > b + d”.
Nhng trong ví dụ này HS thờng sẽ mắc sai lầm nếu ta thay dấu “+” bởi dấu “-”.
Ví dụ 2: ở bài “Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân SGK Đại Số 8 - Tập II” , ta có thể đa vào ví dụ: “Cho a > b > 0 và c > d > 0. Chứng minh: ac > bd”.
HS sẽ mắc sai lầm trong ví dụ này nếu không chú ý tới dấu của a, b, c và d. +) Đối với học sinh trung bình, yếu ta cần bổ sung những bài toán ở mức độ thấp hơn những bài tập trong Hệ thống hoặc sử dụng vừa phải những bài tập trong Hệ thống, có sự chỉ dẫn, gợi ý giúp các em hoàn thành đợc bài tập ở nhà.
+) Đối với những học sinh khá, giỏi ta có thể lựa chọn những bài tập nâng cao, ra nhiều bài tập về nhà hơn so với học sinh khác.
Thứ hai: Về việc lựa chọn thời điểm đa các bài toán có nội dung thực tiễn vào giảng dạy.
Tuỳ thuộc vào từng bài, từng chơng mà ta đa bài toán có nội dung thực tiễn vào thời điểm nào là phù hợp. Có thể đa vào bài toán có nội dung thực tiễn khi mở bài (hay đặt vấn đề), khi khai thác các ví dụ và tình huống thực tế trong xây dựng và củng cố kiến thức, thay thế bổ sung các ví dụ hoặc thay thế bổ sung bài tập
Toán học vào thực tiễn phù hợp với tính chất, trình độ của học sinh cũng nh cơ sở vật chất hiện tại.
Thứ ba: Về phơng pháp giảng dạy bài toán có nội dung thực tiễn.
Trong giảng dạy các bài toán có nội dung thực tiễn, cần chú ý vận dụng linh hoạt các bớc giải một bài toán có nội dung thực tế:
Bớc1: Chuyển bài toán thực tế về dạng ngôn ngữ thích hợp với lý thuyết toán học dùng để giải (lập mô hình toán học của bài toán);
Bớc 2: Giải bài toán trong khuôn khổ của lý thuyết toán học;
Bớc 3: Chuyển kết quả của lời giải Toán học về ngôn ngữ của lĩnh vực thực tế. Trong ba bớc trên, Bớc 1 thờng là bớc quan trọng nhất. Để tiến hành đợc bớc này, điều quan trọng là tập luyện cho học sinh biết xem xét những đại lợng trong những mối liên hệ với nhau, phát hiện ra những mối liên quan về lợng giữa chúng để trên cơ sở đó có thể biểu thị đợc đại lợng này qua đại lợng khác.
Kết luận chơng 2
Trong thực tế dạy học, nhiều giáo viên rất muốn đa những liên hệ, những bài toán có nội dung thực tiễn vào giảng dạy nhằm giúp học sinh lĩnh hội kiến thức cũng nh rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn. Tuy nhiên, các giáo viên có ý tởng này đã gặp phải một trong những rào cản rất điển hình là không có đợc một sự tích luỹ đáng kể và hợp lý hệ thống các bài toán có nội dung thực tiễn cũng nh cha hình dung đợc những quan điểm s phạm cơ bản trong việc sử dụng hệ thống bài tập đã xây dựng.
Trong Chơng 2, luận văn đã trình bày các quan điểm về việc xây dựng và sử dụng hTBT bất đẳng thức và cực trị trong Đại số; phân tích chi tiết những chủ đề có nhiều tiềm năng, đề xuất HTBT bất đẳng thức và cực trị trong Đại số, và những bài toán có nội dung thực tiễn góp phần quan trọng vào việc rèn luyện cho học sinh kĩ năng giải Toán và tăng cờng mối liên hệ giữa Toán học với thực tiễn trong dạy học Toán ở trờng THCS.
Bài tập Toán là một mắt xích không thể thiếu trong việc rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, qua đó học sinh hiểu sâu hơn lý thuyết và biết vận dụng những kiến thức đã học
Tuy nhiên cũng không có hệ thống bài tập nào phù hợp cho tất cả các đối tợng học sinh, điều quan trọng là trong quá trình giảng dạy ngời giáo viên biết vận dụng những bài tập nào thì phù hợp với những đối tợng học sinh nào, trên cơ sở đó lâu dài sẽ nâng dần đợc trí tuệ của học sinh, phát huy đợc tính tích cực học tập của các em.
Chơng 3
thực nghiệm s phạm