Phát triển bài tập cực trị Đại số là từ một bài tập cơ bản ta có thể bổ sung, hoặc thay đổi giả thiết, kết luận của bài toán để đợc một bài tập mới có mức độ phức tạp cao hơn.
Quá trình thay đổi giả thiết, kết luận của bài toán có thể đợc tiến hành theo nhiều con đờng, có thể hoán đổi giả thiết, kết luận, thay đổi giả thiết hoặc kết luận bằng cách cho gián tiếp qua các đại lợng trung gian hay thay đổi điều kiện nào đó của bài toán.
Quá trình phát triển bài tập cực trị đại sô đợc minh hoạ theo sơ đồ cụ thể nh sau:
- Bài tập ban đầu: Tóm tắt giả thiết, kết luận của bài toán theo sơ đồ sau:
* Các hớng phát triển bài tập ban đầu để đợc bài tập mới.
- Phát triển giả thiết: Bằng cách bổ sung, hoán đổi vị trí hoặc cho các đại lợng một cách gián tiếp qua các đại lợng trung gian.
+ Cho A thông qua A1, A2…
+ Cho B thông qua B1, B2…
Tuỳ theo mức độ phát triển bài tập mà các đại lợng có nhiều hay ít mối quan hệ với các đại lợng trung gian. Ta có thể tóm tắt bài toán theo sơ đồ.
Giả thiết: Cho: A, B… Kết luận: Tìm C Sơ đồ 1 Giả thiết: Cho: A1, A2… B1, B2… Kết luận: Tìm C Sơ đồ 2
- Phát triển kết luận: Thay cho việc tìm C ta có thể thay yêu cầu tìm Cn (n = 1, 2 )…
- Phát triển đồng thời giả thiết và kết luận.
Phát triển giả thiết và kết luận của bài toán một cách đồng thời chính là sự kết hợp giữa sơ đồ 2 và sơ đồ 3.
Từ các sơ đồ nhận thấy:
Tiến trình phát triển bài tập cực trị đại số thực chất là việc phát triển giả thiết và kết luận của bài toán. Mức độ phức tạp của bài tập phụ thuộc vào mối quan hệ giữa các đại lợng trung gian với giả thiết và kết luận, nhng mối quan hệ chính giữa giả thiết và kết luận vẫn là bài tập cơ bản ban đầu. Chính vì vậy việc giải các bài tập đợc phát triển ra dù trực tiếp hay gián tiếp đều nên quan tâm sử dụng lời giải của bài tập cơ bản.