e. Một số chú ý trong dạy học giải bài tập cực trị Đại số
1.3.3. Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải tập bất đẳng thức và cực trị trong Đại số
và cực trị trong Đại số
Trong giáo dục, J.A. Komenxki khẳng định: "Bất kì một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu nh giáo viên không chú ý ngay tới sai lầm đó, bằng cách hớng dẫn học sinh tự nhận ra và sửa chữa, khắc phục sai lầm". Các sai lầm của học sinh trong dạy học giải Toán nói chung và giải bài toán cực trị và bất đẳng thức nói riêng đợc hiểu là: Điều trái với yêu cầu khách quan (mục đích của giải Toán, yêu cầu của bài toán) hoặc lẽ phải (các tình huống điển hình trong môn Toán nh: Khái niệm, định lí, quy tắc, các nội dung của lôgic toán, phơng pháp suy luận, suy diễn ...), do đó không đạt đợc mục đích của dạy học giải Toán.
Các sai lầm trong giải Toán nói chung, giải toán cực trị và bất đẳng thức nói riêng thờng do các nguyên nhân từ các góc độ khác nhau về tính cách, trình độ nắm kiến thức và về kĩ năng. Do vậy biện pháp này chủ yếu dành cho học sinh bởi lẽ đây
hiện và giải quyết vấn đề. Nhiệm vụ của giáo viên là phải dự đoán và giúp đỡ học sinh khắc phục những sai lầm khi giải dạng Toán này.
Điều tra thực trạng cho thấy học sinh còn phạm nhiều sai lầm và mọi đối tợng học sinh (cả một số ít giáo viên) đều có thể mắc sai lầm khi giải Toán cực trị và bất đảng thức. Do đó để nâng cao chất lợng dạy học giải Toán, cần phải chỉ ra và có h- ớng khắc phục các sai lầm của học sinh trong giải Toán cực trị và bất đẳng thức.
Khi giải Toán về cực trị và bất đẳng thức, học sinh thờng gặp phải những sai lầm liên quan tới việc sử dụng những phép biến đổi không tơng đơng, những suy luận không hợp lí hoặc nhầm lẫn trong việc áp dụng các tính chất hay các BĐT quen thuộc mà cha quan tâm một cách xác đáng tới điều kiện của nó...
Ví dụ1: Khi dạy các tính chất của bất đẳng thức có thể yêu cầu học sinh chứng minh với mọi a, b, c thì (a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) ≥ 8a2b2c2
Dụng ý của bài toán này là kiểm tra xem học sinh đã nắm tính chất nhân vế với vế của bất đẳng thức cùng chiều hay cha? Trong Sách giáo khoa đã nêu lên tính chất a b 0 ac bd
c d 0 > >
⇒ >
> >
. Tuy nhiên nhiều học sinh cha ý thức đợc tầm quan trọng của giả thiết (các vế không âm), bởi vậy nh bài toán đã nêu học sinh rất dễ mắc sai lầm (a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ac).
Qua việc nhận thấy học sinh rất dễ sai lầm trong việc nhân các vế bất đẳng thức với nhau, rút kinh nghiệm trong dạy học bất đẳng thức phải nhấn mạnh ở chỗ phân tích vai trò của từng giả thiết. Một trong những phơng thức phổ biến nhất là chỉ ra các phản ví dụ, sao cho trong phản ví dụ ấy một điều kiện nào đấy bị vi phạm thì kết quả cuối cùng không giống nh kết luận của định lí nữa.
Trớc khi đa ra bài toán để thử thách sai lầm của học sinh, dĩ nhiên giáo viên cần có một sự hình dung trực giác rằng, chỗ này, chỗ kia học sinh có thể mắc sai lầm. Nhờ sự hình dung trực giác ấy giáo viên thiết kế bài toán tơng thích. Qua thực tiễn trình bày lời giải bài toán ấy sẽ cung cấp cho giáo viên một sự nhận định sát thực tế hơn so với cảm nhận trực giác ban đầu, và khi khẳng định chắc chắn sự sai lầm của học sinh thì một khâu đặc biệt quan trọng là phải dành thời gian thích đáng
để nhấn mạnh kiến thức cần lu ý có thể liên quan trực tiếp đến những sai lầm vừa mắc, thực chất là sự thể chế hóa một lần nữa.
Nhiệm vụ quan trọng của ngời giáo viên là hớng dẫn học sinh dự đoán đợc những sai lầm phân tích để tìm ra nguyên nhân các sai lầm là biện pháp tích cực để rèn luyện năng lực giải Toán.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 2 1
6 17
x − x+
Một học sinh đã giải nh sau: Phân thức A có tử không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất.
Ta có: x2 - 6x + 17 = (x - 3)2 + 8 ≥ 8
Min(x2 - 6x + 17) = 8 <=> x = 3. Vậy max A = 1
8 <=> x = 3.
Phân tích sai lầm: Lời giải trên của học sinh, phải chăng có điều gì nghi vấn! Tuy đáp số là không sai nhng lập luận nh vậy liệu đã ổn cha? Cụ thể “ A có tử số không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà cha đa ra nhận xét tử và mẫu là các số dơng.
Chẳng hạn ta có thể đa ra ví dụ sau đây: Xét biểu thức B = 21
9
x − . Với lập luận nh ở trên: “ Phân thức B có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất”, do mẫu nhỏ nhất bằng -9 khi x = 0, ta sẽ đi đến: max B = 1
9
− ⇔x = 0. Điều này không đúng: 1
9
− không phải làgiá trị lớn nhất của B, chẳng hạn với x = 4 thì B = 1
7 > 1
9
− . Học sinh mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của BĐT: Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên sang hai phân số có tử và mẫu là các số nguyên.
Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét: x2 - 6x + 17 = (x - 3)2 + 8 ≥8, nên tử và mẫu là các số dơng hoặc từ nhận xét trên suy ra A > 0, do đó: A lớn nhất khi và chỉ khi 1
Αnhỏ nhất ⇔ x2 - 6x + 17 nhỏ nhất
G.Polya viết: "Con ngời phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình"(G.Polya,1995,tr 24). Nh vậy, khẳng định là các sai lầm của học sinh trong giải Toán là hoàn toàn có thể khắc phục đợc; Hơn nữa, chỉ ra các dạng sai lầm là cần thiết, song điều quan trọng hơn là dự đoán và khắc phục đợc các sai lầm .
J. A. Kômenxki khẳng định: “Bất kỳ một sai lầm nào cũng có thể làm cho học sinh kém đi nếu nh giáo viên không chú ý ngay tới sai lầm đó bằng cách hớng dẫn học sinh tự nhận ra và sửa chữa khắc phục sai lầm”.
Cần phải tập cho học sinh phát hiện chỗ sai trong lời giải, tìm nguyên nhân và đề xuất cách giải đúng. Bởi vì, khi biết bị sai lầm do những lỗi kiến thức cơ bản, học sinh mới thực sự thấm thía việc cần phải hiểu sâu sắc bản chất của từng tri thức đã lĩnh hội và quan trọng là các em thấy thực sự cần thiết phải tự kiểm tra lại từng bớc lập luận trong quá trình tìm tòi lời giải bài toán.
Để giúp học sinh có phơng pháp nhận biết lời giải sai, Lê Thống Nhất cho rằng cần trang bị cho họ những dấu hiệu quan trọng sau:
- Kết quả lời giải của bài toán mâu thuẫn với kết quả trong trờng hợp riêng. - Trờng hợp riêng của kết quả không thoả mãn bài toán.
- Kết quả lời giải không chứa kết quả trong trờng hợp riêng. - Kết quả tìm đợc mâu thuẫn với thực tế.
- Kết quả không bình đẳng giữa các yếu tố bình đẳng ở giả thiết. - Kết quả của lời giải này khác kết quả của lời giải khác.
- Đơn vị đo ở hai vế của một đẳng thức khác nhau.
Cuối cùng chúng ta phải nói rằng khi thấy học sinh mắc sai lầm nói chung không nên bác bỏ ngay sai lầm đó mà cố gắng dẫn dắt khích lệ học sinh tự nhận thức đợc sai lầm của mình. Tiến hành nh vậy là hợp lý bởi vì muốn tích cực thì phải có hứng thú, mà hứng thú thì thờng mang màu sắc xúc cảm.
Các biện pháp sau đây có thể hạn chế đợc các sai lầm mà học sinh thờng mắc phải: