Phương thức 2: Làm rừ nguồn gốc của cỏc bài toỏn và lịch sử phỏt triển tri thức toỏn học để rốn luyện kỹ năng giải toỏn

- Giai đoạn 4: Cỏc phộp tớnh số học đối với cỏc số phức

2.4.2. Phương thức 2: Làm rừ nguồn gốc của cỏc bài toỏn và lịch sử phỏt triển tri thức toỏn học để rốn luyện kỹ năng giải toỏn

Trong dạy học Toỏn cần làm cho HS nắm được con đường hỡnh thành cỏc khỏi niệm, định lớ, giải toỏn chớnh xỏc, nắm được bản chất của khỏi niệm, giả thiết của định lớ, điều kiện của bài tập. Từ đú hiểu sõu cỏc đối tượng Toỏn học cần tiếp thu và khi vận dụng đỡ sai sút. Chẳng hạn khi dạy học cỏc khỏi niệm, cỏc định lớ, chỳ trọng quan tõm xõy dựng cỏc bài tập gốc tạo cơ sở để giải cỏc bài tập nõng cao.

Vớ dụ: Đạo hàm là một nội dung quan trọng của toỏn học bậc THPT. Nú vừa là đối tượng, nhưng hơn thế nú là cụng cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều vấn đề phức tạp của toỏn THPT. Vận dụng đạo hàm để giải toỏn THPT là một nội dung trọng tõm của chương trỡnh ụn thi Tốt nghiệp THPT, luyện thi đại học, và bồi dưỡng HS giỏi. Vỡ vậy việc nắm vững nguồn gốc của đạo hàm sẽ giỳp cho HS vận dụng đạo hàm để giải toỏn tốt hơn. Từ đú hỡnh thành kỹ năng giải toỏn cho HS.

Trong mụn Giải tớch ở trường phổ thụng, khỏi niệm "vụ cựng bộ" đó gõy nhiều khú khăn cho nhận thức của con người từ Zờ-nụng đến thế kỷ thứ 17. Khỏi niệm vụ hạn được quan tõm trở lại bởi Kờ-ple (J. Kepler, 1571-1630) khi ụng dựng phương phỏp vụ cựng bộ (infinitesimals), và Ca-va-li-ơ-ri (B.Cavalieri, 1598 - 1647) với cụng trỡnh dựa trờn “cỏi khụng phõn chia được” (indivisibles). Tất cả cỏc cụng trỡnh trờn đó mở đường cho Niu-tơn (1642 - 1727) và Lai-bơ-nớt (1646 - 1716) phỏt triển mụn Phộp tớnh vi phõn và tớch phõn sau này. Lai-bơ-nớt xem vi phõn là một vụ cựng bộ và bằng hiệu của hai giỏ trị gần nhau của đại lượng (từ đú vụ cựng bộ được kớ hiệu bằng d là những chữ cỏi đầu của từ Latinh differentia - cú nghĩa là hiệu, và tỉ số cỏc dydx ứng với đạo hàm); đường cong được xem như đường gấp khỳc với vụ cựng lớn cỏc cạnh vụ cựng bộ. Năm 1688, Lai-bơ-nớt đó xem tớch phõn như là tổng một số vụ hạn cỏc vi phõn và kớ hiệu là ∫ (∫ là chữ cỏi đầu của từ Latinh summa - cú nghĩa là tổng).

Như vậy, cỏc khỏi niệm cơ bản của giải tớch vụ cựng bộ của Lai-bơ-nớt là vi phõn - hiệu vụ cựng bộ, và tớch phõn - tổng vụ hạn cỏc vi phõn.

Mặc dự Phộp tớnh vi phõn và tớch phõn được phỏt triển trờn cơ sở khỏi niệm vụ cựng bộ nhưng khỏi niệm này vào thời đú cũn khỏ mơ hồ, khụng đủ chặt chẽ: cú khi nú là một biến số, cú khi nú là một hằng số, cú khi nú là một đại lượng hữu hạn, cú khi nú là một đại lượng vụ cựng nhỏ hoặc là bằng khụng.

Vụ cựng bộ, chuyển động và liờn tục: Để làm rừ khỏi niệm vụ cựng bộ nhằm làm cho mụn Phộp tớnh vi phõn và tớch phõn cú cơ sở chặt chẽ, người ta phải đối mặt với vấn đề chuyển động; chẳng hạn, định nghĩa khỏi niệm vụ cựng bộ là một biến dần tới số 0. Nhưng sự “dần tới” một giỏ trị nào đú lại liờn quan đến khỏi niệm chuyển động, mà trong phộp tớnh vi phõn và tớch phõn thỡ xem chuyển động là một quỏ trỡnh liờn tục với ý nghĩa là biến phải nhận mọi giỏ trị trong khoảng mà chuyển động xảy ra. Nhưng làm thế nào để mụ tả bằng toỏn học biến di chuyển qua tất cả cỏc điểm kế tiếp nhau trong một khoảng? Ta khụng thể núi rằng “đi từ điểm này đến điểm kế tiếp sau” vỡ khụng cú điểm kế tiếp (giữa hai điểm bất lỳ luụn cú một điểm khỏc).

Bụ-za-nụ (B. Bolzano, 1781 - 1848) phủ định sự tồn tại cỏc số vụ cựng bộ và cỏc số vụ cựng lớn. Dự vậy, vào năm 1817 ụng đó đưa ra một định nghĩa chớnh xỏc về tớnh liờn tục: hàm số f(x) liờn tục trong một khoảng nếu tại bất kỳ x nào trong khoảng đú thỡ hiệu f(x+ω)− f( )x cú thể làm nhỏ tựy ý khi cho ω đủ nhỏ.

Khỏi niệm giới hạn muốn được chớnh xỏc húa cũng sẽ gặp nhiều khú khăn. Bởi vỡ hằng số c được gọi là giới hạn của x nếu ta cú thể làm cho x cú thể tiến gần đến c một cỏch tựy ý (as close as desired) thụng qua sự thay đổi liờn tục. Bấy giờ lại xuất hiện làm thế nào mụ tả bằng toỏn học khỏi niệm “gần một cỏch tựy ý”. Cụ-si (1789 - 1857) đó cú cụng lớn trong việc làm chớnh xỏc húa khỏi niệm giới hạn và liờn tục, khi đưa ra một định nghĩa của khỏi niệm giới hạn và liờn tục, khi đưa ra một định nghĩa của khỏi niệm giới

hạn mà cũn được sử dụng trong ngày nay: Cho x là biến số thực. Thỡ x được gọi là cú giới hạn là c nếu, với bất kỳ số dương cho trước, thỡ giỏ trị tuyệt đối của hiệu của x và c cú thể làm nhỏ hơn số dương cho trước đú.

Nhà toỏn học Đức Vai-ơ-xtrỏt (1815 - 1897) đó làm rừ hơn cụm từ “một biến dần tới giới hạn”. ễng xem biến chẳng qua là một chữ cỏi thay thế cho một phần tử thuộc một tập hợp giỏ trị mà chữ cỏi đú cú thể nhận được. Biến liờn tục là một biến mà nếu x0 thuộc tập giỏ trị của biến mà δ là một số dương bất kỳ thỡ cú những giỏ trị khỏc của biến thuộc khoảng (x0 - δ, x0 + δ

). Khỏi niệm hàm số liờn tục được ụng định nghĩa như sau: hàm số liờn tục tại x = x0 nếu với bất lỳ số dương ε cho trước, tồn tại số dương δ sao cho với mọi x thỏa x−x0 <δ thỡ f( )x − f( )x0 <ε. Một cỏch tương tự, khỏi niệm giới hạn của hàm số được ụng định nghĩa: hàm số f(x) cú giới hạn là L tại x = x0

nếu với bất kỳ số dương ε cho trước, tồn tại số dương δ sao cho với mọi x thỏa 0< x−x0 <δ thỡ f( )x −L <ε.

Như vậy, Bụ-za-nụ (Bolzano), Cụ-si và Vai-ơ-xtrỏt đó loại bỏ tớnh chất “chuyển động” trong định nghĩa cỏc khỏi niệm cơ sở của mụn phộp tớnh vi phõn và tớch phõn. Cỏc thuật ngữ “hàm số f(x) dần tới L khi x dần tới a”, hay “hàm số f(x) cú giới hạn là L khi x dần tới a” hoàn toàn khụng tương hợp với định nghĩa khỏi niệm giới hạn của hàm số theo ngụn ngữ "ε,δ". Cỏc khỏi niệm liờn tục, thuật ngữ “dần tới”, khỏi niệm vụ hạn... đó được cỏc ụng mụ tả bằng toỏn học một cỏch chớnh xỏc; chỳng được định nghĩa như là đối tượng cú tớnh tĩnh lại, nhờ đú mà ta cú cơ sở để giải quyết được cỏc nghịch lớ của Zờ-nụng, và lớ giải được cỏc vướng mắc khỏc liờn quan đến cỏc khỏi niệm mà nếu Phộp tớnh vi phõn và tớch phõn dựa vào trực giỏc (quan điểm động) thỡ khụng sao lớ giải được; chẳng hạn như: dóy 

     n 1

cú giới hạn là 0 khi n dần tới ∞, nhưng giới hạn 0 này cú đạt được hay khụng khi 1 >0